El acertijo de los apretones de manos dice así:
«En una reunión, todos los asistentes se dieron la mano con todos los demás. Hubo 66 apretones de manos. ¿Cuántas personas estaban en la reunión?»
Vamos a ver la SOLUCIÓN.
¡Espera!
Si aún no lo habías visto y no has intentado resolverlo, te invito a que lo hagas antes de seguir leyendo.
¿Quieres ver la solución ya?
Continúa entonces…
Con dos personas (A y B), se produce un apretón de manos (A con B).
Con tres personas (A, B y C), se producen tres apretones de manos (A con B y C, B con C).
Con cuatro personas (A, B, C y D), hay seis apretones de manos (A con B, C y D, B con C y D, C con D).
En general, con n +1 personas, el número de apretones de manos es la suma de los primeros n números naturales consecutivos:
1 +2 +3 + … + n
Dicha expresión es la de la suma de los términos de una progresión aritmética de diferencia 1,y viene dada por:
n (1 +n) / 2
Así que, tenemos que resolver la ecuación:
n (1 +n) / 2 = 66
que es una ecuación de segundo grado que podemos expresar como:
n 2 + n – 132 = 0
Resolviendo dicha ecuación obtenemos como solución válida n=11 , y de dicho resultado se deduce que había 12 personas en la reunión.
Si recurrimos a la combinatoria, nuestro problema se trata de combinaciones de n elementos tomados de dos en dos (sin repetición), cuya expresión es la siguiente:
Luego, en nuestro caso tenemos que:
Simplificando los factoriales nos queda:
Y, simplificando aún más, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado:
n2 – n – 132 = 0
De donde se obtiene como solución válida al problema n=12, es decir, había 12 personas en la reunión.
Pero…
… hay una tercera forma de plantear este problema de los apretones de manos que me gusta personalmente, y es recurriendo a la geometría.
Podemos considerar a cada persona de la reunión como un vértice de un polígono cualquiera, de manera que tendríamos un polígono de n vértices y, por tanto, también de n lados.
Planteado así, un apretón de manos entre dos personas sería la línea que une los vértices que representan a esas dos personas.
De esta manera, el número total de apretones de manos será la suma de las diagonales y lados de dicho polígono.
Como en un polígono de n lados, el número de diagonales viene dado por la expresión:
El número total de apretones será:
Igualando ahora a 66 (el número total de apretones de manos que nos dicen que ha habido en la reunión)…
Y simplificando obtenemos la ecuación de segundo grado que vimos antes al resolver el problema utilizando la combinatoria:
n2 – n – 132 = 0
Cuya solución válida era n=12, es decir, en la reunión estaban 12 personas.
Como comprobación, si dibujáis ahora un polígono de 12 vértices (12 lados) y trazáis todas sus diagonales posibles, observaréis que junto con sus 12 lados suman en total 66.
Me ayudo demasiado, muchas graciasssss
¡Genial!
Gracias a ti 👍
Expresa en una tabla la relación que hay entre el área de un círculo (y) en función de la longitud del radio (x).
y = πx 2
Solo tienes que ir dando valores a X (longitud del radio) e ir obteniendo los correspondientes valores de Y (área del círculo) al sustituirlos en la expresión de Y y hacer operaciones. Y reflejas todos esos pares de valores en una tabla.
En una convención todas las personas que llegaron se saludaron con las demás. Hubo 325 apretones de mano. ¿Cuantas personas asistieron a la convención? ¿Es posible esta situación?
Tan solo tienes que cambiar el dato del número de apretones. Es similar al ejercicio que explico.
Un saludo.
Cuando en un grupo de personas, cada persona saluda de mano a otra del grupo una sola vez, el número total de saludos de mano se calcula mediante la expresión, a=[n(n-1)]/2 en donde n es el número de personas en el grupo. ¿Cuál es el valor de a para un grupo de 10 personas?
Solo tienes que susituir n por 10 y calcular.
https://youtu.be/-Fc6whrLrFs
en una reunión a la que asistieron 15 personas, cada persona se saludo de mano con todas las demás personas, a pesar de ser pocas personas ¿Cuántos saludos se dieron?
Según explico en la publicación, el número de apretones de manos para n personas es n(n-1)/2.
Simplemente tienes que sustituir n por 15 y calcularlo.
Un saludo.
¿Cuántos apretones de mano hay si diez personas se saludan entre sí?
No le entendí
55
Hola, Un grupo de 8 amigos se han reunido en una despedida de soltero que se realizó en un restaurante, si al final todos se disponen a ir a sus casas y se despiden estrechándose las manos, Cuántos apretones de manos se produjeron en esa despedida?
36
En una fiesta todas las personas se presentan unas a las otras. Se dan 10 apretones de manos en total. ¿cuantas personas hay en la fiesta
Lo tienes fácil, cambia 66 por 10 😉.
Necesito ayuda, tengo que realizar el esquema para grupo de 5,6,7,8,9 y 10 personas saber cuantos saludos de mano se da cada grupo no entiendo
hola
me puedes ayudar con este ejercicio pana
Todas las personas que asisten a una reunión se estrechan la mano. Si hubo 105 apretones, ¿cuántas personas asistieron?
Lo tienes fácil. La publicación que yo he hecho es con 66 apretones, cámbialo por 105.
12) Nueve amigos se encuentran después de muchos años, se saludan dándose cada uno un abrazo con los demás. Desde la ventana de un bar un joven observa la escena, se pregunta: ¿Cuántos abrazos se abran dado? Toma entonces un papel y después de hacer algunos cálculos anota el resultado correcto. ¿Cuál es el número que anoto el joven? Cómo sería?
Si lees con detenimiento la publicación, el número de abrazos total viene dado por la expresión n•(n-1)/2, siendo n el número de personas.
En el caso que planteas sería:
9•(9-1)/2=9•8/2=72/2=36 abrazos
Un saludo.
y si fueran 15 personas cuantos apretones de manos abrían y cual seria la expresión algebraica correcta?
Muchas gracias por compartir el conocimiento : ) !!!
66 apretones suponen 132 apretones individuales. Cada persona dará un apretón menos de las personas que hay. Hay que encontrar 2 nº consecutivos cuyo producto sea 132: 11 y 12. Este último representa al nº de personas que hay.
saludos desde chile viendo el mundial
Saludos Miguel.
Hola quiero ayudar a mi hijo,con seis amigos cuantos apretones hay
Hola Ricardo.
Como digo en la entrada, con dos personas (A y B), se produce un apretón de manos (A con B); Con tres personas (A, B y C), se producen tres apretones de manos (A con B y C, B con C); Con cuatro personas (A, B, C y D), hay seis apretones de manos (A con B, C y D, B con C y D, C con D). Y, en general, con n personas, el número de apretones de manos es la suma de los primeros n-1 números naturales consecutivos.
Así, si son 6 personas (n=6), el número de apretones de manos es:
1+2+3+4+5=15
15 apretones de manos.
Un saludo.
En un torneo de fútbol participan 18 equipos, y clasifican 4 de ellos a cuartos de final. ¿Cuántas posibles clasificaciones hay?
Si tengo 7 ingredientes en el refrigerador y quiero preparar una ensalada con 3 de ellos ¿Cuántas posibilidades tengo de preparar mi ensalada?
Si se desea elegir a 4 de 10 alumnos para salir de viaje,¿De cuántas maneras se puede hacer la selección?
Hola Diana. En el caso que planteas hay que recurrir a la combinatoria. Serían combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4, que viene dado por la expresión:
m!/[n!(m-n)!]
siendo m=10 y n=4
Es decir:
10!/[4!(10-4)!]=
=10!/(4!6!)=
=(10•9•8•7•6!)/(4•3•2•1•6!)=
=(10•9•8•7)/(4•3•2•1)=
=210
Se puede hacer de 210 formas.
Saludos.
Muchas gracias
¿Cuántos saludos es posible intercambiar si hay 8 personas?
Hola Diana, si lees la primera parte de la entrada lo puedes deducir fácilmente. Serían 28 saludos.
(1+7)×7/2=56/2=28
Hola, retomo este tema de matemáticas ,desde la segunda no lo veía ,lo hago para enseñarle a mi hermana .En la expresión n 2 + n – 132 = 0, obtengo que n=11 porque no solo puede tomar el valor de 11 al elevarlo al cuadrado y luego sumarlo con el mismo 11 ? Es así la forma en la que lo desarrollaste?
Gracias de antemano por la respuesta.
Hola José.
La ecuación n²+n-132=0 es una ecuación de segundo grado completa, del tipo an²+bn+c=0.
Para calcular sus posibles soluciones se puede utilizar la fórmula n=(-b±√(b²-4ac))/2a (puedes verla en esta entrada del blog: https://matematicascercanas.com/2016/11/01/formula-ecuaciones-polinomicas-segundo-grado/) y, al sustituir en la fórmula a=1, b=1 y c=-132, obtienes dos posibles soluciones: n=11 y n=-12. De esas dos posibles soluciones la negativa no tiene sentido en este problema, por lo que la solución válida es n=11.
Espero, dada la limitación que tiene este formato escrito de los comentarios para poder explicar, que te haya servido de ayuda.
Un saludo y gracias por comentar.
Gracias por la explicación , lo entendí .
mil y mil gracias por tu aporte!
Gracias.
Saludos.
Muy buena manera de resolver el problema. Había llegado a una de las soluciones, pero las otras 2 me resultaron igualmente útiles. Saludos!!!!
Muchas gracias, me alegra saber que ha sido útil.
Saludos.
Y si en una reunión hay 150 personas cuantos apretones de mano son
Hola Gabriela, de tu pregunta deduzco que o no has leído detenidamente la resolución que hago del problema o bien, habiéndolo hecho, no lo has entendido.
Aunque te voy a indicar como sería, te recomiendo que primero hagas el esfuerzo de entenderlo, porque sino no tiene sentido.
El caso que preguntas es similar al de la entrada, con la diferencia de que en la entrada se conoce el número de saludos y se quiere saber el número de personas que se saludan, y en este caso se conoce el número de personas que se saludan y se quiere saber el número total de saludos.
La expresión a utilizar es la misma para cualquier número de amigos:
Saludos totales = [(amigos-1)·amigos]/2
Para 150 amigos => [(150-1)·150]/2 = 22350/2 = 1175 saludos
Un saludo.
Hola soy jeni , no puedo solucionar estos problemas 😢😢 ojala y me puedan ayudar
Se encuentran 10 amigos en el parque y se salydan de manos cuantos amigos se encuentran en total ??😥😥😥😥😥
Y sí hay 100 amigos ??😰😰😰😩😩😩
Y si hay 1000 amigos ??? 😨😨😨😨😨
X fa ayuden me lo acupo gracias «»»»»
Hola Jenifer.
Lo primero sería aclarar el enunciado. Cuando dice «cuántos amigos se encuentran en total«, con ese «se encuentran» ¿se refiere a saludos que hay en total entre ellos o al número de amigos que han coincidido en el parque?
Si es lo segundo, número de amigos que han coincidido en el parque, la respuesta sería directa: 10 amigos en el primer caso, 100 en el segundo y 1000 en el tercero. Sería más un juego de palabras que otra cosa.
Si la pregunta es por el número de saludos totales entonces es un problema similar al de la entrada, con la diferencia de que en la entrada se conoce el número de saludos y se quiere saber el número de personas que se saludan, y en este caso se conoce el número de personas que se saludan y se quiere saber el número total de saludos.
La expresión a utilizar es la misma para cualquier número de amigos:
Saludos totales = [(amigos-1)·amigos]/2
Para 10 amigos => [(10-1)·10]/2 = 90/2 = 45 saludos
Para 100 amigos => [(100-1)·100]/2 = 9900/2 = 4950 saludos
Para 1000 amigos => [(1000-1)·1000]/2 = 999000/2 = 499500 saludos
Un consejo, lee la entrada detenidamente, intentando comprender todo lo que cuento en ella y después la solución de tu caso en concreto. Utilizar una fórmula o expresión sin entender lo que estás haciendo ni por qué lo haces no tiene sentido, porque con cualquier cosa que cambie en el problema que tengas que resolver ya no vas a saber qué hacer.
Sí, ya sé que requiere algo de esfuerzo y tiempo, pero merece mucho la pena. Hacer las cosas así te permitirá resolver otras muchas situaciones que te encuentres diferentes. Ten en cuenta que en la vida los problemas no se repiten, van cambiando, y nadie te va a decir lo que tienes que hacer para solucionarlos, sino que lo tendrás que hacer tú.
Un saludo.
Gracias “””
No pude responder este problema.
Alguien me ayuda.
Ciertos jovenes asistieron a una reunion y se estrecharon las manos
Cuantos jovenes fueron si fueron 36 saludos en total?
Jesús, es el mismo problema que cuento en esta entrada salvo cambiando 66 apretones de manos por 36 saludos.
Intenta entenderlo primero (que de eso se trata) y después aplica lo de la entrada a tus 36 saludos.
Hola buenas noches
en una reunión hay 100 personas, 10 de ellas saludad de mano ¿cuantos saludos de mano hay? no es por corchado ya que no me se la respuesta y por favor ¿me puede mostrarme la ecuación para este problema?
Hola Santiago. No tengo muy clara la interpretaciòn del enunciado, porque cuando dice que «10 de ellas saludan de mano» se supone que solo se saludan entre ellas diez y las otras 90 permanecen al margen ¿no? Porque si saludasen a las otras 90 personas también, ya no serían solo 10 personas las que saludan de mano, pues en el saludo de mano participan las dos, y serían las 100 personas las que están saludando de mano. Quizás el enunciado no sea lo necesariamente preciso.
Hola. Me podrías decir de dónde viene ese partido 2 gracias
Hola Juan, si pinchas en el enlace que pongo justo antes de la expresión (donde dice «suma de términos de una progresión aritmética») te lleva a una entrada del blog que explica de donde sale esa fórmula y, por tanto, el 2.
Saludos.
Hola !
Porqué en la primera solución, el resultado da 11?
Es decir, la ecuación es: n 2 + n – 132 = 0
No logro entender cómo resulta el número 11.
Muchas gracias.
Hola Sebastián.
En la primera resolución el resultado final es 12 (lógicamente como en las otras resoluciones que se hacen después) puesto que, como se indica, en esa primera resolución el número de personas viene dado por n+1.
Lo que es 11 es el valor de n que se obtiene de resolver la ecuación de segundo grado n^2+n-132=0 (11^2+11-132 = 121+11-132 = 132-132 = 0)
(El otro resultado de posible de dicha ecuación, -11, no tiene sentido en este caso porque sería un número de personas «negativo»)
Espero haberte aclarado la duda.
Saludos.
¿Por qué se iguala a 66?
Hola Mada, porque el enunciado del problema dice «Hubo 66 apretones de manos». Por eso se iguala la expresión que da el número de apretones de manos a 66.
Espero haberte aclarado la duda.
Saludos.
Una excelente manera de resolver por diferentes métodos
Gracias Daniel, eso es lo más interesante, poder plantear resolver las situaciones por vías distintas. Cuantas más opciones se tengan mucho mejor.
Un saludo y muchas gracias por aportar comentando.
Para llevar al aula.
Con frecuencia los comentarios que se escriben en cada entrada de un blog son tan interesantes como la entrada misma, porque se plantean otras perspectivas y otros puntos de vista en los que no habíamos pensado.
Gracias a Amadeo, por contar tan bien las cosas, y también a Ana, por su aportación.
Tienes mucha razón Ada. Los comentarios son fundamentales para el blog, y tú has ayudado mucho con los tuyos a éste.
La aportación que hizo Ana con su comentario fue muy interesante y me ha permitido enriquecer mucho la entrada.
Gracias por participar tanto y ayudar al blog Ada.
Me encanta!
Es de agradecer que se planteen distintas maneras de solucionarlo.
Hola! un blog interesante.
Es un problema muy curioso que nos permite ver las grandes posibilidades que nos ofrecen los razonamientos matemáticos.
Una de las posibilidades de resolución más interesante de este problema es a través de la geometría, de donde sale la ecuación n x (n-1)/2. Si entendemos que cada una de las personas es un vértice de un polígono cualquiera y que los apretones de manos serían la suma de sus diagonales y lados llegamos a la generalización de que si conocemos al número de personas podremos establecer el número de saludos
La ecuación anterior es una síntesis de las fórmula correspondiente a las diagonales de un polígono más la suma de sus lados. n x (n-3)/2 +n= n x (n-1)/2.
si lo resolvemos a través de ensayo y error podemos establecer que 12 x (11)/ 2= 66 con lo que n=12 .
un saludo y espero haber aportado otra visión del problema
Muchísimas gracias por tan magnífico aporte Ana.
Me he permitido aprovechar tu contribución e incorporar esta tercera vía de resolución del problema en la entrada.
Un saludo y reitero mi agradecimiento.
asod está en lo cierto. Para que puedan coincidir los apretones de manos con el número de personas en la reunión y en cualquier otra situación, debe de utilizarse la expresión n (n-1) / 2 = (n^2-n) / 2 ya que de otra manera no coincide. Pues es con ( n – 1) personas que resulta, o sea, 1 +2 +3 + … + ( n – 1). Favor de verificarlo…
Asod estaba equivocado, de hecho le remití a la entrada 1+2+3+4+5+…+100 para que pudiese comprobarlo. Te invito también a que lo hagas.
De hecho basta con que hagas una comprobación con números, por ejemplo 1+2+3+4. La suma es el número de términos (4) por el primer término (1) MÁs el último término (4), todo ello dividido entre 2, es decir 4(1+4)/2 = 4•5/2 = 20/2 = 10. Si pones un menos en lugar del más no te va a dar el resultado correcto (porque no está bien).
Por otra parte, si lo que quieres es que n sea diréctamente el número de personas de la reunión (y no n+1 como consideré yo en en la primera parte de la entrada en su momento), en ese caso el número de apretones es, como has indicado, 1+2+3+…+(n-1). Sin embargo, dicha suma vendría dada por la expresión: «(n-1)[1+(n-1)] / 2» y dicha expresión sería la que tendrías que igualar a 66, obteniendo el resultado de 12 apretones.
Observa que la suma empieza en 1 y termina en una unidad menos que el número de personas.
Y la expresión de esa suma es la que he empleado, no porque lo diga yo sino porque lo dijo Gauss en su día.
Espero habertelo podido aclarar.
Un saludo y gracias por aportar al blog comentando.
Perdona por la corrección pero creo que la ecuación está incorrecta es (n^2-n)/2
La expresión está bien. La suma de términos de una progresión aritmética viene dada por la semisuma del primer y último término (en este caso: (1+n)/2 ), multiplicado por el número de términos (en este caso: n), quedando al operar: (n^2+n)/2.
Te recomiendo esta otra entrada de mi blog, donde se cuenta la historia de cómo Gauss, por aquél entonces un alumno de colegio, dedujo esta expresión durante una clase.
https://matematicascercanas.com/2014/05/05/12345-100/
Excelente aporte, realmente nos ayudan mucho este tipo de ejercicios, saludes.
Gracias Marlon.
Disculpa por tanto retraso en contestar, pero se me pasó en su momento.
Un saludo.
Gracias por comunicar las soluciones. Hace poco tiempo que descubrí “matemáticas cercanas”. Valoro mucho que envien las explicaciones correspondientes ya que en ocasiones uno no tiene la certeza de haberlos resuelto correctamente o no logra hallar las respuestas. Desde ya, muchas gracias.
Muchas gracias a ti, Patricia, por dedicar parte de tu tiempo a visitar el blog. Está hecho con mucha humildad e ilusión y, a parte de intentar entretener, como su nombre indica, intenta acercar las matemáticas a todo el mundo. Por eso creo que debo poner las soluciones y explicaciones a todos los problemas y acertijos, pues se trata de que todos puedan entenderlo.
Muchas gracias por tus palabras, son muy valiosas para mi.
Un saludo.