Opuesto de un número entero

El opuesto de un número entero es otro número entero con igual valor absoluto y signo contrario.

Es decir, es otro número entero que está a la misma distancia del cero pero al otro lado de la recta numérica.

El opuesto de un número entero se representa escribiendo las letras «Op» y entre paréntesis el número. Así, por ejemplo, el opuesto de -4 sería:

Op(-4)

Según la definición que hemos dado antes, el opuesto de -4 sería:

Op(-4) = +4

Pero mejor te lo voy a explicar con más detalle en el siguiente vídeo, en el que además vamos a aprender una forma muy directa y sencilla de calcular el opuesto de un número entero, y vamos a hacer varios ejemplos.

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Valor absoluto de un número entero ✔️ Operaciones con valor absoluto

El valor absoluto de un número entero representa la distancia que hay de dicho número al cero.

El valor absoluto de un número entero se representa escribiendo el número entre dos barras verticales. Así, por ejemplo, el valor absoluto de -3 sería:

|– 3|

Y, según la definición que hemos dado antes, dado que la distancia que hay de -3 a 0 es de 3 unidades, su valor sería 3.

|– 3| = 3

 

Por otra parte, puede ocurrir que tengamos operaciones en las que aparezcan valores absolutos, como por ejemplo:

|– 6 + 1| – 2

¿Cómo se resuelve este tipo de operaciones?

En el siguiente vídeo vamos a ver con más detalle el concepto de valor absoluto de un número entero, tanto su significado como cómo calcularlo de una forma sencilla y directa, y vamos a aprender a resolver operaciones con valores absolutos, para lo cuál haremos varios ejemplos diferentes explicados paso a paso.

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Operaciones combinadas con números naturales. Jerarquía de operaciones

Para realizar operaciones combinadas con números naturales es necesario seguir un orden o jerarquía a la hora de realizar las distintas operaciones que pueden aparecer (suma, resta, multiplicación, división, potencias, raíces, paréntesis, corchetes…).

Esto es lo que se conoce habitualmente como jerarquía de operaciones. Es decir, no podemos hacer las operaciones en cualquier orden, sino siguiendo un orden determinado.

Se resuelven primero las operaciones que aparecen dentro de paréntesis y corchetes, y después el resto (aunque en ocasiones se puedan hacer algunas operaciones simultáneamente), siguiendo tanto dentro como fuera de los paréntesis este orden:

1. Potencias y raíces

2. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha, cuando aparecen seguidas)

3. Sumas y restas

A continuación incluyo dos vídeos, en los que explico toda la jerarquía de operaciones y resuelvo, paso a paso, varios ejercicios de operaciones combinadas con números naturales, empezando por un ejemplo muy sencillo y terminando con un ejercicio con todo tipo de operaciones, paréntesis, e incluso potencias y raíces.

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Fracción generatriz de un número decimal. Pasar de decimal a fracción

En algunas ocasiones tenemos que hacer operaciones en las que intervienen números decimales que no son exactos, es decir, que tienen infinitos decimales.

Si queremos evitar tener que utilizar una aproximación del número para poder realizar las operaciones con números decimales, y con ello perder exactitud en el cálculo, lo que debemos hacer es escribir dichos números en forma de fracción.

Esto es lo que se conoce como calcular la fracción generatriz de un número decimal, es decir, pasar de número decimal a fracción.

Se le llama fracción generatriz porque genera (da como resultado) dicho número decimal al dividir el numerador de la fracción entre el denominador.

Ojo, que esto, pasar de número decimal a fracción, podemos hacerlo siempre que los números decimales sean exactos, periódicos puros o periódicos mixtos (no os preocupéis porque en los vídeos que os voy a poner ahora explico perfectamente cómo es cada uno de estos números), pero no podemos hacerlo si se trata de un número irracional, que tiene infinitos decimales pero no es periódico y, por definición, no se puede expresar en forma de fracción.

Hasta aquí todo muy bien, pero necesitamos ver ejemplos y explicaciones, así que vamos a ello.

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Operaciones combinadas con potencias #4 (Con distinta base y exponente)

¡Vamos a dar un paso más y vamos a resolver un ejercicio de operaciones combinadas con potencias más completo aún que los que hemos visto hasta ahora!

En el blog hemos ido viendo cómo realizar distintas operaciones con potencias (con la misma base o con el mismo exponente) de forma individual.

En publicaciones anteriores vimos primero dos ejercicios de operaciones combinadas con potencias en los que todas las potencias tenían la misma base, después otro ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que, sin embargo, no eran todas las bases iguales, pero sí coincidían algunas, y por último resolvimos un ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que tanto las bases como los exponentes eran distintos.

En esta ocasión, también tendremos bases y exponentes diferentes, pero además aparecerán exponentes negativos e incluso alguna potencia de potencia.

Intentaremos conseguir tener potencias de igual base para poder hacer operaciones entre ellas, y para eso descompondremos las bases en factores primos primero.

Tendremos que hacer multiplicaciones de potencias de la misma base, divisiones de potencias de la misma base, potencias de una potencia, operar con potencias de exponente negativo, e incluso dividir potencias de igual exponente.

Con todo esto, os podéis imaginar que es un ejercicio típico de examen.

Pero no es preocupéis porque es más sencillo de lo que puede parecer.

Os dejo con el vídeo donde resuelvo el ejercicio paso a paso y explicándolo absolutamente todo:

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Operaciones combinadas con potencias #3 (Con distinta base y exponente)

En el blog hemos ido viendo cómo realizar distintas operaciones con potencias (con la misma base o con el mismo exponente) de forma individual.

En publicaciones anteriores vimos dos ejercicios de operaciones combinadas con potencias en los que todas las potencias tenían la misma base y otro ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que, sin embargo, no eran todas las bases iguales, pero sí coincidían algunas.

En esta ocasión vamos a ver cómo podemos resolver un ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que tanto las bases como los exponentes son distintos.

Intentaremos conseguir tener potencias de igual base para poder hacer operaciones entre ellas, y para eso descompondremos las bases en factores primos primero.

Tendremos que hacer multiplicaciones de potencias de la misma base, divisiones de potencias de la misma base y potencias de una potencia.

Pero no es preocupéis porque es más sencillo de lo que puede parecer.

Os dejo con el vídeo donde resuelvo el ejercicio paso a paso y explicándolo todo:

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Nuevo récord de cálculo de decimales del número Pi… 62,8 billones

El pasado sábado, 14 de agosto de 2021, se batió el récord mundial de cálculo de decimales del número Pi, estableciéndolo en 62,8 billones de decimales (exactamente 62 831 853 071 750 decimales).

Después de 108 días, 9 horas, 4 minutos y 19,2 segundos, la computadora de alto rendimiento del Centro de Análisis, Visualización y Simulación de Datos (DAViS) perteneciente a la Universidad de Ciencias Aplicadas de los Grisones (FHGR) en Suiza, superó el antiguo récord mundial de 50 billones de decimales en 12,8 billones de nuevas cifras.

Lo impresionante de este nuevo récord no son solo los 12,8 billones de nuevos decimales calculados, sino que, aunque pueda parecer mucho tiempo los algo más de 3 meses y medio que se han necesitado, es casi dos veces más rápido que el récord que Google estableció en 2019, y alrededor de 3,5 veces más rápido que el último récord mundial de 2020.

Fuente de la imagen

Por cierto, los últimos 10 decimales conocidos del número Pi son:

7817924264

En la imagen anterior podéis ver los últimos 96 decimales (Last Decimal Digits: Pi).

Como anécdota, que da una idea de la magnitud de las cifras decimales calculadas, os diré que el número (escrito en base hexadecimal, que es la base con la que se va obteniendo por primera vez y que después se convierte a decimal) en un formato comprimido utiliza unos 24 TB de espacio en disco (si no estuviera comprimido ocuparía 48 TB). Para almacenarlo en base decimal se han necesitado 63 archivos comprimidos.

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Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado incompletas que sólo tienen los términos de exponente par.

Es decir si, por ejemplo, la incógnita o variable es x, tienen término con x4 y con x2, pero no tienen ningún término con x3 o con x. Un ejemplo de ecuación bicuadrada sería el siguiente:

x4 – 4x2 + 3 = 0

Para resolver las ecuaciones bicuadradras utilizamos un cambio de variable, de manera que conseguimos primero transformarlas en ecuaciones de segundo grado con una nueva variable y, después de resolverlas, deshaciendo el cambio de variable que habíamos realizado, conseguimos obtener las soluciones de la ecuación bicuadrada inicial.

En el siguiente vídeo explico todo el procedimiento a seguir, paso a paso y con detalle, y realizo tres ejemplos para que se pueda entender perfectamente:

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División de polinomios

Después de haber visto la suma y resta de polinomios, el producto de un número por un polinomio, el producto de un monomio por un polinomio, y el producto de dos polinomios, vamos a aprender ahora a realizar la división o cociente de dos polinomios.

En el siguiente vídeo explico, paso a paso, todo el proceso que se debe seguir para dividir dos polinomios, y hago dos ejemplos diferentes para que quede todo muy claro:

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Teorema de la altura y Teorema del cateto

Vamos a ver dos teoremas que, como ocurría con el Teorema de Pitágoras, se pueden utilizar en triángulos rectángulos: El Teorema de la altura y el Teorema del cateto.

El Teorema de la altura relaciona la altura sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo con las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa.

El Teorema del cateto relaciona, para cada uno de los dos catetos del triángulo rectángulo, el cateto con su proyección sobre la hipotenusa y la hipotenusa.

Pero vamos a ver todo esto explicado en el siguiente vídeo, donde resolveremos además cuatro ejemplos con diferentes datos de partida, de manera que aprenderemos a resolver cualquier ejercicio que nos puedan plantear.

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Teorema de Tales – Semejanza de triángulos

En el siguiente vídeo vamos a aprender a utilizar el Teorema de Tales.

Lo veremos en el caso de rectas cortadas por otras rectas paralelas, estableciendo proporcionalidad entre segmentos, y también cuando tengamos triángulos en posición de Tales utilizando la semejanza de triángulos.

Vamos a hacer bastantes ejemplos, recogiendo todas las situaciones que os podéis encontrar en  ejercicios, y así sabréis cómo resolverlos sin problema.

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María Gaetana Agnesi nació un 16 de mayo

Para saber más de esta gran matemática:

María Gaetana Agnesi (Milán, 1718-1799 d.C.)

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Posición relativa de dos rectas en el plano

En el plano, dos rectas pueden ser: Secantes (tienen distinta pendiente y se cortan en un punto), paralelas (tienen la misma pendiente y pasan por distintos puntos, no cortándose nunca), o coincidentes (tienen la misma pendiente y pasan por los mismos puntos).

Estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano consiste por lo tanto en determinar, a partir de sus ecuaciones, si dos rectas son secantes, paralelas o coincidentes.

Podemos hacerlo de distintas formas. Nosotros vamos a hacerlo aquí utilizando dos procedimientos diferentes: A partir de la ecuación explícita de las rectas, y a partir de su ecuación general.

En este primer vídeo te explico cómo estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano utilizando su ecuación explícita:

En este segundo vídeo aprenderemos a estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano utilizando su ecuación general:

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Ecuación de una recta – Ecuación explícita

La ecuación explícita de una recta es una ecuación de la forma:

y = mx + n

Donde:

m es la pendiente de la recta

n es la ordenada en el origen

¿Cómo se obtiene la ecuación de una recta?

Dependiendo de los datos que nos den seguiremos un procedimiento u otro. En el siguiente vídeo vamos a aprender a obtener la ecuación de una recta en distintas situaciones: A partir de la representación gráfica de la recta, a partir de la pendiente de la recta y un punto de la misma, a partir de la ordenada en el origen y un punto de la recta, a partir de dos puntos de la recta (lo veremos utilizando dos métodos diferentes), y a partir de la ecuación general de la recta.

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Star Maths 4 – May the 4th be with you – Star Wars Day

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Pendiente de una recta

La pendiente de una recta mide la inclinación de la recta.

Es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X, es decir, con la horizontal. Dicho de una forma fácil de entender, nos indica lo que aumenta o disminuye la recta en vertical (en la ordenada o coordenada y) respecto de la variación en horizontal (en la abscisa o coordenada x).

Pero, ¿cómo podemos calcular la pendiente de una recta

En el siguiente vídeo explico con detalle qué es la pendiente de una recta, y cómo podemos calcularla en diferentes casos: A partir de la representación gráfica de la recta, a partir de dos puntos de la recta, a partir de un vector director de la recta, y a partir de la ecuación de la recta.

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Funciones afines, lineales y constantes

Las funciones afines son funciones de la forma:

y = mx + n

Su representación gráfica es una recta.

En la expresión anterior, m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen.

Un ejemplo de función afín sería:

y = 2x + 1

La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X. Dicho de otra forma, es lo que aumenta (si la recta es creciente) o disminuye (si la recta es decreciente) la y (en vertical) cuando avanzamos una unidad en las x (en horizontal).

La ordenada en el origen nos indica dónde corta la recta al eje Y (eje vertical), y es la ordenada (coordenada y) del punto de corte de la recta con el eje Y.

Cuando la ordenada en el origen n es cero, la función es de la forma:

y = mx

y es una función lineal.

Su representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Un ejemplo de función lineal es:

y = 3x

Si la pendiente m es cero, la expresión de la función es:

y = n

Para cualquier valor de x el valor de la función es siempre el mismo, y por eso, a este tipo de funciones se las llama funciones constantes.

La gráfica de una función constante es una recta paralela al eje X.

Un ejemplo de función constante es:

y = 3

En el siguiente vídeo vamos a ver con mucho más detalle las funciones afines, las funciones lineales y las funciones constantes. Aprenderemos los conceptos básicos: Pendiente de la recta, ordenada en el origen, a distinguir unas funciones de otras, y a deducir la ecuación de cada función a partir de su gráfica:

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Abscisa, no abcisa… Se tenía que decir y se dijo

Aunque es bastante común en alumnos (sobre todo al principio) escribir «abcisa», la forma correcta es «abscisa«. Lo cierto es que resulta mucho más sencillo decir abcisa que no abscisa, y de ahí viene probablemente el error, pero no es lo correcto.

Si quieres aprender más sobre los ejes de coordenadas o ejes cartesianos, te invito a que visites la siguiente publicación:

Ejes de coordenadas o ejes cartesianos en el plano

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Sistemas de ecuaciones lineales – Método de reducción doble

En una publicación anterior estuvimos viendo cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de reducción.

En dicho método, primero eliminábamos una de las dos incógnitas, obteniendo así la otra incógnita, y después sustituíamos el valor obtenido en una de las dos ecuaciones iniciales para obtener la incógnita que nos faltaba resolviendo la ecuación de primer grado que nos quedaba.

El método de reducción doble es una variante del método de reducción que nos puede venir muy bien cuando estamos utilizando el método de reducción y la primera incógnita que obtenemos nos sale una fracción que no es un número entero.

Al sustituir el valor de esa incógnita (una fracción que no es un número entero) en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales obtendríamos una ecuación de primer grado con denominadores que tendríamos que resolver.

Para evitar tener que resolver esa ecuación con denominadores, se utiliza este método de reducción doble, que consiste en volver a aplicar la primera parte del método de reducción pero con la otra incógnita, es decir, eliminamos la otra incógnita, y así conseguimos obtener el valor de la que nos quedaba por calcular.

Lo vemos todo paso a paso en el siguiente vídeo, y vais a ver que es muy sencillo:

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Sistemas de ecuaciones lineales – Método de reducción

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por un par de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Los dos sistemas de ecuaciones que aparecen en la imagen inicial serían un ejemplo de sistemas de ecuaciones lineales, y las incógnitas serían xy.

A este tipo de ecuaciones que forman el sistema se las denomina lineales porque su representación gráfica en los ejes de coordenadas X e Y es una línea recta.

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en obtener el par de valores de x y de y (de las incógnitas) que verifican las dos ecuaciones del sistema a la vez, es decir, que al sustituir las incógnitas por dichos valores se cumplen las dos igualdades.

Para resolver un sistema de ecuaciones se pueden utilizar distintos métodos: el método gráfico, el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción.

En el siguiente vídeo vamos a aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de reducción.

Lo vamos a ver todo paso a paso, con todo detalle, para que se entienda perfectamente. Además veremos un ejemplo de sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones, y otro ejemplo sin solución, para que no tengáis ningún problema y sepáis qué hacer cuando os aparezcan.

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