Los factoriones

Un factorion es un número natural que coincide con la suma de los factoriales de sus dígitos.

No es que haya muchos factoriones en base decimal, de hecho los cuatro que aparecen en la imagen anterior son los únicos que existen.

Más que el nombre de un tipo de número, esto de los factoriones podría parecer una especie alienígena que viene a conquistarnos o algo así. El nombre de “factorion” se debe al reconocido divulgador científico Clifford A. Pickover, que lo acuñó en el capítulo 22 de su libro Keys to Infinity, titulado “La soledad de los Factoriones” (“The Loneliness of the Factorions“).

Antes he comentado que en base decimal solo existen cuatro factoriones: 1, 2, 145 y 40585, y que, por tanto, 40585 es el mayor factorion que existe. Pero ¿cómo se comprueba?

Si n es un número natural con d dígitos y que además es un factorion, entonces se cumple la siguiente desigualdad:

 10d−1n9!

Si  d ≥ 8, resulta que 10d−1 > 9! , con lo que n puede tener como mucho 7 dígitos, es decir, n ≤ 9999999.

Por otra parte, la máxima suma que puede obtenerse con los factoriales de los dígitos de un número de 7 dígitos es 7·9! = 2540160, es decir, n ≤ 2540160.

Por lo tanto, sabemos con certeza que no pueden existir factoriones mayores que 2540160.

Pues bien, con la ayuda de un ordenador, y un poco de paciencia, se puede comprobar chequeando los números entre 40585 y 2540160 que no existe ningún factorion más.


Fuentes consultadas:

Factorion. WolframMathWorld.

Los factoriones. ZTFNews.org

Factorion. Wikipedia, La enciclopedia libre

Factoriones. Sobre todo, Matemáticas.

Más información:

Cliff Pickover, The Loneliness of the Factorions, Applied Probability Trust, 1996.

http://oeis.org/A014080

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7 comentarios en “Los factoriones”

    • Hola Fabian. En esta entrada no he puesto ninguno, todos son factoriales, pero sí, es lo que significa. También se le llama semifactorial (que a mi gusto es más adecuado).

      Eso sí, hay que tener cuidado de no confundir el doble factorial n!! con la función factorial iterada dos veces (n!)!.

      Por ejemplo:
      8!!=2•4•6•8
      9!!=1•3•5•7•9
      6!!=2•4•6
      5!!=1•3•5

      Como el doble factorial solo involucra la mitad de factores que un factorial ordinal, su valor no es mayor que la raíz cuadrada del factorial n!, y es mucho menor que el factorial iterado (n!)!.

      Saludos.

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