Números… ¡gemelos!

En la entrada del 20 de mayo de 2014, titulada los números también pueden ser «amigos»  , vimos la relación de «amistad» que había entre algunos números.

Pues bien, en este caso vamos a ver un parentesco mucho más directo entre números (si establecemos una analogía con personas)… los números gemelos.

Bueno, para ser precisos, se trata de números primos gemelos pero, dicho así, la analogía de antes puede resultar en cierto modo desagradable y genéticamente arriesgada.

primos_gemelos

Así que, lo primero es hacer un breve recordatorio de lo que son los números primos. Un número primo es un número entero mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.

Por contraposición están los números compuestos, que son aquellos que tienen por lo menos un divisor natural distinto de sí mismos y de 1.

Es interesante indicar que el número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Así tenemos que, por ejemplo, los números primos menores que 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

Y, ya que estamos, decir también que, excepto el 2, todos los números primos son impares (parece lógico por su propia definición, pues si no tendrían al 2 entre sus divisores).

Pues bien, ¿qué es esto de los números primos gemelos?

Es bastante sencillo, dos números primos son primos gemelos si su diferencia es igual a 2.

Es decir, una pareja de la forma (p, p+2) siendo p un número primo es una pareja de números primos. Por ejemplo las parejas (3, 5) y (11,13) son dos parejas de primos gemelos.

Lo curioso es que esta particularidad (parejas de números primos cuya diferencia es únicamente 2) se repite bastante. De hecho, podríamos preguntarnos ¿cuántas parejas de primos gemelos existen? Pues se conjetura que hay infinitas, y digo bien «se conjetura» porque aún no está demostrado. Y eso es algo que tiene ocupados a unas cuantas matemáticas y matemáticos.

Pero sí se saben algunas cosas sobre estos números primos gemelos, y de hecho son bastante curiosas.

Una de ellas es que «la suma de los inversos de todos los números primos gemelos converge a un número». Vamos a verlo en una expresión que se entiende bastante mejor:

constante_Brun

A este número B2 se le denomina constante de Brun.  Y el valor de 1’902160583104 es un valor aproximado de dicha constante que  se obtiene usando todas las parejas de primos gemelos existentes hasta 1016 (vamos, unas cuantas parejas).

Sin querer aburrir a nadie, lo curioso de este resultado es que contrasta totalmente con algo que también se sabe, y es que «la suma de los inversos de todos los números primos diverge«.

suma_reciprocos_primos

Ya para ir terminando, señalar que hay 35 parejas de números primos gemelos entre los números enteros menores que 1000 y son:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

Por cierto, los números primos gemelos más grandes conocidos son el par 2996863034895 · 21290000 – 1 y 2996863034895 · 21290000 + 1, que tienen 388.342 dígitos, y fueron descubiertos en septiembre de 2016.

Espero que os haya gustado y, una vez más, gracias por vuestro tiempo.

17 comentarios en «Números… ¡gemelos!»

  1. Una curiosidad de los números primos gemelos:
    29
    1229
    211229
    30211229
    4830211229
    604830211229
    147604830211229
    117147604830211229
    57117147604830211229
    38157117147604830211229
    48938157117147604830211229
    221148938157117147604830211229
    282221148938157117147604830211229
    552282221148938157117147604830211229
    930552282221148938157117147604830211229
    2289930552282221148938157117147604830211229
    5642289930552282221148938157117147604830211229
    12245642289930552282221148938157117147604830211229
    206712245642289930552282221148938157117147604830211229
    33206712245642289930552282221148938157117147604830211229
    408633206712245642289930552282221148938157117147604830211229
    10914408633206712245642289930552282221148938157117147604830211229
    624610914408633206712245642289930552282221148938157117147604830211229
    6543624610914408633206712245642289930552282221148938157117147604830211229
    159726543624610914408633206712245642289930552282221148938157117147604830211229
    todos los números anteriores son números primos. Si sustituimos los dígitos 29 por los dígitos 31 siguen siendo números primos, pero combinados con el primer grupo, son todos NÚMEROS PRIMOS GEMELOS

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  2. En septiembre de este año (2016) se ha encontrado la pareja más alta hasta ahora de primos gemelos. Se trata de 2996863034895 · 2 ^ 1290000 – 1 y 2996863034895 · 2 ^ 1290000 + 1, que tienen 388342 dígitos.

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  3. Aplicando solo lógica, si los números primos son infinitos y los números primos gemelos son un subconjunto de los primos, entonces el subconjunto de los números primos gemelos es infinito.

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    • Hola Nelson.
      No es del todo correcto lo que planteas, sería justo al revés. Es decir, si el subconjunto es infinito entonces el conjunto al que pertenece debe ser infinito.
      Pero no tiene porque cumplirse al contrario como sugieres, ya que dentro de un conjunto infinito (como por ejemplo el de los números naturales) puede haber muchos subconjuntos finitos (por ejemplo el subconjunto de los números naturales de dos dígitos). Dentro del conjunto de los números primos, por ejemplo, el subconjunto de los números primos pares es finito (está formado solo por el 2).
      Eso sí, aunque no hay aún una demostración formal, por su naturaleza, la «lógica» parece decirnos que habrá infinitos números primos gemelos. Pero como menciono, al no estar demostrado, es tan solo una conjetura.

      Gracias por aportar al blog comentando Nelson.
      Saludos.

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  4. Me pareció muy interesante y entretenida tu exposición. Gracias por compartir estos conocimientos. Te pregunto, hay parejas de primos cuyas diferencias sean otros números por ejemplo cinco, o una cantidad cualquiera que se nos ocurra. Yo no he estudiado esto aún, sólo se me ocurrió en este momento la pregunta. Saludos fraternales.

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