Tenemos dos puntos, A y B, y dos caminos diferentes para ir de uno a otro.
El camino de color azul va directamente de A a B, y el de color rojo lo hace a través de trayectos parciales (de A a C, de C a D, de D a E y, finalmente, de E a B).
Si todos los caminos son semicircunferencias ¿qué camino es más largo, el azul o el rojo?
¿Ya tienes tu respuesta?
Vamos a verlo.
Como todos son semicircunferencias y los puntos estan alineados, lo primero que podemos hacer es representar sus diámetros uniendo dichos puntos.
Y dado que se trata de comparar longitudes, vamos a ver la longitud de cada semicircunferencia.
La longitud de una semicircunferencia es lógicamente la mitad de la longitud de una circunferencia, es decir:
Lsemicircunferencia = 1/2 · Lcircunferencia = 1/2 · πd
siendo d el diámetro de la circunferencia.
De esta manera tenemos que:
Lcamino rojo = 1/2 · π · AC + 1/2 · π · CD + 1/2 · π · DE + 1/2 · π · EB
sacando factor común…
Lcamino rojo = 1/2 · π · (AC + CD + DE + EB)
como AC + CD + DE + EB = AB, tenemos que…
Lcamino rojo = 1/2 · π · AB = Lcamino azul
Así es que, como seguro que muchos habíais deducido desde el principio (o no, puede que hubiéseis pensado que era más largo el camino rojo o el azul), los dos caminos tienen la misma longitud, aunque a simple vista pueda no parecerlo.
Fuente: math4teaching.com «Semicircle Road Trip #2»
Creo que si todos los puntos están alineados, de manera que la suma de longitudes de los diámetros pequeños es igual a la del mayor, los dos recorridos son iguales.
Efectivamente, eso es precísamente lo que explico en el desarrollo de la entrada Juan.
Saludos.
Yo creo que el camino mas corto es no seguir los caminos del diagrama, sino que caminar en linea recta desde el punto A al B y viceversa.
Jajaja… habría que añadir ese tercer camino, aunque a saber qué hay en ese recorrido recto…
Yo creo que el camino en linea recta está implicidamente en el diagrama,pero no señalado en el problema.(ver linea que pasa desde A por los puntos C,D hasta B y/o viceversa).
Bueno, esa línea es una línea auxiliar que dibujo yo en el primer paso de la resolución. El problema dice (y se representa así) clsramente que hay dos caminos, el rojo y el azul, y la pregunta se hace explícitamente para esos dos caminos. Considerar otro camino ya sería otro problema diferente al que propongo en la entrada 😉.
Si eso ya me dí cuenta. Creo que el problema que tú planeas es otro, entonces tu respuesta esta bien.Muy interesante. Gracias por el blog.
Gracias a ti. El objeto del problema es, sin números, comprobar que realmente se entiende el concepto de longitud de una circunferencia (o semicircunferencia en este caso).
Un saludo.
¿Qué pasaría si fueran parábolas, una comparación de un salto grande contra varios pequeños saltitos?
Hola Rafael, es una buena pregunta ¿tú que opinas? ¿y cómo deberíam ser esas partes de las parábolas?
Me imaginaba un tiro parabólico: una pelota lanzada con fuerza y otra lanzada con menos fuerza varias veces (mismo ángulo), ¿tendrán trayectorias de la misma longitud?