Solución de “Multiplicando los números de dos cifras… ceros”

El problema que propuse decía así:

“Si multiplicamos todos los números enteros positivos de dos cifras, es decir:

10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · … · 95 · 96 · 97 · 98 · 99

¿Cuántos ceros seguidos tendrá al final el resultado?”


Veamos la SOLUCIÓN

solucioncerosPara que se vea mejor, voy a resolver primero un caso más sencillo, y después resolvemos el caso concreto que planteé.

Vamos a ver, por ejemplo, cuántos ceros seguidos tiene al final el resultado de multiplicar los seis primeros números enteros positivos de dos cifras

10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15

Obviamente, se trata de averiguarlo sin tener que realizar la multiplicación completa.

Lo primero que debemos plantearnos es: ¿De qué depende el número de ceros seguidos que pueden aparecer al final de un número? Pues parece bastante intuitivo que depende de las veces que hayamos multiplicado por 10 en la obtención del número o, dicho de otra manera, de las veces que pueda aparecer el 10 en la descomposición del número en factores.

Así, por ejemplo, si se ha multiplicado dos veces por 10 el número tendrá dos ceros al final, o si se ha multiplicado cuatro veces por 10, el número tendrá cuatro ceros al final.

Observando los números que estamos multiplicando

10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15

podemos pensar que se ha multiplicado una vez por 10 y que el resultado final tendrá sólo un cero al final, pero eso no es cierto.

Para ver realmente cuántas veces aparece el 10 en la descomposición en factores, tenemos que realizar la descomposición en factores primos de cada uno de los números que estamos multiplicando. Y ahora veremos por qué lo hacemos.

10 = 2 · 5

11 = 11 (es un número primo)

12 = 2 · 2 · 3

13 = 13 (es un número primo)

14 = 2 · 7

15 = 3 · 5

Con lo que tendríamos:

10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 = 2 · 5 · 11 · 2 · 2 · 3 · 13 · 2 · 7 · 3 · 5

Ahora debemos darnos cuenta de que 10 es el resultado de multiplicar 2 por 5

10 = 2 · 5

O, lo que es lo mismo, estamos multiplicando por 10 cuando multiplicamos por 2 y por 5.

Tenemos que buscar por tanto “parejas de 2 y 5” entre los factores…

solucionceros_01

Así que, en este caso, estamos multiplicando dos veces por diez y, en consecuencia, el número resultante de la multiplicación  10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15  tendrá dos ceros seguidos al final.

Ahora vamos al caso que planteaba de multiplicar todos los números enteros positivos de dos cifras

10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · … · 95 · 96 · 97 · 98 · 99

Como hemos visto en el ejemplo anterior, debemos buscar parejas de 2 y 5. Pero si os fijáis bien, a parte de eso, el número de parejas de 2 y 5 está condicionado por el número de cincos que haya, porque doses hay bastantes más (como mínimo uno por cada número par que estamos multiplicando… aunque hay bastantes más).

Así que en realidad no necesitamos descomponer cada número de dos cifras en factores primos, como hemos hecho en el ejemplo anterior para que se viese bien, y nos es suficiente con buscar los números que sean divisibles entre cinco (que acaben en 0 o en 5), pues tendrán al cinco entre sus factores primos.

En nuestro caso, divisibles entre cinco son:

10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95

es decir, 18 números.

Ahora bien, hay que tener en cuenta que de estos 18 números, además, el 25, el 50 y el 75 tienen dos cincos entre sus factores primos…

25 = 5 · 5

50 = 2 · 5 · 5

75 = 3 · 5 · 5

… por lo que debemos añadir 3 cincos más a los 18 que teníamos, resultando en total 21 cincos entre los factores que estamos multiplicando y, al haber más de 21 doses, también hay 21 parejas de 2 y 5 y, en consecuencia, multiplicamos 21 veces por diez.

Podemos entonces concluir, respondiendo a la pregunta del problema, que el resultado de multiplicar todos los números enteros positivos de dos cifras tiene 21 ceros seguidos al final.

Y todo esto sin realizar la multiplicación.

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8 comentarios en “Solución de “Multiplicando los números de dos cifras… ceros”

  1. Campina Grande-Paraiba-Brazil, 17 de abril de 2016

    Olá Amadeo Artacho:

    Outra maneira que encontrei para saber em quantos zeros termina o produto de todos os naturais de dois algarismos foi a seguinte;

    Primeiro: encontrar em quantos zeros termina 99! (o fatorial de 99)
    Basta fazer: 99/5 = 19; 19/5 = 3, como 3 < 5 termina a divisão. Somando os quocientes, obtém-se: 19 + 3 = 22 (o fatorial de 99 termina em 22 zeros). Como 99! = 99.98.99. … .10.9.8.7.67.5.4.3.2.1
    O produto: 9.8.7.6.5.4.3.2.1 termina em um zero, logo, 22 zeros – 1 zero = 21 zeros.
    Portanto o produto: 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · … · 95 · 96 · 97 · 98 · 99 termina em 21 zeros.

  2. No habría que tener en cuenta también todas las veces que sale en las factorizaciones el 2?? Ya que cinco factores del 2 también añaden un cero.

    • Hola Pepe. Lo primero gracias por aportar comentando.
      No es cierto lo que comentas, ya que cinco factores del 2 no añaden un cero, pues sería:
      2×2×2×2×2 = 32
      Creo que lo has confundido con cinco veces 2 (que son sumas, no productos):
      2+2+2+2+2 = 5×2 = 10
      No obstante me alegra que se cuestionen las cosas, aunque esta vez no haya sido correcta la apreciación. Eso es algo muy bueno.

      Espero habérte podido aclarar tu duda.

      Un saludo y gracias de nuevo Pepe.

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