Finitos, infinitos… o nulos ¿por qué no?

Imagina un polígono

Disculpame, creo que no he sido muy concreto, no quería decir un polígono industrial, me refería a una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano… Vamos, un polígono de los de geometría de toda la vida.

Te propongo yo uno si te parece bien. Vamos a suponer que tenemos un cuadrado de lado l cualquiera.

27 01

su área y su perímetro son:

27 01b  27 01c

Si ahora quieres obtener una figura que tenga más perímetro pero el mismo área puedes, por ejemplo, dibujar un rectángulo de base 2l y altura l/2:

27 02

y su área y perímetro serán:

27 02b   27 02c

Puedes hacer algo parecido otra vez, para conseguir así otra figura de igual área y perímetro aún mayor que la anterior:  27 0627 06b   27 06c

Y otra vez más:

27 03

27 03b  27 03c

Como puedes observar, el área es siempre la misma y, sin embargo, el perímetro va aumentando.

Esto puedes hacerlo n veces, llegando así a un rectángulo de base n·l y altura l/n, de área y perímetro:

27 04b   27 04c

Si haces tender n a infinito, es decir, consideras un rectángulo de base infinitamente larga y altura casi cero (es inversamente proporcional a la base), seguirá teniendo el mismo área, y su perímetro tenderá a infinito.

27 05c

No está nada mal, has conseguido mantener el mismo área que tenía el cuadrado con un polígono de perímetro… ¡infinito! (de acuerdo que es un abuso de lenguaje, en realidad es infinito en el límite).

Ahora, imagina que tienes que conseguir lo mismo, es decir, un polígono de perímetro infinito que tenga un área finita… pero sin salirte del espacio de una hoja.

Está claro que lo del rectángulo ya no te vale, porque de momento te sales de la hoja.

¿Se puede dibujar un polígono de perímetro infinito y área finita y que, además, esté contenido en una hoja? Así para empezar, lo del área finita parece que sí ayuda, pero lo del perímetro infinito ya no parece ponérnoslo tan fácil.

Si le damos vueltas a la pregunta, hay una cosa que podemos sacar como condición básica para poder encontrar un polígono de estas características que no se nos salga de la hoja, y es que no puede ser un polígono convexo; si intentamos imaginar cualquier polígono convexo que se nos ocurra aumentando su perímetro (triángulo, cuadrado, rectángulo…), llega un momento que se nos va a salir de los límites que tenemos, como hemos visto con el ejemplo del rectángulo.

Así que nuestro polígono, de existir, tiene que ser cóncavo. Simplemente recordar que un polígono cóncavo es aquél en el que al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180 grados.

Ejemplo de polígono cóncavo
Ejemplo de polígono cóncavo

Pues bien, la solución a este “acertijo” ya está inventada. En 1904, el matemático sueco Helge von Koch la describió en un artículo titulado “Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental“. Esta curva cerrada continua se conoce como copo de nieve de Koch o estrella de Koch.

En lenguaje actual, diríamos que es una curva fractal. Su construcción se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia con un triángulo equilátero en el que finalmente cada uno de sus lados queda sustituido por lo que se llama una curva de Koch.

Y ¿en qué consiste una curva de Koch?

Vamos a ver el proceso que lleva a sustituir cada lado por la llamada curva de Koch: Se toma un segmento, se divide en tres partes iguales, y se reemplaza la parte central por dos partes de igual longitud formando un ángulo de 60 grados.

Von_koch_1

Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración.

Von_koch_2

Se vuelve a hacer lo mismo con cada uno de los 16 segmentos obtenidos:

Von_koch_3

Otra vez más:

Von_koch_4

Y otra vez (quinta etapa):

Von_koch_5

Con esta quinta etapa ya se obtiene una buena aproximación de cómo se ve la curva final.

Y así sucesivamente.

Ahora que ya sabemos cómo es una curva de Koch, nos vamos a ese triángulo equilátero del que hablábamos y vemos nuestro copo de nieve de Koch o estrella de Koch:

Von_Koch_curve

Y, si hacemos zoom contínuamente sobre una parte de la figura, observamos que se repite una y otra vez la misma estructura… sin que termine nunca.

Kochsim¿Qué es lo que ha pasado con el perímetro? Si consideramos de nuevo la primera figura, observamos que para pasar de una línea a la siguiente se reemplaza tres segmentos por cuatro de igual longitud, es decir, que la longitud total se multiplica por 4/3. Después de n pasos iterativos en la construcción recursiva, la longitud de la curva es 3L·(4/3)n, y el límite de la sucesión geométrica anterior de razón 4/3 es infinito, lo que significa que la figura final tiene una longitud infinita (a esto Mandelbrot lo denomina infinito interno).

¿Y con el área? El área es finita, pues está claro que no nos salimos de los límites de la hoja que teníamos.

Así es que, ya tenemos nuestro polígono de área finita y perímetro infinito que, como vemos, no se sale de la hoja. Y además… ¡tiene todos sus lados iguales!

Bien, no está nada mal lo que hemos logrado pero… ¿Y si te pido ahora que dibujes en esa hoja un polígono que tenga perímetro infinito (porque la verdad es que me ha gustado esto del perímetro infinito) pero que tenga área nula?

Vamos a intentarlo juntos.

Si te parece bien, retomamos el cuadrado de lado l con el que habíamos empezado todo esto.

De momento tenemos perímetro finito y área finita… (entre tú y yo) no vamos muy bien.

Vamos a dividir el cuadrado en 9 cuadrados congruentes, y eliminamos el cuadrado del centro.

Está claro que ahora tenemos menos área que antes, y también que el perímetro ha aumentado, pues al perímetro exterior tenemos que sumarle ahora el perímetro interior.

Hacemos lo mismo otra vez, pero ahora en cada uno de los 8 cuadrados que nos han quedado.

 

El área es aún menor y el perímetro es mayor. Bueno, al menos nos vamos acercando a lo que queríamos, aunque la verdad es que estamos aún muy lejos.

Vamos a seguir con este método que parece que funciona bien…

Hagámoslo otra vez más…

¡Vaya! cada vez que eliminamos cuadraditos, el perímetro es mayor y el área menor (se va viendo cada vez “más negro”). Como cada vez que lo hacemos nos van quedando siempre cuadraditos más pequeños sobre los que volver a repetir este método, si lo repitiésemos una y otra vez… y otra vez… y otra vez… en el límite, tendríamos un área nula y un perímetro… ¡infinito!

Et voilà! ¡Tenemos nuestro polígono de perímetro infinito y área nula!

Bueno, en esta vida hay que ser sinceros y, como además muchas y muchos ya lo sabían, os diré que esta idea tan fantástica no se me ha ocurrido a mi (¡qué más quisiera yo!), pues se trata de la alfombra de Sierpiński, un conjunto fractal descrito por primera vez por Wacław Sierpiński en 1916. Se trata de una generalización a dos dimensiones del conjunto de Cantor.

Y, ya para terminar, como cuando las cosas en 3D se ven más espectaculares… ¿os imaginais cómo sería si en lugar de hacer esto con un cuadrado lo hiciésemos con un cubo? ¿Y si además pudiésemos visitarlo por dentro? Con las matemáticas todo es posible y la imaginación no tiene límites.

Como no quiero extender esto en exceso, si a alguien le apetece hacer ese viaje, sólo tiene que pinchar en la siguiente imagen y dejarse llevar por la imaginación…

Esta entrada participa en la Edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

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15 thoughts on “Finitos, infinitos… o nulos ¿por qué no?

  1. Después de ver esto, me reitero en que me tengo que pasear por tu blog con tranquilidad (en cuanto lleguen las vacaciones de verano). Un saludo

  2. Un excelente artículo. Muy completo y verdaderamente interesante para compartirlo. Uno más me que quedo para disfrutarlo con mis alumnos. Gracias por compartirlo. Un saludo.

  3. Me encantaaaa!
    Es buenísima, pero no solo esta entrada ¡adoro este blog!
    es una sorpresa tras otra… Mis felicitaciones, enhorabuena por su trabajo!!!!!!

  4. Pingback: Bitacoras.com

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