Función cuadrática (parábola). Parte II: Forma desarrollada o polinómica

En una entrada anterior del blog hablé sobre la función cuadrática y, partiendo de su expresión más sencilla, y = x2, fui haciéndole transformaciones hasta llegar a la forma canónica de la función cuadrática general, de la que como conté se podía extraer directamente bastante información de su representación gráfica, es decir, de su parábola asociada:

Si quieres ver la entrada completa éste es el enlace:

Función cuadrática (parábola). Parte I: Forma canónica

Aquella entrada la terminaba diciendo que me habían faltado más cosas por contar, y entre ellas estaba relacionar todo lo que se había visto con la expresión general de la ecuación cuadrática.

Pues eso es lo que voy a hacer en esta entrada.

La expresión general o forma desarrollada o polinómica de una función cuadrática es la siguiente:

Ahora podría contaros directamente cómo se obtiene el vértice de la parábola a partir de los coeficientes de esta expresión, pero creo que no estaría aportando nada a lo que ya podéis ver en tantos sitios y prefiero que lo deduzcamos juntos.

Lo mejor es partir de la forma canónica (de la que ya sabemos bastantes cosas), desarrollarla y comparar lo que nos salga con esta expresión que acabamos de ver para sacar nuestras propias conclusiones.

No quiero que os perdáis en el camino, simplemente es un desarrollo. lo importante son las conclusiones que vamos a sacar después.

Partimos entonces de la forma canónica:

 y = a·(x-h)+ v

desarrollando el binomio al cuadrado…

y = a·(x2+h2-2·x·h) + v

aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma…

y = ax+ ah– 2ahx + v

y colocando términos, tenemos:

y = ax– 2ahx + ah+ v

Si ahora comparamos esta expresión con la polinómica, tenemos que:

De donde deducimos que:

b = -2ah

c = ah+ v

Pues a partir de ambas expresiones podemos obtener las coordenadas del vértice de la parábola en función de los coeficientes abc.

Despejando h en la primera expresión obtenemos la abscisa del vértice de la parábola:

Despejando ahora v en la segunda expresión y sustituyendo después h por el valor anterior obtenido, conseguimos la ordenada del vértice de la parábola:

v = cah2

Es decir, el vértice de la parábola de la función cuadrática de ecuación desarrollada o polinómica  y=ax2+bx+c es:

No te preocupes, porque esto es más sencillo de lo que parece, y en breve lo vamos a ver con un ejemplo y a modo de resumen como hice con la forma canónica.

Como has observado, esta forma desarrollada o polinómica no nos da directamente las coordenadas del vértice de la parábola, como sí lo hacía la forma canónica, aunque las podemos calcular a partir de los coeficientes abc. Sin embargo sí nos da una información directa a través del coeficiente c que no nos daba la forma canónica: el punto de corte con el eje Y o eje de ordenadas, que sería el punto (0, c).

Esto que acabo de decir se deduce fácilmente ya que dicho punto es el que tiene como abscisa x=0, y si evaluamos la función en x=0 tenemos que:

y = 0·x2+0·x+c

y = c

Además seguimos teniendo la información que vimos que proporcionaba el coeficiente a en la forma canónica.

Resumiendo todo lo visto, a partir de la ecuación desarrollada o polinómica de una función cuadrática, podemos extraer la siguiente información:

 

Como ya hice en la entrada que dediqué a la forma canónica de la ecuación cuadrática, quiero dejar claro que las parábolas son todas semejantes, y como tales tienen la misma forma en realidad.

Lo que ocurre es que el cambio de escala nos hace ver que la parábola se “ensancha” o se “estrecha”, pareciendo que cambie su forma.

De tal manera que lo que llamo «factor de forma» no es que cambie la forma dd la parábola en realidad, sino que cambia la forma en la que la percibimos al cambiar la escala.

Veamos ahora un ejemplo. Si tenemos la función:

Podemos deducir que…

… tan solo echando cuentas para calcular el vértice.

Y ésta sería su representación gráfica:

Bueno, espero con estas dos entradas haberte ayudado a entender mejor la función cuadrática.


 

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15 comentarios en «Función cuadrática (parábola). Parte II: Forma desarrollada o polinómica»

  1. Hola Amadeo, te felicito por la explicacion de la función cuadrática, nos llevas de la mano para entender las matemáticas, que cuando no son explicadas como lo haces tú , dan dolor de cabeza. A mi gustan estudiarlas, confieso que soy nuevo en este tema, pero me gustan, hacen trabajar el cerebro, te reitero las felicitaciones, tengo un dolor de cabeza menos, gracias y saludos Amadeo.

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  2. Hola, estuve recorriendo manuales, páginas de internet y videos para entender cómo se llega a h=-b/2a. Me resulta muy frustrante que los docentes se contenten con arrojar las fórmulas sin explicar los pasos que conducen a ellas. Yo al menos me boqueo y no puedo avanzar hasta encontrar la respuesta. Felicitaciones por tomarte el trabajo de dar una verdadera explicación.

    Saludos desde Buenos Aires.

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    • Te agradezco el comentario Tomás.
      En muchas ocasiones en las clases normales nos vemos obligados a no poder explicar y desarrollar todo lo que nos gustaría por falta de tiempo. Los temarios son demasiado extensos, y siempre tenemos el tiempo presionándonos y limitándonos.
      Pero es cierto que hay que aprovechar las oportunidades que tenemos para explicar las cosas bien.

      Un saludo.

      Responder
      • Amadeo, entiendo perfectamente lo que señalás sobre el tiempo y la presión para cubrir temarios extensos, ya que soy docente, pero de Historia, y siento la misma frustración que vos, agravada en este período de Zoom forzoso.

        En todo caso, como explorador matemático por pura curiosidad, sé apreciar las explicaciones que no se contentan solamente con que los estudiantes lleguen al resultado, sino que entiendan cómo lo obtuvieron. Lamentablemente, cómo bien señalás -y sucede lo mismo en Historia- este es un trabajo difícil de realizar en el aula.

        Un saludo solidario al colega docente en tiempos de pandemia.

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      • Hola Amadeo, hay algo mal en tu método para saber el vértice
        Ecuación: Y=x»elevado a 2″+ 6x +5
        Si buscas el vértice de la manera «tradicional» la respuesta es: -3;-4, pero si usas tu método te dará: -3;4

        Método tradicional: primero buscas las raíces (que son -1;-5), luego haces la ecuación para encontrar el número en el eje x del vértice (ecuación: (-1 + -5) / 2 que el resultado es «-3″=eje x.
        Luego para saber el número del eje Y en el vértice, las «x» de la ecuación original se cambian por ese «-3″ y al resolverlo obtendrás el número del eje Y.
        Ecuación original: Y=x»elevado a 2″+ 6x +5
        Ecuación cambiada y resuelta: Y= 1.(-3″elevado a 2») + 6.-3+5 ——-> 9+(-18)+5 —–> y el resultado es «-4″= eje Y.
        Por lo tanto el vértice es: -3;-4

        Pero con tu método el vértice es: -3;-4

        Espero que puedas responderme y muchas gracias por hacerlo👍

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        • Te debes haber confundido al calcularlo porque sale igual (-3,-4).
          De hecho, la expresión que aparece para calcular la coordenada «y» del vértice, sale de sustituir la coordenada «x» del vértice en la expresión general de la ecuación, y son exactamente las mismas operaciones que haces normalmente.
          No es que sea algo diferente, en realidad se hace lo mismo.

          Un saludo.

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  3. Excelente nota !!!.
    Agradecería que publicaras algo respecto a las ecuaciones de 2do grado que tienen raíces complejas y su correspondiente gráfica (parte Real y parte Imaginaria) en el plano x,y

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