“Truco” para las razones trigonométricas de ángulos notables

En nuestra aventura de conocimiento que es la escuela, en esa travesía que hacemos por la senda de las matemáticas, que en ocasiones parece más un laberinto que un camino, llega un momento en que viajamos por el… mundo de la geometría.

Primero aparecen las figuras geométricas y aprendemos a distinguir entre triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos y… ¡óvalos! Y además hacemos dibujos con ellos… la cabeza es un círculo, los brazos y las piernas son rectángulos, los pies triángulos…

Después aparecen otras figuras como los romboides, los trapecios, los trapezoides (que son algo así como los que no son nada de todo lo de antes)… hablamos de polígonos, y hacemos clasificaciones de todos ellos distinguiendo entre triánguloscuadriláteros (y dentro de éstos paralelogramos, trapecios…)… aparecen los polígonos regulares de más de cuatro lados… y empezamos a calcular áreas y perímetros de todos ellos.

En fin, que parece que la cosa se va complicando, sobre todo si nos hemos perdido por el camino.

En ese mundo que se va levantando a nuestro alrededor la figura de los triángulos toma un papel destacado y, además, decimos que hay triángulos equiláterosisósceles, escalenos, y también acutángulos, obtusángulos y… ¡rectángulos!

Sí… ¡rectángulos! (con exclamación) porque nos van a dar mucho juego. Buena culpa de ello la tiene la aparición estelar de… ¡El Teorema de Pitágoras!

Ese que dice que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo, sobre el que está tumbado el hipopótamo del dibujo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

c2 = a2 + b2

hippopotenuse

Sí porque, con el teorema de Pitágoras, los lados del triángulo rectángulo pasan a llamarse catetos e hipotenusa.

Al principio nos cuesta algo distinguir bien la hipotenusa (hay una extraña fuerza que nos atrae hacia el lado oscuro y nos hace pensar que debe ser el lado del que no conocemos su valor, comunmente conocido como “x”), pero llega un momento en que, de tantas veces que lo hemos visto, llegamos a controlarlo (más o menos)… y con ello, se despierta en nosotros una capacidad insospechada para calcular lados y alturas desconocidos en polígonos (sí, esos que nos hacen falta para las “fórmulas”)… ahora sí, parece que el cálculo de perímetros y áreas de figuras planas ya no se nos resiste (… o igual un poco).

Darth Vader - Star Wars

Ilustración de Darth Vader, obra de Joe Wight. ¿Será éste el lado oscuro que nos hace pensar que la hipotenusa es siempre el lado que no conocemos?

Pero… lo que sí llevamos bien es eso de que los ángulos de un triángulo (que son tres) suman 180º. Y cuando no sabemos uno de ellos, le restamos a 180º los otros dos para calcularlo.

Nos decimos a nosotros mismos que parece sencillo lo de los ángulos. Además, también tenemos claro eso de que en el triángulo rectángulo hay un ángulo que es de 90º, y que se le llama ángulo recto.

Pero… entonces… aparece la… ¡Trigonometría!

Y empiezan a hablarnos de razones trigonométricas… de senos, cosenos, tangentes¡Pero esto qué es ahora!

Resulta que los lados del triángulo rectángulo ya no tienen sólo nombres, sino que también tienen apellidos: cateto opuesto y cateto contiguo o adyacente.

triángulo rectángulo

Así, aprendemos que el seno de un ángulo α es la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa…

trigonometria01

… el coseno de un ángulo α es la razón entre el cateto contiguo o adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa…

trigonometria02

… y la tangente de un ángulo α es la razón entre el seno de dicho ángulo y su coseno o, expresado de otra manera, entre el cateto opuesto y el cateto contiguo…

trigonometria03Y no sólo eso, porque además están los inversos de cada uno de ellos y hay relaciones entre ellos… Incluso aparecen nuevas herramientas para el cálculo en triángulos, como el Teorema del seno y el Teorema del coseno….

… pero no nos adentremos tanto en este mar, porque para navegar en él habría que hacerlo más despacio y sabiendo lo que hacemos en cada momento.

Vamos a quedarnos en esto del seno y del coseno de un ángulo.

Resulta que cuando los estudiamos, aparecen una serie de ángulos que llamamos ángulos notables, que en el primer cuadrante nos cuentan que son 0º, 30º, 45º, 60º y 90º, y las razones trigonométricas de cada uno de ellos (eso del seno, coseno y tangente) tienen unos valores bastante particulares y que, además ¡tenemos que sabérnoslos!

…  trigonometria04   …  trigonometria06…  trigonometria05

En ese momento es cuando decimos ¿para qué?… ¡si seguro que me lo dice la calculadora!

Pero nuestra esperanza tecnológica rápidamente se desvanece cuando nos responden que debemos operar con fracciones y no con decimales, porque además de no perderse parte de la precisión con las aproximaciones que haríamos utilizando decimales, después se simplifican bastante las operaciones y nos van a quedar resultados “bonitos” (esos que cuando nos salen decimos: “esto seguro que está bien”).

Así es que, mucho que nos pese, tenemos que saber cuánto vale el seno, coseno y tangente de cada uno de estos ángulos.

Y aquí, después de todo este “sinuoso” recorrido, es donde interviene en nuestro auxilio (ya estábamos al borde de la desesperación) el “truco” al que hace mención el título de esta entrada.

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Si hiciésemos una tabla con los valores que se supone que debemos sabernos, sería algo así como la siguiente:

Razones ángulos notables

Ni que decir tiene que aprenderse los valores de la tangente es un poco absurdo pues, sabiendo el seno y el coseno, la tangente se obtiene dividiendo el primero entre el segundo. Con lo que nos valdría con aprendernos únicamente los valores del seno y del coseno.

Cuando tenemos una cosa así, solemos buscar un camino más sencillo que nos ayude a recordarlo. Es decir, intentamos crear una regla mnemotécnica. Pues eso es lo que vamos a hacer.

Primero dibujamos un símbolo de raíz grande, tal como éste…

razonestrigono_02

… escribimos dentro dos filas de números, en la parte superior una que vaya del 0 al 4, y en la parte inferior otra que vaya al revés, del 4 al 0…

razonestrigono_03

… dibujamos una barra grande debajo y un 2 bajo ella…

razonestrigono_04

… y ahora lo completamos con lo que nos interesa saber…

razonestrigono_05

¡Pues ya lo tenemos!

Ya podemos saber el seno o el coseno de cualquiera de estos ángulos notables.

El procedimiento es bastante sencillo. El resultado va a ser la raíz de un número entre 2, y ese número es el que corresponde a la fila del sen o del cos (según queramos calcular el seno o el coseno) y a la columna del ángulo notable en cuestión. Después tan solo tenemos que simplificar el resultado obtenido, si se puede. Vamos a hacer unos ejemplos que así se ve mucho mejor.

Supongamos que queremos saber el sen 30º

razonestrigono_06

es decir:

razonestrigono_11

Calculemos ahora, por ejemplo, el cos 45º…

razonestrigono_07

sería:

razonestrigono_12

O el sen 60º…

razonestrigono_08

que es:

razonestrigono_13

O el sen 90º…

razonestrigono_10es decir:

razonestrigono_14

¿Sencillo, no?

Desde luego es una ayuda, y mejor que aprendérselas de memoria.

Pero ¿de verdad hay que aprendérselas de memoria?

Para mí el verdadero “truco” es saber deducirlas. Y mejor aún es hacerlo utilizando las cosas que ya conocemos.

Vamos a emplear el Teorema de Pitágoras y buscar triángulos rectángulos donde aparezcan estos ángulos notables.

¿En qué triángulo encontramos seguro ángulos de 60º? Pues en un triángulo equilátero, que tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos también iguales…

razonestrigono_15

Pero, como lo que queremos es un triángulo rectángulo y además nos interesa encontrar también un ángulo de 30º, vamos a quedarnos con una de las dos mitades en que queda dividido por su altura…

 Y ahora, para calcular el otro cateto que nos falta por saber (h), vamos a utilizar lo otro que habíamos comentado: el Teorema de Pitágoras.

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Ya sabemos todo lo que necesitamos para poder calcular las razones trigonométricas de 30º y 60º…

razonestrigono_20

Lo hacemos:

razonestrigono_21

razonestrigono_22

razonestrigono_23

razonestrigono_24

Para ver ahora las razones trigonométricas de 45º, necesitamos un triángulo rectángulo que tenga un ángulo de 45º.

Si partimos de un cuadrado, de ángulos 90º…

razonestrigono_25

Y nos quedamos con una de las dos mitades en que queda dividido por una de sus diagonales, tenemos lo que buscábamos: un triángulo rectángulo con ángulos de 45º…

En este caso, lo que nos falta por averiguar es la hipotenusa (d), para lo que volvemos a utilizar el Teorema de Pitágoras.

razonestrigono_27razonestrigono_28razonestrigono_29Y ya podemos calcular el seno y el coseno de 45º:

razonestrigono_30

razonestrigono_31

Nos quedan por ver las razones trigonométricas de 0º y 90º. En ambos casos tenemos que recurrir a “triángulos teóricos”. Vamos a verlo.

Si partimos de un triángulo rectángulo con un ángulo cualquiera, y vamos disminuyendo cada vez más ese ángulo, como se ve en la siguiente imagen, el cateto opuesto se va haciendo cada vez más pequeño y la longitud del cateto contiguo se acerca cada vez más a la longitud de la hipotenusa. Así, cuando el ángulo es de 0º, tenemos un “triángulo teórico” en el que el cateto opuesto es cero y el cateto contiguo coincide con la hipotenusa.

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De esa manera el seno y el coseno de 0º serían:

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Si partimos ahora de un triángulo rectángulo con un ángulo cualquiera agudo, y vamos aumentando cada vez más ese ángulo acercándonos a 90º, el cateto contiguo se va haciendo cada vez más pequeño y la longitud del cateto opuesto se acerca cada vez más a la longitud de la hipotenusa. De esa manera, cuando el ángulo es de 90º, se tiene un “triángulo teórico” en el que el cateto contiguo es cero y el cateto opuesto coincide con la hipotenusa.

razonestrigono_35

Y en esa situación:

razonestrigono_38

razonestrigono_39

Pues ya tendríamos el seno y el coseno de los ángulos notables del primer cuadrante.

¿Y la tangente? Pues lo que habíamos dicho ya: dividiendo directamente el seno entre el coseno.

Como conclusión, es práctico tener un “truco” o regla mnemotécnica como el que hemos visto, pues nos permitirá saber con bastante rapidez el valor de las razones trigonométricas que necesitemos cuando estemos haciendo cálculos.

Pero es muy importante saber de dónde vienen estos valores y tener bien claros los conceptos, en definitiva, entender las cosas, porque es lo que nos va a permitir hacer mucho más y, como diría el Maestro Yoda, “de bastantes situaciones airosos salir”.

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Ilustración realizada por Joe Wight de Yoda.

¡Qué la fuerza os acompañe!

 Esta entrada participa en la Edición 6.X “El grafo” del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

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43 comentarios en ““Truco” para las razones trigonométricas de ángulos notables

  1. Bueno señor Amadeo para ser la primera vez que leo su página me parece muy entretenida e interesante, la forma que explica las razones trigonométricas de los ángulos notables me agrado mucho ya que es un buen truco para el transcurso de un estudiante como yo. Siga por favor así, de una forma muy interesante, empleando gráficos para ser entendible lo explicado.
    ALUMNA: CORREA CORPUS MARÍA FERNANDA
    GRADO Y SECCIÓN: 3ERO “E”

  2. Muchas gracias Amadeo, pero me sigue surgiendo una duda. Supongamos que necesito saber cual es el seno de 37º y quiero utilizar la segunda regla mnemotécnica que has explicado, como sería la operación para representar dicho valor en número décimal por ejemplo.

  3. Me parece genial, los verdaderos matemáticos hacen lo difícil sumamente fácil y entendible. En cambio quien vuelve complicado algo simple se debate entre su frustraciones buscando la admiración de los demás sin encontrarla. -DL-

    • Hola Dario.
      Bueno, yo no soy matemático, eso son palabras mayores, tan solo alguien a quien le gusta contar y explicar lo que sabe y disfruta mucho haciéndolo.
      A mi me gustaría que me lo explicasen de forma sencilla y entendible, y así es como intento hacerlo (tampoco sé hacerlo de otra manera). Es absurdo complicar las cosas más de lo que puedan ser ya de por si, a no ser que lo que se pretenda en realidad sea alejarlo de la gente y con ello parecer que se es más por lo que supuestamente se sabe y que los demás no. Pero ese no es mi caso, si no no estaría haciendo todo esto.

      Muchas gracias por comentar Dario.
      Un saludo.

      • buenas es un placer dirigir a hacia ud. estas palabras con las que aquí hoy relato. para comenzar daré mis mas encarecidas gracias y felicitaciones por el tema que ha expuesto anticipadamente siendo todo esto muy útil para la comprensión y base a la introducción del curso y ademas resaltare que me llena de jovialidad saber que al quien me dirijo tiene aquella idea de darnos una solución de forma sencilla y entendible ya dicho esto expresare el porque de mi comentario enviado hacia ud me ha sucedido que me encuentro en un irresoluble( para mi) problema matemático que consiste en demostrar las rt del angulo tercio de 60 vale decir necesito calcular las rt del angulo 20 grados y se que ud podra hacerlo sin necesidad de complicarnos la vida sin mas que decir y esperando su respuesta pronto me despido con una sonrisa de oreja a oreja GRACIAS.

        • Hola Paula.
          Si ves al completo la entrada y lees detenidamente los ejemplos que se hacen utilizando este truco lo entenderás. Siguiendo los pasos que se indican se obtienen los distintos valores.

          Mira primero bien el cuadro con todos los valores para que entiendas qué valores finales se tienen que obtener en cada caso, y después mira los ejemplos de utilización del truco (comprendiéndolo) y prueba tú con otros. Si lo haces correctamente te saldrán los valores de la tabla inicial.

          Saludos.

    • Gracias Isabel, me alegra que te haya gustado.

      El truco es fácil de recordar y muy útil para obtener los valores de forma rápida. Ahora bien, como digo en la entrada, te recomiendo que intentes comprender también la deducción de esos valores que viene después, porque de esa manera tendrás muchas más herramientas y recursos para hacer otras cosas.

      Un saludo y muchas gracias por comentar Isabel.

  4. Excelente página. Me ha parecido muy chévere todas las publicaciones. Gracias por hacer posible un acercamiento a las matemáticas de forma entretenida.

  5. Una lectura tan entretenida como la película de Star… Lo interesante es que es profundamente pedagógico y fácil de recordar. Es el primer post que leo de usted pero creo que muy probablemente no será el último. Un saludo.

    • Muchas gracias Gustavo. Agradezco mucho tus palabras, porque es algo que busco siempre cuando escribo, tratar las cosas de una forma sencilla, cercana y entretenida.
      Espero que te guste lo que hago en el blog, hay mucho para ver si, como dices, es la primera vez que aterrizas en él.
      Estaré encantado de que formes parte del blog y comentes y aportes con ello siempre que lo consideres conveniente.
      Un saludo y gracias de nuevo.

  6. ¡Cómo para no entender cómo se calculan las razones trigonómetricas de los ángulos notables! Si con las explicaciones que tú das es imposible perderse…
    Un placer leer tus entradas, como siempre

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