¡Que pongas los paréntesis!

Al margen del toque de humor, y estoy convencido de que muchos profesores de matemáticas se sentirán identificados con la imagen, cuando trabajamos con expresiones algebraicas, hacemos operaciones con polinomios, o cuando queremos plantear ecuaciones para resolver problemas, es fundamental utilizar los paréntesis cuando son necesarios.

No hacerlo nos llevará directamente a poner y hacer algo sin sentido y, si estamos en un examen de matemáticas, muy probablemente a suspenderlo.

Por ejemplo, si nos piden escribir mediante una expresión algebraica «el doble de la suma de dos números», si llamamos xy a dichos números, la expresión algebraica sería:

2·(xy)

Es fundamental agrupar la suma de esos dos números xy entre paréntesis, porque estamos expresando el doble de dicha suma (de toda la suma). Si no pusiésemos los paréntesis y escribiésemos:

x + y

lo que estaríamos expresando sería «el doble de uno de los números y después sumarle el otro número», pero no el doble de la suma como queríamos.

Si esta expresión forma parte de una ecuación en un problema, y no hemos puesto los paréntesis, ya no estaremos calculando lo que queríamos, y lógicamente estaría mal.

Un clásico dentro de los problemas con ecuaciones son los problemas de edades, en los que a partir de unos datos que nos dan tenemos que plantear la ecuación o ecuaciones correspondientes para resolverlos.

Pues bien, suponed que nos dicen que «el doble de la edad que tenía una persona hace 15 años es 10 años» y nos piden calcular la edad actual.

Si llamamos x a su edad actual, la edad que tenía hace 15 años sería x – 15, y la ecuación a plantear sería la siguiente:

2·(x – 15) = 10

Hay que fijarse en la importancia que tiene poner x – 15 entre paréntesis. Si no pusiésemos los paréntesis, habríamos escrito esta otra ecuación:

x – 15 = 10

En esta ecuación estaríamos diciendo que «si le quitamos 15 años al doble de la edad actual serían 10 años» que nada tiene que ver con lo que nos habían dicho.

Había comentado antes también que debíamos utilizar correctamente los paréntesis para realizar operaciones con polinomios. La cosa es muy sencilla, debemos escribir entre paréntesis el polinomio cuando lo vayamos a restar, a multiplicar o a dividir. Tan solo en el caso de la suma no sería en principio necesario, aunque podemos utilizarlos si queremos.

Suponed que tenemos un polinomio, por ejemplo 3x2 + 5x + 2, y queremos restarle este otro polinomio x2 + 2x – 6. Para hacerlo correctamente, tenemos que escribir el polinomio que estamos restando entre paréntesis:

3x2 + 5x + 2 – (x2 + 2x – 6)

Así estaremos restando todos los términos de dicho polinomio, que es como debe hacerse, y nos quedaría al quitar los paréntesis haciendo regla de signos:

3x2 + 5x + 2 – x2 – 2x + 6

Sin embargo, si se nos olvidase poner el polinomio que estamos restando entre paréntesis:

3x2 + 5x + 2 – x2 + 2x – 6

solo estaríamos restando el primer término del segundo polinomio, y los demás términos los estaríamos sumando, con lo que obviamente lo estaríamos haciendo mal.

Si, por ejemplo, queremos multiplicar por 7 el polinomio x3 – 3x2 +1, tendríamos que escribirlo utilizando paréntesis como:

7·(x3 – 3x2 + 1)

de esa manera estaremos multiplicando todo el polinomio por 7.

Si, por el contrario, se nos olvidasen los paréntesis y escribiésemos:

x3 – 3x2 + 1

solo estaríamos multiplicando por 7 el primer término del polinomio, pero no todo el polinomio.

Lo mismo ocurre si queremos multiplicar, por ejemplo, el polinomio 2x2 + 5x – 3  por el polinomio 4x + 1. Los tendríamos que escribir cada uno de ellos entre paréntesis:

(2x2 + 5x – 3)·(4x + 1)

y así estaríamos multiplicando cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio, que es como debe hacerse.

Sin embargo, si no ponemos los paréntesis y lo escribimos así:

2x2 + 5x – 3 · 4x + 1

solo vamos a multiplicar el último término del primer polinomio por el primer término del segundo polinomio, y el resto de términos no los vamos a tocar, con lo que la multiplicación de polinomios estará ya mal hecha.

Por último, vamos a ver un ejemplo en el que queramos dividir un polinomio entre un monomio. Por ejemplo, queremos dividir el polinomio 10x4 + 25x315x2 entre el monomio 5x. Tendríamos que expresarlo de la siguiente manera, escribiendo todo el polinomio entre paréntesis:

(10x4 + 25x315x2) : (5x)

y así estaríamos dividiendo cada término del polinomio entre el monomio, que es como se debe hacer.

Pero si nos olvidamos de poner el polinomio entre paréntesis:

10x4 + 25x315x2 : 5x

solo estaremos dividiendo el último término del polinomio entre el monomio, y los demás términos no.

Y bueno, aquí en MatematicasCercanas hemos visto más casos donde es importantísimo utilizar los paréntesis. Os dejo aquí algunos:

Errores clásicos en álgebra: El menos delante de una fracción al quitar denominadores

Errores clásicos en álgebra: El menos delante del paréntesis

E, importantísimo, los paréntesis para distinguir cuando la base de una potencia es negativa:

Básicos… Infografía sobre potencias de exponente positivo

Potencias de base negativa

Resumiendo, y volviendo a la imagen con la que habíamos empezado…

¡¡¡Que no se os olvide poner los paréntesis!!!


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