Laura y Juan… y el problema del televisor

Laura y Juan son una pareja que vive en un piso ni pequeño ni grande, digamos que normal.

Cuando están en casa, pasan bastante tiempo en el salón, que ni es muy grande ni tampoco demasiado pequeño, digamos que es… normal. Como… normal es también el mueble de su salón, con unas estanterías donde tienen libros, un par de fotos enmarcadas, alguna que otra figurita de recuerdo que les han ido regalando sus amigos, y un espacio reservado en el mueble para el televisor.

Y aquí es a donde quería llegar. En casa de Laura y Juan, todo parece… normal, bueno, digamos que común, porque lo de ser normal es algo muy relativo. Así es que, en casa de Laura y Juan (incluidos ellos) todo parece bastante común, salvo… su televisor. O eso es lo que piensan ellos.

Lo cierto es que el televisor lo heredaron de la abuela de Juan y tiene ya bastantes años, pero claro, si seguía funcionando ¿por qué iban a cambiarlo? Y digo bien «seguía» porque, desde hace más o menos un mes, ya no funciona tan bien. Por este motivo, Laura y Juan, estando en su salón… común, tienen la siguiente conversación:

– Juán, no haces más que quejarte por el televisor -dice Laura- , y debo reconocer que tienes razón, funciona bastante mal ya. Ahora que he cobrado la paga extra y tenemos algún dinero ahorrado, si quieres podemos mirar un televisor nuevo y cambiarlo.

– ¡Menos mal! Contesta Juan ¡Es que con este televisor ya no se ven ni la mitad de los canales!

– Pues si te parece bien, mañana sábado vamos al centro comercial e investigamos los modelos que hay, pero que no sean muy caros.

– Mmmmmm… es que ya lo he estado mirando en internet por mi cuenta, y hay uno que me gusta mucho -dice Juán con cierto tono de culpabilidad-. Tiene una pantalla enorme panorámica, internet, puerto USB… y está baratísimo por una página que he visto.

– ¡Pero Juan! ¿Pantalla enorme? ¿Te das cuenta de que nuestro televisor tiene 32 pulgadas y apenas sobra nada en el hueco del mueble?

– Tranquila Laura, eso ya lo había pensado -contesta Juan, esta vez mostrando una mayor seguridad- el que me gusta también tiene 32″.

Laura, que tiene más conocimientos de matemáticas que su pareja (y no sólo de matemáticas) se queda mirándole fíjamente (hasta el punto de que a Juan se le empieza a volver la sonrrisa algo horizontal, consciente de que hay algo que no está haciendo bien), y le dice con mucha delicadeza:

– Vamos a hacer una cosa ¿por qué no comprobamos que el televisor que te gusta cabe donde está el actual?

– Pero cariño -contesta Juan- si ya te he dicho que también tiene 32 pulgadas.

– Ya Juán, pero resulta que aun teniendo los dos las mismas pulgadas no tienen el mismo tamaño.

– ¿En serio? Pues no vienen las medidas por internet, sólo dicen las pulgadas de la pantalla y el formato.

Entonces Laura contestó:

– ¡No hay problema alguno! Gracias a nuestras queridas matemáticas esto tiene fácil solución. Conociendo las pulgadas de la pantalla y la relación entre sus lados, podemos calcular su tamaño exacto, el ancho y el alto, y así nos evitaremos la desagradable sorpresa de descubrir que nuestro flamante televisor nuevo no encaja en el hueco que tenemos.

Déjame que te cuente. Como sabes, los tamaños de los televisores se dan en pulgadas, y esas pulgadas se corresponden con la longitud de la diagonal de la pantalla. Así que, si por ejemplo un televisor tiene 24″, quiere decir que la diagonal de la pantalla mide 24 pulgadas.

La pulgada es una unidad del sistema anglosajón de medidas, equivalente a 2,54 cm. Su nombre viene del dedo pulgar y es una aproximación a la medida de la primera falange de ese dedo.

La otra cosa que, como te he dicho antes, hay que saber, es la relación entre sus lados, y eso es el famoso formato o relación de aspecto. En un televisor de los «antiguos», como el de tu abuela, el formato es 4:3, y en un televisor panorámico, como el que has visto tú, el formato es 16:9.

Por cierto Juán, permíteme que haga aquí un pequeño inciso: resulta curioso que a los televisores con formato 4:3 se les llama comunmente «cuadrados», cuando en realidad su pantalla es un rectángulo.

Bueno, no me enrollo y voy al grano… he dicho que las matemáticas nos iban a ayudar pero ¿cómo? Presta atención.

Queremos cambiar nuestro televisor por uno con una pantalla de 32″ en formato 16:9. Según lo que hemos visto antes, tendrá una diagonal de 32 x 2,54 = 81,28 cm y, además, sus dimensiones reales (ancho y alto) serán 16a y 9a respectivamente (a es un valor que de momento desconocemos y que precisamente es lo que queremos calcular para así tener el ancho y el alto).

Llegados aquí, como ocurre en tantas ocasiones, uno de los teoremas más antiguos de la historia va a ayudarnos a resolver este problema tan relativamente reciente: para calcular el valor de a utilizamos el… ¡Teorema de Pitágoras!

Este sí que te lo sabes Juán, es ese que dice que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

 Así que, representamos la pantalla de nuestro televisor de 32″ en formato 16:9

Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que te he dibujado, tenemos:

Observa Juan, que de las dos soluciones, positiva y negativa, que tiene la ecuación cuadrática anterior (ecuación de segundo grado), tan solo he considerado al final la positiva (4,43 cm), porque como se trata de una longitud, no tiene sentido la solución negativa.

Así, las dimensiones de la pantalla serán:

Es decir, 40 x 71 cm… ¡problema resuelto! ya solo tenemos que comparar estas dimensiones con las del espacio de que disponemos.

– ¡Vaya! – exclama Juan- Eres sorprendente Laura.

– No Juan, lo que son sorprendentes son las matemáticas, y muy útiles como puedes comprobar. De todas maneras, antes de medir el hueco, déjame que hagamos otro cálculo análogo pero con el televisor de tu abuela… es un televisor de 32″ en formato antiguo 4:3 … y nos da una pantalla de… 49 x 65 cm.

– ¡6 centímetros más estrecha que la del nuevo! -exclama sorprendido Juán-. Entonces debemos tener mucho cuidado con lo que hacemos, no podemos sustituir alegremente nuestro televisor antiguo por el modelo nuevo, pues aunque ambos televisores tengan las mismas pulgadas, el modelo nuevo es bastante más ancho.

– Eso sí, -dice Laura- a nuestro favor cuenta que los modelos antiguos tienen un marco bastante ancho y, sin embargo, los modelos actuales apenas traen marco, como el que tu has visto, con lo que ganamos unos centímetros adicionales de espacio que quizás permitan que quepa el nuevo aun siendo más ancha la pantalla. Claro que, ya lo estás viendo, ni se te ocurra plantearte eso de: «ya que nos ponemos a cambiar… uno un poco más grande ¿no?» que el siguiente en tamaño ya seguro que no cabe.

– Pues no se diga más -dice Juan animado- ahora mismo le añado un par de centímetros de marco a cada lado de los 71 cm de pantalla que me has dicho, que es lo que he observado que más o menos tienen los televisores panorámicos, y lo comparo con el ancho del hueco que tenemos. Porque, por lo que hemos visto, de alto no va a tener problema alguno. Bueno, pensándolo mejor le voy a añadir tres centímetros más a cada lado por si acaso… 71 + 3 + 3 que son… ¡77 centímetros!

– Bien pensado Juan, es bueno calcular las cosas con un pequeño margen de seguridad.

– Y si no cabe -termina Juan- con todo lo que me has explicado calculo el televisor que podríamos poner.

– De todas maneras Juan, como te conozco y sé que eres un poco desconfiado, siempre podemos acercarnos al centro comercial y mirar si hay alguna como la que has visto por internet y medirla, aunque no haría falta con lo que hemos visto.

El dibujo que se ha utilizado en esta entrada es de Amadeo Artacho (es decir, mío) así que me autorizo a mi mismo a ponerlo.