SOLUCIÓN a ¿Cuántos cuadrados hay dibujados en la imagen?

El problema planteado decía así:

“¿Cuántos cuadrados puedes dibujar siguiendo las líneas del dibujo de la siguiente imagen?

cuantos-cuadrados

Un consejo y a la vez una pista: para dar con el resultado, lo mejor es contar los cuadrados por tamaño.

Veamos la SOLUCIÓN

Haciendo caso al consejo que daba en el enunciado del problema, vamos a contar los cuadrados por tamaño.

Seguro que no es necesario hacerlo, pero es bueno recordar que un cuadrado es un paralelogramo (cuadrilátero de lados paralelos dos a dos) con los cuatro lados iguales (y los cuatro ángulos iguales también).

Tenemos 8 cuadrados pequeños de 0,5 x 0,5 unidades:

cuadrados 01cuadrados 02

18 cuadrados de 1 x 1 unidades:

cuadrados 03cuadrados 04cuadrados 05cuadrados 06cuadrados 07

9 cuadrados de 2 x 2 unidades:

cuadrados 08cuadrados 09cuadrados 10

4 cuadrados de 3 x 3 unidades:

cuadrados 11

Y, por último, 1 cuadrado de 4 x 4 unidades:

cuadrados 12

Así que, en total, tenemos:

8 + 18 + 9 + 4 + 1 = 40 cuadrados

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53 comentarios en “SOLUCIÓN a ¿Cuántos cuadrados hay dibujados en la imagen?

  1. Hola Amadeo.
    En ese caso cual sería la fórmula para hallar cuantos cuadros hay en un rectángulo?
    Entendiendo que el área del rectángulo es l * a

    Gracias

      • Gracias por responder.
        Viendo el blog, identifico que hay una fórmula matemática para responder rápidamente cuantos cuadrados hay dentro de una cuadrícula de 5*5 por ejemplo.

        Mi pregunta ahora es: cual será la formula para identificar cuantos cuadros alberga una rectángulo de 15*20 por ejemplo

        • Ahora sí se entiende mejor tu pregunta.
          Si la cuadrícula es uniforme (todos los “cuadrados unidad” son iguales (no como en este acertijo, que hay 8 más pequeños que los demás) puedes deducirla primero para un rectángulo pequeño y después generalizar llamando por ejemplo “a” a un lado del rectángulo y “b” al otro, e ir expresando las “cuentas” que harías para obtener los cuadrados de cada tamaño algebraicamente (en función de “a” y “b”) en forma de sumandos. Te va a quedar un sumatorio.
          Es bastante sencillo de hacer.

          • Inicialmente pensé en hacerlo de esa manera (identificar la cantidad de cuadros en un rectángulo pequeño y generalizar), pero me encuentro con el problema de que los rectángulos pequeños se van a combinar dando lugar a nuevos cuadros, por eso me vino la inquietud de si existe una fórmula para hallar la cantidad de cuadros inscritos en un rectángulo, ya que la fórmula para hallar la cantidad de cuadros inscritos en una cuadrícula ya la identifique.

            Mil gracias Amadeo, te sigo desde Colombia.

          • Hola de nuevo Andrés.
            Aquí resulta complicado escribir la expresión que te tiene que quedar, pero lo intentaré “con palabras”.

            Si llamamos a al lado mayor del rectángulo y b al lado menor, el número de cuadrados unidad sería el sumatorio desde i=0 hasta i=b-1 de (a–i)(bi)

            Eso desarrollado es igual a:
            a•b + (a-1)(b-1) + (a-2)(b-2) +…+ (a-b+2)•2 + (a-b+1)•1

            Espero que se pueda entender.
            Saludos.

          • Hola Amadeo, feliz día.
            Esa es la fórmula, sería muy larga si evaluamos un rectángulo muy grande, pero esa es.
            Mil gracias.

  2. Yo tengo un cuadro cuadrado grande en la línea de arriba hay cuatro cuadros pequeños én la mano derecha del cuadro hay dos y dos al final hay cuatro cuadros y en la mano izquierda hay un cuadro grande cuantos cuadros tengo, yo conté trece cuadros estoy correcto?

  3. Que bien, estaba algo confundida porque donde lei el problema inicialmente preguntaba cuanto “cuadros” hay, y entiendo por “cuadro” una palabra general quizas mal empleada en este caso para referirse a una figura geometrica de 4 lados con angulos de 90 grados sin importar sus dimensiones y por supuesto es una locura contarlos asi

    • Sí, al parecer hay zonas en las que se emplea cuadro y cuadrado indistintamente. Desde luego que si se incluyesen también los rectángulos saldrían muchísimos más, y sería un poco una locura de problema.

      Un saludo y gracias por comentar en el blog.

      • Amadeo como estas?
        quisiera formularte una pregunta a que correo podría enviártela
        es algo como en una área de 20 cuadros de 1 cm, cuantas formas habría de acomodar 5 cuadrados de 1 cm pero con la condición que estén hilados, sin despegar, ejemplo en forma de L en forma de X, en forma de +, por eso te comentaba para enviarte una hoja de Excel y lo vieras gráficamente, ya que el área de 20 cuadros esta escalonada tipo pirámide.

        gracias Amadeo muy buen articulo.

        saludos

    • Hola Ada. Lo primero de todo darte las gracias por comentar, y por cuestionar la solución que dí, pues eso es algo bueno que siempre debe hacerse.
      Si te fijas bien tú misma has dado la razón a mi solución al decir “los cuadrados del medio están…”. Es decir, son cuadrados que en su interior tienen otro cuadrado más pequeño. Si hubiesen sido concéntricos probablemente no hubieses hecho esa apreciación, pero sería lo mismo.
      De hecho, la mayor parte de los cuadrados que se pueden dibujar utilizando las líneas de la imagen contienen en su interior otros cuadrados, no solo los que citabas del medio.
      Supon que coges un cuadrado y pintas dentro una flor u otra figura geométrica (por ejemplo otro cuadrado)… el cuadrado sigue siendo un cuadrado, aunque en su interior haya otra figura.

      Un saludo.

    • Se trata de formar todos los cuadrados posibles empleando para los lados las líneas del dibujo.
      El hecho de que dentro de un cuadrado pueda haber otras líneas dibujadas no afecta al cuadrado en si. En realidad no se están combinando cuadrados.
      Un saludo.

    • Si tenemos un cuadro dividido en N x N, entonces :
      1.- Tenemos el cuadro principal.
      2.- Tenemos cuadros de (N – 1) x (N -1) que podemos mover con una holgura de 2 posiciones en forma vertical y 2 en forma horizontal, es decir, 2 x 2 = 4.
      3.- Luego tenemos cuadros de ( N – 2 ) x (N – 2 ), con una libertad de movimiento de 3 cuadros en cada direción, es decir 3 x 3 = 9.
      Si seguimos así nos queda una sumatoria de 1 * 1 + 2 * 2 + 3 * 3 + 4 * 4 + … + N * N. A eso hay que sumarle los 10 que se generan con los 2 pequeños al medio intersectados con el resto.

      Entonces es 10 + sumatoria (i * i ) con i = 1, … N. Para N = 4 son 40.

      • Correcto Luis.
        De hecho si el problema hubiese sido con un cuadrado de dimensiones mucho mayores, hubiésemos deducido primero la expresión general como tú has hecho para poder calcularlo fácilmente y así no “volvernos locos”.
        Saludos y gracias por el aporte.

  4. por que no consideraste el de arriba, me refiero a los pintados amarillo? pintaste los de cada esquina y luego 1 de los del medio, el de abajo, pero no el de arriba?

  5. Gracias, me gustó el juego, tuve varias respuestas hasta que las escribí en un papel obtuve la correcta.
    Te volaste la barda Elphego con ésa compicada fórmula… no es lo mío las matemáticas y me dejaste con el ojo cuadrado.
    Saludos a todos lo que participaron y a Amadeo Artacho que ha dado excelentes respuestas a dudas.

    • Muchas gracias a ti Betty.
      Si aún no lo has hecho, te invito a que te des una buena vuelta por el blog.
      Son ua 217 entradas las que llevo y creo que podrás encontrar un poco de todo en él.
      Te animo también, por supuesto, a hacerte seguidora y comentar todo lo que consideres conveniente.
      Un saludo.

  6. No era mas facil aplicar la formula:
    para el cuadrado mas grande> [a(a+1)(2a+1)]/6 y luego sumar los dos cuadrados faltante.
    asi:
    [4(4+1)(2(4)+1)]/6, Simplificando: [4(5)(9)]/6 =30

    Ahora sumamos los dos cuadrados faltantes(este es mas facil) son:
    1er.cuadro =5
    2do cuadro=5

    En total Son: 30+5+5 =40!

    • Más fácil depende de para quien.
      Más sencillo es identificar cuadrados, pues puede hacerlo cualquier persona que símplemente sepa cómo es un cuadrado, sin necesidad de saber plantear expresiones algebraicas y obtener su valor numérico.
      No obstante, es interesante tu aporte, por lo que te agradezco el comentario.
      Un saludo.

    • Ignacio, un cuadrado es un cuadrado (un rectángulo equilátero y/o, si lo prefieres, un rombo equiángulo) como polígono que es, está definido por una línea poligonal cerrada. Su interior es su área, y el área exterior a un cuadrado es otra cosa muy diferente.
      Cuadrados como tales (polígonos así definidos) hay 40. Que haya área interior y exterior a un cuadrado no tiene nada que ver con el número de cuadrados.
      Un saludo.

  7. El resultado no debería ser un número impar?
    Todos los cuadrados estan en pares, menos el cuadro mas grande que es uno solo.
    Yo recorte la hoja y forme los cuadrados, me salen 31.

  8. yo pensaba que eran 16, porque como lo dicen aqui, un cuadrado o cuadro tiene los 4 lados iguales, por lo tanto, muchos de los cuadros tienen lineas intermedias que hacen que dejen de ser cuadros, por lo que me parecieron 16 solamente los que no son alterados por tales lineas.
    Los 4 que estan en la vertical izquierda y los 4 que estan en la izquierda suman 8, mas los cuadros pequeños de 0.5 x 0.5 que son 8.. en total suman 16 cuadros que no son alterados por otras lineas, son 16 cuadros perfectos.

    • Esas lineas intermedias de las que hablas no modifican los lados considerados, pues para los cuadrados que estamos teniendo en cuenta no introducen nuevos vértices. Los lados siguen siendo 4 e iguales todos, y sigue conservando las propuedades del cuadrado. Lo que haya dentro del cuadrado considerado no afecta al hecho de que ese contorno sea un cuadrado. Si por ejemplo tienes un cuadrado y lo rellenas con una trama de rayas en lugar de sólida… ¿deja de ser un cuadrado?

  9. Me encantó compartir éste juego, me entretuvo mucho y puso mi mente a trabajar. Además, nos saca de la monotonía y de ver tantos disparates fuera de contescto en éste fb. No me quejo, estuve cerca conté 36.TAMARA

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