El caso del rectángulo de igual superficie y perímetro

¡Un rectángulo de igual superficie y perímetro!

¿Podrá el Inspector Clouseau resolver este caso?

Podemos llamar a los lados del rectángulo ab. De hecho así aparecen en el dibujo inicial.

Nos dicen que el perímetro y la superficie del rectángulo coinciden.

El perímetro de un rectángulo, como ya sabréis, es igual a la suma de sus lados:

P = a + a + b + b = 2a + 2b = 2·(a + b)

Y la superficie o área viene dada por el producto de su base y su altura (o si lo preferís, el producto de dos de sus lados consecutivos), es decir:

Aa · b

Como se nos indica que ambos son iguales, tenemos que:

2·(a + b) = a · b

El miembro de la izquierda de la ecuación es par, pues es el resultado de multiplicar por dos un número natural (número resultante de la suma de los números naturales a y b).

Eso quiere decir que en el miembro de la derecha de la ecuación, al menos uno de los dos números naturales a y b  tiene que ser un número par para que su producto lo sea también (incluso pueden serlo los dos).

Si, por ejemplo, consideramos que a es par, podemos expresarlo como:

a = 2p , siendo un número natural

Sustituyéndolo en la ecuación anterior, tenemos que:

2·(2pb) = 2p·b

Y simplificando:

2pb = p·b

Vamos a expresar ahora b en función de p. Para ello operamos primero y despejamos después b:

p·b – b = 2p

sacamos factor común

b·(p – 1) = 2p

y despejamos b

b = 2p / (p  1) , siendo p un número natural

Pues bien, para que b sea un número natural tiene que ocurrir que o bien (p – 1) sea divisor de 2. o bien (p – 1) sea divisor de p, de lo contrario no podría serlo.

Si (p – 1) es divisor de 2, dado que los únicos divisores de 2 son 1 y 2, tenemos que:

Si p – 1 = 1 entonces p = 2

Si p – 1 = 2 entonces p = 3

Si (p – 1) es divisor de p, ocurre que el único número natural que tiene como divisor al número que le precede es el 2 (1 es divisor de 2), por lo que en este caso p = 2 (valor que ya nos había salido antes).

Sustituyendo ahora los dos valores de p obtenidos en las expresiones de a y b en función de (a = 2pb = 2p/(p  1) ), se tiene que:

para = 2 , los lados del rectángulo son a = 4b = 4

para = 3 , los lados del rectángulo son a = 6b = 3

Y habría una tercera solución que se obtendría si considerásemos al principio b  par en lugar de a, y que sería a = 3b = 6.

Resumiendo, nuestros tres posibles rectángulos de igual perímetro y área son:


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3 comentarios en «El caso del rectángulo de igual superficie y perímetro»

    • No sé si has leído el texto de la imagen. Se deja claro que los lados del rectángulo son números naturales. Por lo tanto, no cabe en este caso otra solución. Tú estás planteando otro problema distinto al que estoy planteando yo.
      Un saludo

      Responder

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