Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram.
En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle.
Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez.
Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido. Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara.
– Sissa, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado —dijo el rey.
El sabio contestó con una inclinación.
– Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado —continuó diciendo el rey—. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás.
Sissa continuó callado.
– No seas tímido —le animó el rey—. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo.
– Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición.
Cuando al día siguiente Sissa se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.
– Soberano —dijo Sissa—, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez.
– ¿Un simple grano de trigo? —contestó admirado el rey.
– Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32…
– Basta —le interrumpió irritado el rey—. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble cantidad que por la precedente.
Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que solicitas.
Sissa sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.
Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió a que se enteraran de si habían ya entregado al irreflexivo Sissa su mezquina recompensa.
– Soberano, están cumpliendo tu orden —fue la respuesta—. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponde.
El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.
Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Sissa había abandonado el palacio con su saco de trigo.
– Soberano —le contestaron—, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.
– ¿Por qué va tan despacio este asunto? —gritó iracundo el rey—. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Sissa hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden.
Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.
El rey mandó que le hicieran entrar.
– Antes de comenzar tu informe —le dijo Sheram—, quiero saber si se ha entregado por fin a Sissa la mísera recompensa que ha solicitado.
– Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano —contestó el anciano—. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Sissa. Resulta una cifra tan enorme…
– Sea cual fuere su magnitud —le interrumpió con altivez el rey— mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregársela.
– Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Sissa. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campos sea entregada a Sissa. Sólo entonces recibirá su recompensa.
El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.
– Dime cuál es esa cifra tan monstruosa —dijo reflexionando.
– ¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.
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¿Cómo se llega a este resultado?
La solución de «fuerza bruta» consiste en duplicar manualmente cada potencia de dos e ir acumulando la sumatoria correspondiente a esa serie geométrica.
donde 
corresponde al número total de granos.
Esta serie puede ser expresada como exponentes:
y representarse en notación de sumatoria (sigma mayúscula) como:
También puede resolverse de forma mucho más fácil por medio de:
Una prueba de lo cual es:
Multiplicar cada lado por 2:
Restar o sustraer la serie original de cada lado:
resultando:
¿Cuánto trigo es?
Para hacernos una idea de la cantidad de trigo de la que estamos hablando podemos estimar que en un kilo de trigo hay aproximadamente 25.000 granos de trigo (el peso de 1.000 granos de trigo se puede considerar de unos 40 gramos), por lo tanto:
18.446.744.073.709.551.615 granos -> 737.869.762.948.382 Kg
es decir 737.869.762.948 Tm
La estimación de producción de trigo para la cosecha 2013-2014 es de:
Por lo tanto, tomando esta estimación como cosecha anual, debería poner sobre el tablero las cosechas mundiales de:
Es decir, serían necesarias las cosechas mundiales de algo más de un milenio, es decir ¡¡más de mil años!! para sumar esa cantidad de trigo.
Historia extraída del libro: “El hombre que calculaba” de Malba Tahan
Cuántos cuadros del tablero hacen falta para llegar al número de Avogadro?
Es un excelente artículo… es tan bueno que hasta las ilustraciones son excelentes.
Te felicito!!!
¡Muchas gracias!
Saludos.
Es chulo
alguien me puede responder las siguientes preguntas? plis
¿De cuánto crees que es la cantidad de granos de trigo? ¿Le alcanzará al Rey Sheram para pagarle?
plisss
Susana, si lees la publicación encuentras las respuestas 😉.
hola me encanta el ajedres soy un niño
cual es el monto de la recompensa de Sissa
La cantidad aparece en el texto.
hola me pueden ayudar con esta pregunta
¿Qué tipo de progresión tiene este problema?
Aquí tienes la respuesta:
https://matematicascercanas.com/2017/03/02/progresion-geometrica/
buenísimo… tendría algun otro problema que se pueda representar de esa forma o similaar?
https://matematicascercanas.com/2014/03/17/dame-un-papel-y-te-llevare-a-la-luna-solucion-y-mas/
Muchísimas Gracias. me sirvió
Podría ayudarme con este ejercicio?? o si tiene alguna página para recomendar relacionado a estos problemas de emparejamieto..
Dado el Problema de emparejamiento que: Consiste en asignar habitaciones a estudiantes compatibles (según hábitos, gustos, etc.).
a. Dé un ejemplo de todas las asignaciones para habitaciones que han de ser compartida por tres estudiantes. Cantidad de habitaciones 3 y cantidad de estudiante 9. Considere 2 tipos de gustos distintos (por ejemplo, jugar a la pelota y ver películas).
Excelente ejemplo de progresión geométrica, para desafiar a la intuición que muchas veces nos falla. Parecería imposible a simple vista,pero allí están las matemáticas, certeras e irrefutables como siempre.
Me despido, muy feliz, de haber encontrado está, página, estaba buscando, el texto de la Leyenda del Creador de Juego de Ajedrez y necesitaba, copiar una breve reseña.
Pero encontré esta maravillosa, forma de presentarla y me entusiasme tanto, que deje la investigación que estaba realizando y compartir, un breve momento en esta Grata Página.
Me Suscribiré y Luego Volviere, porque necesito completar mi Investigación.
Saludos desde La República Bolivariana de Venezuela, Ciudad Guayana hora 02:08 am del Día Lunes 13 de Abril del 2020.
Que djo luego el rey?…, sobrevivió? Se enfureció?.. Seria muy vacano terminar la historia ya que es muy interesante. Gracias
Sissa pidió casarse con la hija del rey, y pidió una gran parte del reino. La historia está en un librito que se llama “El hombre que calculaba” de Malba Tahan.
Hay varias versiones. Una cuenta que el rey llamo a Sissa y lo nombro el mayor matemático del reino. Otra cuenta que el rey le dio a Sissa un simple saco de trigo sin saber la monstruosa cifra que Sissa pedía. Otra cuenta que el rey llamo a Sissa para que pidiera otra cosa, pero por más que se lo busco nunca se le encontró, quedando una promesa sin cumplir por toda la eternidad. La más famosa dice que el rey llamo a Sissa y le dijo: «Sissa, te daré el trigo que has pedido. Pero con una condición. Ve a los graneros de mi reino y recoge grano por grano hasta conseguir la cantidad que se ha obtenido. Si no logras recoger todos los granos antes de morir, le heredaras esta misión a tus hijos. Así mismo, si tus hijos no lo logran, estos heredaran la misión a tus nietos, y tus nietos a tus bisnietos, tus bisnietos a tus tataranietos así hasta que todos los granos de trigo sean recogidos». Sissa miro sonriente al rey. Y le dijo: «Fuiste inteligente. No me debes nada». Así quedo anulada la deuda, y por el resto de la vida de Sissa el y el rey jugaron partidas de ajedrez cada una con un resultado y transcurso diferente.
disculpe, queria saber cuales serian los datos que pondriamos en una gráfica sobre esta leyenda
Tengo una duda. Creo que el cálculo de los granos de trigo está mal hecho. Si usted hace el cálculo en una plantilla de Excel empezando con 1 grano en la columna A que representaría el cuadro 1 del tablero de ajedrez y terminando en la columna BL que representaría el cuadro 64 del tablero, entonces la cifra es de 9.223.372.036.854.780.000,00 granos, exactamente la mitad de la cifra que ustedes plantean. La cifra que ustedes plantean daría en en la columna BL es decir el cuadro 65.
Si el equivocado soy yo, por favor me explican.
Germán Bejarano
Hola German.
2^63 es el número de granos de la última casilla del tablero (la casilla número 64) pero no son todos los granos de trigo que habría en el tablero de ajedrez. Para ello, como hago en la entrada, hay que sumar los granos de las 64 casillas, que es lo que pide Sissa al Rey. Por eso hago esa suma de 64 términos de una progresión geométrica de razón 2, cuyo primer término es el 1 y el último es 2^63. Puedes realizarla empleando la expresión habitual que permite calcular dicha suma y comprobarás que efectivamente obtienes el resultado que se indica en la entrada.
Saludos.
Saludos desde La República Bolivariana de Venezuela, Ciudad Guyana 13 Abril 2020
La Repuesta al Ejercicio es Correcta y La Forma de e Presentar la Leyenda y a la vez, calcular y mostrar con lógica, cuantas cosechas Mundiales y el Equivalente en Tiempo y Años, que llevaría en lograrse, satisfacer lo requerido por Sissa.
Lo Felicito, Resolví y verifique sus cálculos y son correctos, soy profesional de Informática y mi hobby son Las Matemáticas.
Desde Muy joven, me atrajo esta leyenda, cuando me la explico mi profesor en 3er año de Bachillerato.
Recién la semana pasada, no se porque, me acorde de la historia del ajedrez y me dedique a resolver el calculo en excel.
Sólo faltaba la relación, con la cantidad de Granos requerida y si actualmente, se podía satisfacer. YA USTED LO RESOLVIÓ Gracias.
Posdata.
Recordé que empece de nuevo a realizar los cálculos, porque en un Programa de TV, en Mi País, Mario Silva, el conductor del Programa “La Hojilla”, este menciono la Leyenda y La Cantidad de Granos. Desde ese momento, comencé a investigar, si la cifra indicada, por este, era correcta y si lo era.
Muchas gracias.
Vaya un gran saludo para allá.
Disculpe pero la respuesta correcta no sería 4611686018427387904? ?? Lo que pasa es que la casilla número 1 y 2 no se cuenta ya que la primera casilla tiene 1 solo grano y la segunda casilla es desde donde empieza la multiplicación y tiene 2… Lo cual haría se ese 2 sea «2 a la 62»
La primera casilla tiene 2⁰=1 grano, la segunda 2¹=2 granos… y la casilla 64 tiene 2⁶³ granos, como se muestra en la imagen del tablero que tengo puesta en la publicación.
El total de granos se calcula como la suma de los 64 primeros términos de una progresión geométrica de razón r=2, y cuyo primer término es 1 y el término 64 es 2⁶³.
En esta publicación de mi blog puedes ver cómo se calcula la suma de términos en una progresión geométrica:
https://matematicascercanas.com/2017/03/02/progresion-geometrica/
Saludos.
Excelente artículo.
En vez de hacer la sumatoria, no sería exactamente lo mismo elevar 2 a la 64?
Como comento en el texto, se puede calcular la suma de todas las casillas como 2⁶⁴-1.
yo quisiera saber cuantas toneladas pesa todo ese trigo
El cálculo lo tengo hecho en la publicación Elizabeth.
Un saludo.
seria 2 elevado a la 63 por progresion aritmetica?
En primer lugar, se trata de una progresión geométrica, no aritmética.
En segundo lugar, 2⁶³ es el número de granos de la última casilla del tablero (la casilla número 64) pero no son todos los granos de trigo que habría en el tablero de ajedrez. Para ello, como hago en la entrada, hay que sumar los granos de las 64 casillas, que es lo que pide Sissa al Rey. Por eso hago esa suma de 64 términos de una progresión geométrica de razón 2, cuyo primer término es el 1 y el último es 2⁶³. Puedes realizarla empleando la expresión habitual que permite calcular dicha suma y comprobarás que efectivamente obtienes el resultado que se indica en la entrada.
Repito Sissa pide de recompensa TODOS los granos que habría en el tablero, no solo los de la última casilla.
tengo muchas dudas como seria?
3)Hallar la ecuación matemática que mejor se ajusta a la situación planteada.
4): Representarla gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas
Se trata de una progresión geométrica de primer término 1 y razón 2:
https://matematicascercanas.com/2017/03/02/progresion-geometrica/
Si lo que quieres es una ecuación, sería la de la función exponencial:
y=2ˣ
Y para representarla en un sistema de coordenadas cartesianas (https://matematicascercanas.com/2020/02/25/ejes-de-coordenadas-ejes-cartesianos/) considerarías solo la parte positiva del eje horizontal X, y representarías puntos de la función dando valores a x y obteniendo el correspondiente valor de y:
x=0 y=2⁰=1 => punto (0,0)
x=1 y=2¹=2 => punto (1,2)
x=2 y=2²=4 => punto (2,4)
y así seguirías obteniendo puntos y representándolos en los ejes.
Los unes y obtienes la gráfica de y=2ˣ.
Un saludo.
la imagen es un tablero de 7 x 7 y en el ajedrez es de 8 X 8, a los efectos didacticos esta perfecto, pero quiere decir que aun mas granso de trigo jajaja
¿Tablero de 7×7?
por favor necesito de su ayuda ya probe un monton de ecuaciones y graficos y los sigo hacienHallar la ecuación matemática que mejor se ajusta a la situación planteada.
3) hallar la expresion que mejor se ajusta a la situacion.
4): Representarla gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas
do mal como seria?:
Se trata de una progresión geométrica de primer término 1 y razón 2:
https://matematicascercanas.com/2017/03/02/progresion-geometrica/
Si lo que quieres es una ecuación, sería la de la función exponencial:
y=2ˣ
Y para representarla en un sistema de coordenadas cartesianas (https://matematicascercanas.com/2020/02/25/ejes-de-coordenadas-ejes-cartesianos/) considerarías solo la parte positiva del eje horizontal X, y representarías puntos de la función dando valores a x y obteniendo el correspondiente valor de y:
x=0 y=2⁰=1 => punto (0,0)
x=1 y=2¹=2 => punto (1,2)
x=2 y=2²=4 => punto (2,4)
y así seguirías obteniendo puntos y representándolos en los ejes.
Los unes y obtienes la gráfica de y=2ˣ.
Un saludo.
Progresión Geométrica
a1,a2 ,a3,a4,,,,,,,,, a64 (Números son Sub-Indices)
1:2:4:8:16:36 ; ; ; ; ; ; ;2^63
Calculo Último Término
a64 = a1*r^(n-1) =1*2^(64-1) = 2^63
Calculo Sumatoria de Todos los Término
Los Cuales se Corresponde cada uno a cada casilla del Juego Ajedrez. En total son Sesenta y Cuatro Casillas Llenas de Granos
s64 = (a64*r – a1) / (r-1) = (2^63 * 2 – 1) / (2-1)=
s64 =(2^64-1) / 1 = 2^64-1
s64 = 18.446.744.073.709.551.615 granos
Hola todos…mi pregunta es : Usando la formula en excel 2^64 = 18,446,744,073,709,600,000 , pero si uso la misma formula en la calculadora de office el resultado es 18,446,744,073,709,551,616. A que se debe esa diferencia? Me dedique a desglosar la formula y encontre que al multiplicar 562,949,953,421,312 * 2 el resultado en excel sale 1,125,899,906,842,620 cuando lo real es 1,125,899,906,842,624 de ahi ya cambian todos los resultados hasta llegar al 2^64
Se debe básicamente a la precisión (número de cifras significativas) con que cada aplicación es capaz de calcular. En Excell, al no tener más precisión, redondea los resultados. Yo los cálculos grandes los suelo hacer con Wolfram Alpha.
Un saludo.
como pasarlo a algoritmos :c
aun estas buscando como hacer eso? la respuesta es 2 elevado a (la casilla que sea-1) para saber cuanto hay en esa casilla. si quieres sumarlo todo, debes hacer 2 elevado a la casilla que sea y lo que te de, le restas 1.
Ejemplo: Si quieres cuanto hay en la casilla 10, debes hacer 2 elevado a 9. Y si quieres cuanto hay HASTA la casilla 10, debes elevar 2 a la 10 menos 1
Fantastico cuento
Quiero mpstrarselo a mi hijo amante de las matematicas cuando llegue a casa
Maravilloso y gran aprendizaje sobre todo el mundo de las matemáticas
Siendo yo chico !.. y estoy hablando del año 1970 lo hice en casa y con granos de arroz…. pase a quilos, luego a toneladas,,seguido por camionadas … pase estimado a barcos cargueros….. ME CANSE !… no llegue a la mitad del tablero !.. realmente es descomunal !..
Hermosa leyenda y estupenda forma de explicar gracias
Gracias a ti.
Un saludo.
Estimado Amadeo Artacho: el 30 de Noviembre le envié un mail a la e-dirección donotreply@wordpress.com, agregando comentarios y relacionando este tema con el árbol genealógico de la humanidad. No encontré respuesta por lo que le agradezco comentarme si lo recibió.
Atentamente
Antonio
Hola Antonio.
La dirección de correo del blog es contacto@matematicascercanas.com
Saludos.
Porque hay tanta diferencia de años para recolectar la totalidad de granos de trigo con respecto al artículo que han puesto en wikipedia? Aquí en el blog dice 1000 años aprox. y en la wiki han puesto 22000 aprox.
Hola Carlos, la diferencia en el cálculo radica en el número de granos que se estima que contiene un kilogramo de trigo, que en Wikipedia es de 1.200 y aquí yo he considerado de 25.000. Y es que la estimación que se hace en Wikipedia dista mucho de la realidad.
Un saludo.
Maravillosa historia. Gracias
Que cantidad pero en vez de trigo que sea dinero no
Como diria el buen Sissa: “Cuanto dinero seria para ti el trigo equivalente a mil años de trabajo mundial? Si te es poco, entonces llevatelo. Pero deberas cargar una moneda de oro de 1 onza con tus propias manos en el primer dia. El segundo dos, el tercero cuatro, el quinto ocho, y asi hasta completar los dos meses y cuatro dias, pero el momento en que no puedas cargar nada mas perderas tu recompensa. ¡Anda amigo, disfruta todo mi regalo!”
muy interesante tendran la leyenda de las Torres de Hanoy.
Gracias. Está entre las entradas pendientes de hacer para el blog.
Amadeo la historia ya la habia escuchado y es en efecto una demostracion de lo asombrosas que pueden ser las matematicas partiendo incluso de algo aparentemente simple. Pero lo que mas me gusta de este blog es la forma respetuosa y amable en que explicas y corriges las apreciaciones equivocadas. Gracias
Te lo agradezco mucho Michael, significa mucho para mí.
agradecida son su respuesta
según el calculo en calculadora, donde colapsa la misma?
Maureen, depende de la calculadora que estés utilizando. Según el modelo, tienen una u otra precisión en los cálculos, es decir, utilizan un número determinado de dígitos significativos. Cuando un número supera dicha cantidad de dígitos significativos la calculadora redondea y lo expresa en notación científica, perdiéndose toda esa parte de la información del número.
Si a su vez se realizan cálculos con números ya redondeados el error en el resultado crece aún más dependiendo del tipo de operación.
Por eso, si se necesita mayor precisión en los cálculos (un número mayor de dígitos significativos) hay que recurrir a aplicaciones y programas que la tienen. Yo suelo utilizar Wolfram Alpha, que es online y gratuita.
Saludos.
Excelente problema de aplicación, con un contexto que correlaciona varias competencias del nivel medio y básico del estudiante.
Gracias Ancizar.
Yo lo he utilizado en clase al trabajar las series geométricas y gusta mucho a los alumnos.
Saludos y gracias por comentar.
cuanto es esto en toneladas
Hola Gerson. El cálculo en toneladas (Tm) aparece justo antes de la estimación del número de años de cosechas de trigo mundiales necesarios.
Un saludo.
en que año ocurre esta historia
Es una historia extraída del libro: “El hombre que calculaba” de Tahan Malba. Lo indico al final de la entrada.
Hola. Amadeo Artacho.
Se llega a ese numero doblando el numero de la casilla 63
No es exactamente así. Ese número es la suma de los granos de las 64 casillas del tablero que, como puedes leer en la entrada es 2^64 – 1.
Es decir, tendrías que doblar el número de la casilla 64 (no de la casilla 63), que es 2^63 (quedaría al doblarlo 2^64), y restarle 1.
Disculpen como se lee este numero ?
18,446,744,073,709,551,615
Hola David. Lo tienes en la entrada escrito con texto justo antes de donde digo «¿Cómo se llega a este resultado?«: Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.
Saludos.
18 Trillones 446073 billones 709551 millones 551615
Me podrían ayudar a resolverlo
1. Analiza la siguiente situación:
En el tema anterior se calculó, por medio de una hoja Excel, el número de granos necesarios para recompensar al inventor del ajedrez. Para lograr esto, usamos simplemente aritmética. Ahora vamos a resolverlo usando álgebra.
2. Sigue los siguientes pasos para llegar a una solución:
a. Escribe en potencias de 2 la suma de términos que representan el número de granos necesarios para llenar los primeros 10 cuadros. Llama a esta suma simplemente “S”.
b. Expresa ahora 2S igual en potencias de 2. Es decir, multiplica cada uno de los términos por 2.
c. Ahora, resta 2S – S, y observa que todo cancela excepto el primer y el último término.
d. Con esta fórmula calcula el número de granos de trigo necesarios para llenar las primeras 10 casillas del juego de ajedrez.
e. Compara que este resultado es el mismo al hacer la suma con Excel.
3. Ahora, extiende tu pensamiento a un tablero de “N” cuadros y obtén una fórmula general para un tablero de N cuadros.
Hola Pedro, ya había un comentario similar al tuyo (la misma actividad propuesta).
Precísamente ese procedimiento de cálculo es el que sigo en la entrada para calcular los granos de trigo totales de las 64 casillas.
Fíjate en el apartado que llamo ¿Cómo se llega a ese resultado? y es análogo pero para 10 casillas en lugar de 64.
Después tienes que hacer lo mismo considerando n casillas.
Saludos.
Me causó fatiga neuronal tamaña cantidad
Si que es grande, y eso que empieza con unos simples granos. Pero es lo que tienen las progresiones geométricas de razón mayor que la unidad.
Te invito a ver esta otra entrada del blog:
Dame un papel y te llevaré a la luna
Ahí si que verás números grandes.
Un saludo y gracias por comentar Armando.
Ayuda!
a. Escribe en potencias de 2 la suma de términos que representan el número de granos necesarios para llenar los primeros 10 cuadros. Llama a esta suma simplemente “S”.
b. Expresa ahora 2S igual en potencias de 2. Es decir, multiplica cada uno de los términos por 2.
c. Ahora, resta 2S – S, y observa que todo cancela excepto el primer y el último término.
d. Con esta fórmula calcula el número de granos de trigo necesarios para llenar las primeras 10 casillas del juego de ajedrez.
3. Ahora, extiende tu pensamiento a un tablero de “N” cuadros y obtén una fórmula general para un tablero de N cuadros.
Holo Lilu. Precísamente ese procedimiento de cálculo es el que sigo en la entrada para calcular los granos de trigo totales de las 64 casillas.
Fíjate en el apartado que llamo ¿Cómo se llega a ese resultado? y es análogo pero para 10 casillas en lugar de 64.
Después tienes que hacer lo mismo considerando n casillas.
Saludos.
Es fácil hacer un calculo aproximado mentalmente, sin necesidad de calculadora:
2^64 – 1 ~= 2^64
2^64 = 2^10 x 2^10 x 2^10 x 2^10 x 2^10 x 2^10 x 2^4
Pero 2^10 ~= 1.000 = 1^03
2^64 = 10^3 x 10^3 x 10^3 x 10^3 x 10^3 x 10^3 x 16
2^64 = 10^18 x 16 = 16.000.000.000.000.000.000
16 trillones (europeos) de granos, con un error del 2.5%.
Nota: como en los códigos ASCII no está el símbolo de aproximado lo he sustituido por ~=
Hacer estimaciones es algo muy habitual en muchos campos, como por ejemplo el de la ingeniería civil (cuando no se requiere precisión, solo cuantificar) en el que yo he trabajado bastantes años.
Efectivamente la estimación que haces es buena para cuantificar sin necesidad de recurrir a una calculadora, si bien es cierto que no es tan «precisa» como comentas. En realidad el error que se comete con ella no es de un 2,5%, sino de un 13,26% (redondeando), lo que supondría unos 138 años de producción mundial de trigo (que no es poco).
Donde más precisión se pierde en tu cálculo es al aproximar 2^64 (que es 1.024) a 1.000. Ese error, que inicialmente puede no parecer mucho, se amplifica después con las operaciones.
No obstante, la apreciación es interesante y agradezco mucho que la hayas hecho.
Un saludo.
Muy largo pero bueno. Lo tuve q escribir todo en mi nootebook
Hola Victoria.
La parte más extensa de la entrada es la propia historia extraída del libro “El hombre que calculaba” de Tahan Malba. Sin las otras dos partes en que he estructurado la entrada, ésta quedaría incompleta ya que la segunda parte es la explicación matemática de cómo se llega a la cantidad que cuenta la historia, y la tercera permite traducir un número tan grande en algo tangible y habitual para nosotros como es el tiempo.
Un saludo y gracias por comentar.
Mi madre con tercer grado de primaria, hizo manualmente estos cálculos en un cuadernito que llenó de números. Y se encargó de sembrar la curiosidad y el gusto por resolver problemas.
Hace años di el tema en un séptimo año y le agregué la tarea de calcular cuantos camiones con acoplado serían necesarios para transportar los granos y considerando el largo de los camiones la longitud que cubririan colocados uno detrás de otro. Relacionada esta longitud con el Ecuador daban varias vueltas a este.
Para obtener la cantidad exacta de granos de trigo, simplemente imaginemos que el tablero de ajedrez en lugar de ser de 8×8 que se a de 2×2. Sacamos cálculos en base a esa medida, luego vamos ampliando el tablero a 4×4 y así sucesivamente
COMO CADA CABEZA ES UB MUNDO, NUNCA DARAS GUSTO A NADIE. ES INTERESANTE LA LEYENDA Y DE GRAN UTILIDAD PARA LA INTRODUCCIÓN A LA POTENCIACION. GRACIAS
Gracias por comentar Ernesto.
Sí que es un buen recurso para, como bien dices, introducir las potencias.
Un saludo.
Esta chulo pero falta dignidad para uno de ellos así que yo le daría un.
?LIKE
La solución correcta es 2 a la 63 potencia como la publican no tiene vuelta de hoja y el numero de granos por kilo varia de acuerdo al tamaño del granito y efectivamente es entre 1,500 y 3,000, saquen sus conclusiones.
Hola Kronos.
Lo primero gracias por aportar al blog comentando.
No es correcto lo que comentas, y te explico por qué.
En primer lugar, 2^63 es el número de granos de la última casilla del tablero (la casilla número 64) pero no son todos los granos de trigo que habría en el tablero de ajedrez. Para ello, como hago en la entrada, hay que sumar los granos de las 64 casillas, que es lo que pide Sissa al Rey. Por eso hago esa suma de 64 términos de una progresión geométrica de razón 2, cuyo primer término es el 1 y el último es 2^63. Puedes realizarla empleando la expresión habitual que permite calcular dicha suma y comprobarás que efectivamente obtienes el resultado que se indica en la entrada.
Por otra parte, inicialmente había tomado de internet un dato erróneo para la estimación del peso de esa cantidad de granos de trigo, obteniendo incluso menos granos por cada kilogramo que los que comentas. Gracias al comentario que realizó Abraham, he revisado los datos de una forma más profunda y detallada y he podido comprobar que los pesos, dependiendo de la variedad de trigom para 1.000 granos están entre 30 gramos y 50 gramos. Considerando, como he hecho en la entrada ahora, un peso medio de 40 gramos por cada 1.000 granos, se obtienen unos 25.000 granos de trigo en cada kilogramo, y con ello sería necesario algo más de un milenio (1.000 años) para completar la cantidad de trigo del problema.
Recibe un cordial saludo.
Hola una consulta he realizado el calculo e la casilla 64, y me sale 9,223,369,376,269,679,808 lo he echo manualmente me tome el trabajo de sumarlo, el resultado que me sale es parecido a la casilla 64 de algunos participantes pueden indicarme si es correcto o si me he equivocado al sumar, gracias.
Me permito hacer una pequeña corrección al calculo de los años para lograr la cantidad de granos.
El numero de granos de trigo en un kilogramo es de aproximadamente 30000, no 1200, soy Ingeniero Agronomo y personalmente lo he comprobado.
Por lo tanto el peso del trigo serian 614,891,469,123,651 kg o 614,891,469,123 Toneladas metricas
Dividido por las 708,891,000 producidas anualmente en el mundo, resulta que requerimos «sólo algunos» 867 años para completar esa cantidad de trigo.
Perfecto Abraham. Gracias por la apreciación.
Lo más importante de todo es el hecho de como crece una función exponencial y la cantidad de granos a la que se llegaría con tan solo las 64 casillas de un tablero de ajedrez.
Gracias de nuevo por tu valiosa aportación.
Un saludo.
Hola Abraham.
Buscando con más profundidad datos en internet sobre el peso de los granos de trigo, he corregido la estimación en peso de los granos del problema, considerando un peso para 1.000 granos de trigo de 40 gramos. Por supuesto dicho peso depende de la variedad de trigo, pudiendo ser menor y también mayor, pero es un valor que, según he podido comprobar, está dentro del rango de pesos de este tipo de granos (pesos para 1.000 granos entre 30 gramos y 50 gramos aproximadamente).
Con esa corrección se obtienen unos 25.000 granos de trigo en cada kilogramo, y con ello sería necesario ahora algo más de un milenio (1.000 años) para completar la cantidad de trigo del problema.
Gracias por el comentario que hiciste porque me ha ayudado a conseguir una estimación mucho más real.
Saludos.
me alludas teis soy Adolfo Castro Vaamonde y lo petais.
muy buena la página.
Gracias Adolfo.
Saludos.
Nunca se me había ocurrido pensar qué cantidad de trigo (en peso), supondría ese número de granos. Qué curioso, qué barbaridad!
Por eso precísamente lo hice, porque nos perdemos en los números grandes y nos cuesta materializarlos para saber realmente lo que suponen.
Q paso con el rey k dijo k su peticion del protagonista era misera .esta historia me fue util para poder realizar mi tarea d potencias muy hermoso la historia
Me alegra que te haya sido de utilidad Leoncio.
Es una muy buena herramienta para tratar las potencias.
Un saludo.
Muy didáctico
Gracias por el comentario Juan.
Saludos.
¡Muchas gracias Amadeo y Laura! Efectivamente tenía que haber leido el texto una segunda vez! Lo siento!!!! Y gracias de nuevo
Gracias a ti por participar en el blog. Nadie está exento de equivocarse o no darse cuenta de algo, pero es bueno que eso ocurra. Además, es mejor participar que no hacerlo. Quién no dice nada cree que no se equivoca nunca, pero en realidad se está equivocando por no decir nada. Muchísimas gracias por participar en el blog, y espero que puedas disfrutarlo mucho o, como digo al principio de él con la imagen de la taza, espero que puedas llenarla muchas veces.
Amadeo, a mi me pasa como a donmario, que creo que el sabio pide que le den el grano que resulte en cada casilla, no solo el resultado final. Por lo tanto, considero queda falta la suma. ¿Alguien me lo aclara, por favor?
Hola Miriali. Fijaos bien en lo que dice el texto. Ya se lo comenté a donmario. La cifra que da el anciano, y lo que se calcula en la exposición de después, es justo lo que estáis diciendo: «la suma de los granos de TODAS las casillas del tablero».
Dado que se trata de una progresión geométrica de razón 2, en la que el primer término (granos de la primera casilla) es 2^0 = 1, el segundo es 2^1 = 2, el tercero es 2^2 = 4, … , el término 64, es decir, la última casilla del tablero es 2^63 = 9.223.372.036.854.775.808 granos, que nada tiene que ver con el resultado que da el anciano, que es 18.446.744.073.709.551.615 granos, pues este último es la suma de los granos de todas las casillas del tablero (suma de los 64 términos consecutivos de una progresión geométrica de razón 2 en la que el primer término es 2^0 = 1).
Por cierto, por lo que puedo observar, la cantidad que donmario ha dado de 36.893.488.147.419.100.000, no se corresponde con la suma de los granos de todas las casillas del tablero, como ya hemos visto, de hecho parece el resultado de multiplicar por dos la suma total dada en el texto (lo que él da como solución serían los granos totales de DOS tableros de ajedrez) pero realizada con una calculadora que no tiene la suficiente precisión para poder dar todas las cifras (por eso su cantidad acaba con cinco ceros).
Espero que con esto ya lo tengas claro Miriali, y también donmario.
Un saludo y, aunque la apreciación que habéis hecho no estaba bien encaminada, os agradezco que comentéis todo aquello que penséis que pueda no estar bien o que hagáis cualquier sugerencia. Un blog se construye entre todos, con los comentarios de todas y todos aquellos que forman parte de él.
miriali, el texto está dando como solución ya la suma de los granos de todas las casillas, creo que no lo habéis leído bien, así que es totalmente correcto. La prueba de ello es la resolución que le sigue para obtener tal cantidad, que no tiene pero alguno porque es perfecta. No se si os habrá confundido el hecho de que a la suma de las 64 casillas le llame T64, en lugar de S64, pero deja bien claro en todo momento que se trata de la SUMA, no de la última casilla.
¿Se dan cuenta que hay un error?
La cifra dada por el anciano matemático corresponde a los granos de trigo del cuadro 64. Pero no el total de granos sumados.
El total de granos de trigo que debería recibir el protagonista, es de:
36»’893.488»147.419’100.000.
No es así, la cifra dada por el anciano es ya la suma de todas las casillas, como aparece después explicado.
Disculpa «donmariog», pero estás equivocado. El resultado que se da en la narración por el anciano es correcto, es la suma de los granos de todas las casillas del tablero y no los granos de la última casilla como dices tú. Los de la última casilla son 9.223.372.036.854.775.808 como dice el texto, y esa no es la solución que están dando. La cantidad que tú das para nada es la solución.
¡Hermoso! (Mejorado) Digno de leerse (y difundirse) ¡Felicitaciones!
Muchas gracias.
Saludos.
que chebre
Gracias.
Utilicé esta entrada para empezar en mi clase el tema de potencias y verdaderamente quedaron mis alumn@s encantad@s!
Mil gracias por compartir estos recursos tan valiosos para el aula.
Gracias a ti Cindy por seguir el blog, por comentar y por utilizar las entradas en tus clases.
Me alegra que les haya gustado. Es una satisfacción para mi.
Un saludo.
grandioso infinito
Muy interesante …
Einstein hizo un comentario al respecto…algo así :
Existe un poder infinito, mayor que una locomotora,
Mayor que la bomba atómica…..
Su cálculo es inimaginable ….» El interés compuesto «
Gracias por la aportación Ernesto.
Un saludo.
a maior recompensa,ja era de sissa… a sabedoria
Desde luego que sí.
muy interesante tendran la leyenda de las Torres de Hanoy.
Gracias. Eso formará parte de otra entrada… (está en la reserva)
Saludos.
Definitivamente…. una genialidad!!!
por favor quiero ayuda sobre este tema