¿Cómo se obtiene la fórmula de las ecuaciones polinómicas de segundo grado?

Seguro que has resuelto más de una vez una ecuación polinómica de segundo grado de una variable, también conocida como ecuación cuadrática, cuya expresión general es:

segundogrado02

donde a, b y c son los coeficientes y x es la variable.

En la cual necesariamente a≠0, pues de lo contrario el primer término se anularía y ya no sería una ecuación de segundo grado.

Para hacerlo, habrás utilizado la famosa fórmula, que muy probablemente se habrá quedado grabada en tu cabeza, de

segundogrado01

¡Bendita expresión que simplifica tanto las cosas!

segundogrado00

Pero…

¿Sábes de dónde sale?

Pues vamos a verlo.

Para ello hacemos uso de los criterios de equivalencia de ecuaciones.

El primero de ellos dice que si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación resultante es equivalente a la dada.

El segundo dice que si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide por una misma cantidad, la ecuación que se obtiene es equivalente a la de partida.

El que vamos a recorrer no es el único camino para llegar a nuestra famosa fórmula, pero sí es probablemente el más sencillo, y a mí me gustan las cosas sencillas.

Partimos de la expresión general de la ecuación polinómica de segundo grado:

segundogrado02

Restamos c a ambos lados…

segundogrado03

Multiplicamos ambos miembros por 4a

segundogrado04

y sumamos b2 en los dos lados…

segundogrado05

Alguien se preguntará que por qué hacemos todo esto. Pues bien, lo hacemos porque estamos buscando poder expresarlo como el cuadrado de un binomio, que es algo a lo que se recurre con bastante frecuencia en demostraciones matemáticas ya que suele simplificar mucho las cosas.

De hecho ese es el siguiente paso, porque el miembro de la izquierda se puede expresar como el cuadrado de un binomio:

segundogrado06

Ahora hacemos la raíz cuadrada a ambos lados…

segundogrado07

y restamos b en los dos miembros…

segundogrado08

¡Casi lo tenemos!

Como se ve ya bastante claro, lo que nos queda por hacer es dividir a ambos lados por 2a

segundogrado09

Et voilà!

Si esto fuese un GPS nos habría dicho: “Ha llegado a su destino”.

Como parece lógico, no hay por qué hacer todo esto para llegar a la expresión que nos da las soluciones de la ecuación cuadrática cada vez que tengamos que resolver una, pues para eso nos habremos aprendido la fórmula, para aplicarla directamente.

Pero al menos utilizarla no será ya un acto de fe y conoceremos su razón de ser.

Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.

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16 comentarios en “¿Cómo se obtiene la fórmula de las ecuaciones polinómicas de segundo grado?

  1. ¡Que interesante! ¡Y qué recuerdos!
    Me acuerdo de que cuando era u crío, el paso de ax^2 +bx = -c a
    4a^2 + 4abx = -4ac me resultaba incomprensible. Para mi era un “salto en el vacío” que me bloqueaba y me impedía comprender el razonamiento.
    Es por esto que, aunque me gusta mucho la entrada y veo que está escrita de manera clara y comprensible, y además con su toque de humor, como debe ser, no me satisface completamente.
    Creo que debería estar más motivado el paso, aunque desde luego dos lineas más abajo aparece una explicación.
    Y además, a estas alturas, despues de estudiar una licenciatura en matemáticas y de estar 30 años dando clases en enseñanza secundaria, parece “tan evidente”.
    Y es que en matemáticas cuando no sabes algo, cuando aún no lo has comprendido te parece algo incomprensible que nadie nunca podrá saber jamás, y cuando ya lo has comprendido te parece evidente por sí mismo y lo que ahora no entiendes es cómo no lo comprendías al principio.
    Bueno, a lo mejor me animo, si tengo tiempo, a reproducir esta entrada en mi blog (citando la fuente, claro ) y añadiendo algo en este paso.
    Mi blog se llama parafernalias matemáticas http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/
    Felicitaciones por la entrada y en general por el blog

  2. ¡Me ha encantado Amadeo!

    Lo mío con la ecuación de segundo grado siempre ha sido un acto de fe hasta que vi que lo puedes pensar gráficamente. Son los dos puntos al cortar el eje y = 0 a una parábola. Soy muy gráfico jejeje.

    Pero no había pensado como demostrarlo analíticamente como los has hecho en este post.

    Muchas gracias por el post

    PD: compartido en las redes

  3. Ya lo conocía pero no lo recordaba, lo has explicado muy sencillo! Viendo que eres profesor de secundaria, me gustaría conocer tu opinión: recomendarías enseñar a los alumnos a resolver las ecuaciones de segundo grado de ésta forma (es decir buscando el binomio al cuadrado) en vez de usar la fórmula y punto? Lo haces con tus alumnos?
    Justo estoy empezando a ser profesora e intento apostar por las metodologías más competenciales y menos repetitivas y creo que de ésta forma se dejaría de mecanizar un proceso que, en mi humilde opinión, es poco interesante (usar solo la fórmula).

    Salutaciones y gracias por avanzado.

    • Hola Mariona. Todo lo que sea pensar y razonar en lugar de hacer las cosas mecánicamente está claro que es mejor y que les va a dar muchas más herramientas y posibilidades para resolver problemas.

      Pero no es nada sencillo y más cuando llegan a ciertos niveles con una “inercia” o dinámica en la que no lo han hecho antes. Quizás no se trate tanto de que resuelvan las ecuaciones de segundo grado así, porque es muy probable que no consigan verlo, como de ir trabajando con ecuaciones equivalentes e intentando obtener cuadrados de binomios y otras identidades notables gradualmente de más sencillo a más complejo.

      También va a depender mucho del grupo, pero eso quien mejor lo verá eres tú misma.

      Gracias por el comentario.
      Un saludo Mariona.

  4. Leer la información por Uds entregada hace que uno se interese cada vez más por la matemática y entrega incluso nuevas formas para reencantar a niños y jóvenes con tan hermosa asignatura. Gracias por el aporte.

  5. También se llega a la fórmula general dividirndo desde un principio entre “a”, para después completar un TCP y posteriormente factorizar e ir reduciendo hasta despejar “x”.

  6. Pingback: Bitacoras.com

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