La leyenda del tablero de ajedrez y los granos de trigo

Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram.

En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle.

Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez.Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido. Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara.

arabes_jugando_ajedrez

– Sissa, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado —dijo el rey.
El sabio contestó con una inclinación.
– Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado —continuó diciendo el rey—. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás.
Sissa continuó callado.
– No seas tímido —le animó el rey—. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo.
– Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición.

Cuando al día siguiente Sissa se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.

– Soberano —dijo Sissa—, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez.
– ¿Un simple grano de trigo? —contestó admirado el rey.
– Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32…
– Basta —le interrumpió irritado el rey—. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble cantidad que por la precedente.

granos1

Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que solicitas.
Sissa sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.

Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió a que se enteraran de si habían ya entregado al irreflexivo Sissa su mezquina recompensa.

– Soberano, están cumpliendo tu orden —fue la respuesta—. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponde.
El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Sissa había abandonado el palacio con su saco de trigo.
– Soberano —le contestaron—, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.
– ¿Por qué va tan despacio este asunto? —gritó iracundo el rey—. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Sissa hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden.

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.
El rey mandó que le hicieran entrar.
– Antes de comenzar tu informe —le dijo Sheram—, quiero saber si se ha entregado por fin a Sissa la mísera recompensa que ha solicitado.
– Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano —contestó el anciano—. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Sissa. Resulta una cifra tan enorme…
– Sea cual fuere su magnitud —le interrumpió con altivez el rey— mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregársela.
– Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Sissa. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campos sea entregada a Sissa. Sólo entonces recibirá su recompensa.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.
– Dime cuál es esa cifra tan monstruosa —dijo reflexionando.
– ¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.

¿Cómo se llega a este resultado?

La solución de “fuerza bruta” consiste en duplicar manualmente cada potencia de dos e ir acumulando la sumatoria correspondiente a esa serie aritmética.

donde ajedrez2 corresponde al número total de granos.

Esta serie puede ser expresada como exponentes:

y representarse en notación de sumatoria (sigma mayúscula) como:

También puede resolverse de forma mucho más fácil por medio de:

Una prueba de lo cual es:

Multiplicar cada lado por 2:

Restar o sustraer la serie original de cada lado:

resultando:

¡Sigue a matematicascercanas en twitter!

¿Cuánto trigo es?

Para hacernos una idea de la cantidad de trigo de la que estamos hablando podemos estimar que en un kilo de trigo hay aproximadamente 25.000 granos de trigo (el peso de 1.000 granos de trigo se puede considerar de unos 40 gramos), por lo tanto:

18.446.744.073.709.551.615 granos -> 737.869.762.948.382 Kg

es decir 737.869.762.948 Tm

La estimación de producción de trigo para la cosecha 2013-2014 es de:

Por lo tanto, tomando esta estimación como cosecha anual, debería poner sobre el tablero las cosechas mundiales de:

Es decir, serían necesarias las cosechas mundiales de algo más de un milenio, es decir ¡¡más de mil años!! para sumar esa cantidad de trigo.

Historia extraída del libro: “El hombre que calculaba” de Tahan Malba

 

 

Advertisements

67 comentarios en “La leyenda del tablero de ajedrez y los granos de trigo

    • No es exactamente así. Ese número es la suma de los granos de las 64 casillas del tablero que, como puedes leer en la entrada es 2^64 – 1.
      Es decir, tendrías que doblar el número de la casilla 64 (no de la casilla 63), que es 2^63 (quedaría al doblarlo 2^64), y restarle 1.

    • Hola David. Lo tienes en la entrada escrito con texto justo antes de donde digo “¿Cómo se llega a este resultado?“: Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.
      Saludos.

  1. Me podrían ayudar a resolverlo

    1. Analiza la siguiente situación:

    En el tema anterior se calculó, por medio de una hoja Excel, el número de granos necesarios para recompensar al inventor del ajedrez. Para lograr esto, usamos simplemente aritmética. Ahora vamos a resolverlo usando álgebra.
    2. Sigue los siguientes pasos para llegar a una solución:
    a. Escribe en potencias de 2 la suma de términos que representan el número de granos necesarios para llenar los primeros 10 cuadros. Llama a esta suma simplemente “S”.
    b. Expresa ahora 2S igual en potencias de 2. Es decir, multiplica cada uno de los términos por 2.
    c. Ahora, resta 2S – S, y observa que todo cancela excepto el primer y el último término.
    d. Con esta fórmula calcula el número de granos de trigo necesarios para llenar las primeras 10 casillas del juego de ajedrez.
    e. Compara que este resultado es el mismo al hacer la suma con Excel.
    3. Ahora, extiende tu pensamiento a un tablero de “N” cuadros y obtén una fórmula general para un tablero de N cuadros.

    • Hola Pedro, ya había un comentario similar al tuyo (la misma actividad propuesta).

      Precísamente ese procedimiento de cálculo es el que sigo en la entrada para calcular los granos de trigo totales de las 64 casillas.

      Fíjate en el apartado que llamo ¿Cómo se llega a ese resultado? y es análogo pero para 10 casillas en lugar de 64.
      Después tienes que hacer lo mismo considerando n casillas.

      Saludos.

  2. Ayuda!
    a. Escribe en potencias de 2 la suma de términos que representan el número de granos necesarios para llenar los primeros 10 cuadros. Llama a esta suma simplemente “S”.
    b. Expresa ahora 2S igual en potencias de 2. Es decir, multiplica cada uno de los términos por 2.
    c. Ahora, resta 2S – S, y observa que todo cancela excepto el primer y el último término.
    d. Con esta fórmula calcula el número de granos de trigo necesarios para llenar las primeras 10 casillas del juego de ajedrez.
    3. Ahora, extiende tu pensamiento a un tablero de “N” cuadros y obtén una fórmula general para un tablero de N cuadros.

    • Holo Lilu. Precísamente ese procedimiento de cálculo es el que sigo en la entrada para calcular los granos de trigo totales de las 64 casillas.

      Fíjate en el apartado que llamo ¿Cómo se llega a ese resultado? y es análogo pero para 10 casillas en lugar de 64.
      Después tienes que hacer lo mismo considerando n casillas.

      Saludos.

  3. Es fácil hacer un calculo aproximado mentalmente, sin necesidad de calculadora:

    2^64 – 1 ~= 2^64
    2^64 = 2^10 x 2^10 x 2^10 x 2^10 x 2^10 x 2^10 x 2^4
    Pero 2^10 ~= 1.000 = 1^03
    2^64 = 10^3 x 10^3 x 10^3 x 10^3 x 10^3 x 10^3 x 16
    2^64 = 10^18 x 16 = 16.000.000.000.000.000.000
    16 trillones (europeos) de granos, con un error del 2.5%.

    Nota: como en los códigos ASCII no está el símbolo de aproximado lo he sustituido por ~=

    • Hacer estimaciones es algo muy habitual en muchos campos, como por ejemplo el de la ingeniería civil (cuando no se requiere precisión, solo cuantificar) en el que yo he trabajado bastantes años.
      Efectivamente la estimación que haces es buena para cuantificar sin necesidad de recurrir a una calculadora, si bien es cierto que no es tan “precisa” como comentas. En realidad el error que se comete con ella no es de un 2,5%, sino de un 13,26% (redondeando), lo que supondría unos 138 años de producción mundial de trigo (que no es poco).
      Donde más precisión se pierde en tu cálculo es al aproximar 2^64 (que es 1.024) a 1.000. Ese error, que inicialmente puede no parecer mucho, se amplifica después con las operaciones.

      No obstante, la apreciación es interesante y agradezco mucho que la hayas hecho.
      Un saludo.

    • Hola Victoria.
      La parte más extensa de la entrada es la propia historia extraída del libro “El hombre que calculaba” de Tahan Malba. Sin las otras dos partes en que he estructurado la entrada, ésta quedaría incompleta ya que la segunda parte es la explicación matemática de cómo se llega a la cantidad que cuenta la historia, y la tercera permite traducir un número tan grande en algo tangible y habitual para nosotros como es el tiempo.
      Un saludo y gracias por comentar.

  4. Mi madre con tercer grado de primaria, hizo manualmente estos cálculos en un cuadernito que llenó de números. Y se encargó de sembrar la curiosidad y el gusto por resolver problemas.
    Hace años di el tema en un séptimo año y le agregué la tarea de calcular cuantos camiones con acoplado serían necesarios para transportar los granos y considerando el largo de los camiones la longitud que cubririan colocados uno detrás de otro. Relacionada esta longitud con el Ecuador daban varias vueltas a este.

  5. Para obtener la cantidad exacta de granos de trigo, simplemente imaginemos que el tablero de ajedrez en lugar de ser de 8×8 que se a de 2×2. Sacamos cálculos en base a esa medida, luego vamos ampliando el tablero a 4×4 y así sucesivamente

  6. COMO CADA CABEZA ES UB MUNDO, NUNCA DARAS GUSTO A NADIE. ES INTERESANTE LA LEYENDA Y DE GRAN UTILIDAD PARA LA INTRODUCCIÓN A LA POTENCIACION. GRACIAS

  7. La solución correcta es 2 a la 63 potencia como la publican no tiene vuelta de hoja y el numero de granos por kilo varia de acuerdo al tamaño del granito y efectivamente es entre 1,500 y 3,000, saquen sus conclusiones.

    • Hola Kronos.

      Lo primero gracias por aportar al blog comentando.
      No es correcto lo que comentas, y te explico por qué.

      En primer lugar, 2^63 es el número de granos de la última casilla del tablero (la casilla número 64) pero no son todos los granos de trigo que habría en el tablero de ajedrez. Para ello, como hago en la entrada, hay que sumar los granos de las 64 casillas, que es lo que pide Sissa al Rey. Por eso hago esa suma de 64 términos de una progresión geométrica de razón 2, cuyo primer término es el 1 y el último es 2^63. Puedes realizarla empleando la expresión habitual que permite calcular dicha suma y comprobarás que efectivamente obtienes el resultado que se indica en la entrada.

      Por otra parte, inicialmente había tomado de internet un dato erróneo para la estimación del peso de esa cantidad de granos de trigo, obteniendo incluso menos granos por cada kilogramo que los que comentas. Gracias al comentario que realizó Abraham, he revisado los datos de una forma más profunda y detallada y he podido comprobar que los pesos, dependiendo de la variedad de trigom para 1.000 granos están entre 30 gramos y 50 gramos. Considerando, como he hecho en la entrada ahora, un peso medio de 40 gramos por cada 1.000 granos, se obtienen unos 25.000 granos de trigo en cada kilogramo, y con ello sería necesario algo más de un milenio (1.000 años) para completar la cantidad de trigo del problema.

      Recibe un cordial saludo.

  8. Hola una consulta he realizado el calculo e la casilla 64, y me sale 9,223,369,376,269,679,808 lo he echo manualmente me tome el trabajo de sumarlo, el resultado que me sale es parecido a la casilla 64 de algunos participantes pueden indicarme si es correcto o si me he equivocado al sumar, gracias.

  9. Me permito hacer una pequeña corrección al calculo de los años para lograr la cantidad de granos.

    El numero de granos de trigo en un kilogramo es de aproximadamente 30000, no 1200, soy Ingeniero Agronomo y personalmente lo he comprobado.
    Por lo tanto el peso del trigo serian 614,891,469,123,651 kg o 614,891,469,123 Toneladas metricas
    Dividido por las 708,891,000 producidas anualmente en el mundo, resulta que requerimos “sólo algunos” 867 años para completar esa cantidad de trigo.

    • Perfecto Abraham. Gracias por la apreciación.
      Lo más importante de todo es el hecho de como crece una función exponencial y la cantidad de granos a la que se llegaría con tan solo las 64 casillas de un tablero de ajedrez.
      Gracias de nuevo por tu valiosa aportación.
      Un saludo.

    • Hola Abraham.

      Buscando con más profundidad datos en internet sobre el peso de los granos de trigo, he corregido la estimación en peso de los granos del problema, considerando un peso para 1.000 granos de trigo de 40 gramos. Por supuesto dicho peso depende de la variedad de trigo, pudiendo ser menor y también mayor, pero es un valor que, según he podido comprobar, está dentro del rango de pesos de este tipo de granos (pesos para 1.000 granos entre 30 gramos y 50 gramos aproximadamente).

      Con esa corrección se obtienen unos 25.000 granos de trigo en cada kilogramo, y con ello sería necesario ahora algo más de un milenio (1.000 años) para completar la cantidad de trigo del problema.

      Gracias por el comentario que hiciste porque me ha ayudado a conseguir una estimación mucho más real.

      Saludos.

    • Gracias a ti por participar en el blog. Nadie está exento de equivocarse o no darse cuenta de algo, pero es bueno que eso ocurra. Además, es mejor participar que no hacerlo. Quién no dice nada cree que no se equivoca nunca, pero en realidad se está equivocando por no decir nada. Muchísimas gracias por participar en el blog, y espero que puedas disfrutarlo mucho o, como digo al principio de él con la imagen de la taza, espero que puedas llenarla muchas veces.

  10. Amadeo, a mi me pasa como a donmario, que creo que el sabio pide que le den el grano que resulte en cada casilla, no solo el resultado final. Por lo tanto, considero queda falta la suma. ¿Alguien me lo aclara, por favor?

    • Hola Miriali. Fijaos bien en lo que dice el texto. Ya se lo comenté a donmario. La cifra que da el anciano, y lo que se calcula en la exposición de después, es justo lo que estáis diciendo: “la suma de los granos de TODAS las casillas del tablero”.
      Dado que se trata de una progresión geométrica de razón 2, en la que el primer término (granos de la primera casilla) es 2^0 = 1, el segundo es 2^1 = 2, el tercero es 2^2 = 4, … , el término 64, es decir, la última casilla del tablero es 2^63 = 9.223.372.036.854.775.808 granos, que nada tiene que ver con el resultado que da el anciano, que es 18.446.744.073.709.551.615 granos, pues este último es la suma de los granos de todas las casillas del tablero (suma de los 64 términos consecutivos de una progresión geométrica de razón 2 en la que el primer término es 2^0 = 1).
      Por cierto, por lo que puedo observar, la cantidad que donmario ha dado de 36.893.488.147.419.100.000, no se corresponde con la suma de los granos de todas las casillas del tablero, como ya hemos visto, de hecho parece el resultado de multiplicar por dos la suma total dada en el texto (lo que él da como solución serían los granos totales de DOS tableros de ajedrez) pero realizada con una calculadora que no tiene la suficiente precisión para poder dar todas las cifras (por eso su cantidad acaba con cinco ceros).
      Espero que con esto ya lo tengas claro Miriali, y también donmario.
      Un saludo y, aunque la apreciación que habéis hecho no estaba bien encaminada, os agradezco que comentéis todo aquello que penséis que pueda no estar bien o que hagáis cualquier sugerencia. Un blog se construye entre todos, con los comentarios de todas y todos aquellos que forman parte de él.

    • miriali, el texto está dando como solución ya la suma de los granos de todas las casillas, creo que no lo habéis leído bien, así que es totalmente correcto. La prueba de ello es la resolución que le sigue para obtener tal cantidad, que no tiene pero alguno porque es perfecta. No se si os habrá confundido el hecho de que a la suma de las 64 casillas le llame T64, en lugar de S64, pero deja bien claro en todo momento que se trata de la SUMA, no de la última casilla.

  11. ¿Se dan cuenta que hay un error?
    La cifra dada por el anciano matemático corresponde a los granos de trigo del cuadro 64. Pero no el total de granos sumados.
    El total de granos de trigo que debería recibir el protagonista, es de:
    36”’893.488”147.419’100.000.

    • Disculpa “donmariog”, pero estás equivocado. El resultado que se da en la narración por el anciano es correcto, es la suma de los granos de todas las casillas del tablero y no los granos de la última casilla como dices tú. Los de la última casilla son 9.223.372.036.854.775.808 como dice el texto, y esa no es la solución que están dando. La cantidad que tú das para nada es la solución.

  12. Utilicé esta entrada para empezar en mi clase el tema de potencias y verdaderamente quedaron mis alumn@s encantad@s!
    Mil gracias por compartir estos recursos tan valiosos para el aula.

  13. Muy interesante …
    Einstein hizo un comentario al respecto…algo así :
    Existe un poder infinito, mayor que una locomotora,
    Mayor que la bomba atómica…..
    Su cálculo es inimaginable ….” El interés compuesto “

Deja un comentario