Criterios de divisibilidad

En esta entrada vamos a hablar primero del concepto de divisibilidad, es decir, qué quiere decir que un número sea divisible entre otro, y después vamos a ir viendo los distintos criterios o reglas de divisibilidad que podemos utilizar para saber si un número es divisible entre otro.

Como son muchos los criterios de divisibilidad que os voy a enseñar aquí, bastantes más de los que suelen aparecer en los libros de texto y otras páginas web, podéis acceder directamente al que os interese seleccionándolo en el siguiente índice de contenidos:

Concepto de divisibilidad.

Criterio de divisibilidad del 1.

Criterio de divisibilidad del 2.

Criterio de divisibilidad del 3.

Criterio de divisibilidad del 4.

Criterio de divisibilidad del 5.

Criterio de divisibilidad del 6.

Criterio de divisibilidad del 7.

Criterio de divisibilidad del 8.

Criterio de divisibilidad del 9.

Criterio de divisibilidad del 10.

Criterio de divisibilidad del 11.

Criterio de divisibilidad del 12.

Criterio de divisibilidad del 13.

Criterio de divisibilidad del 14.

Criterio de divisibilidad del 15.

Criterio de divisibilidad del 17.

Criterio de divisibilidad del 18.

Criterio de divisibilidad del 19.

Criterio de divisibilidad del 20.

Criterio de divisibilidad del 25.

Criterio de divisibilidad del 29.

Criterio de divisibilidad del 31.

Criterio de divisibilidad del 100.

Criterio de divisibilidad del 125.

Un par de propiedades muy útiles.



Divisibilidad

Que un número sea divisible entre otro quiere decir, en un lenguaje sencillo, que al dividir (división euclídea) el primero entre el segundo se obtiene de resto cero, es decir, que la división es exacta (sin decimales).

Expresado en un lenguaje más formal:

Un número entero b es divisible entre otro entero a (no nulo) si existe un entero c tal que:

b = a ⋅ c

Esto es equivalente a decir que el resto de la división euclídea es cero o simbólicamente que:

b − a ⋅ c = 0

Se suele expresar de la forma a ∣ b , que se lee: «a divide a b«, o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a«.

Por ejemplo, 12 es divisible entre 3, ya que 12 = 3·4; pero 12 no es divisible entre 5, pues no existe un entero c tal que 12 = 5·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 12 entre 5 no es cero.

Imaginemos, por ejemplo, que tenemos una pizza de 8 porciones.

Si somos 4 comensales, se trata de ver si tocamos a un número entero de porciones cada persona y que no sobre ninguna porción (que 8 sea divisible entre 4) o si, por el contrario, sobra alguna o algunas de las porciones y hay que partirla o partirlas en trozos más pequeños para que todos comamos lo mismo y no quede nada (que 8 no sea divisible entre 4).

En el caso de 8 porciones de pizza y 4 comensales, cada comensal tocaría a 2 porciones, y no sobraría ninguna. Si dividimos 8 entre 4 obtenemos de cociente 2 y de resto 0. Es decir, 8 es divisible entre 4.

8 porciones de pizza repartidas entre 4 comensales. Tocan a 2 porciones y no sobra ninguna.

Si tuviésemos 8 porciones de pizza y 3 comensales, para saber si cada comensal toca a un número de porciones exacto sin que sobre ninguna, tendríamos que ver si 8 es divisible entre 3.

En este caso la división no saldría exacta, por lo que 8 no sería divisible entre 3. Traducido a nuestras porciones de pizza, cada comensal tocaría a 2 porciones enteras (el cociente de la división de 8 entre 3), pero sobrarían otras dos porciones (el resto de la división de 8 entre 3) que habría que partirlas en trozos menores para poder repartirlas a partes iguales entre los 3 comensales.

8 porciones de pizza repartidas entre 3 comensales. Tocan a 2 porciones y sobran otras 2 porciones.

Nota: se puede decir tanto «divisible entre» como «divisible por». Lo encontraréis expresado de ambas formas en muchos sitios

Ver si un número es divisible entre otro cuando los números son pequeños es relativamente sencillo. Sin embargo, cuando tenemos números más grandes resulta algo más complicado.

Para facilitar esta labor surgen los criterios o reglas de divisibilidad.


Criterios o reglas de divisibilidad

Los criterios o reglas de divisibilidad son unas «reglas» que empleamos para saber si un número es divisible entre otro sin necesidad de tener que realizar la división.

Son de gran utilidad ya que, por ejemplo, nos ayudan a encontrar con facilidad los divisores de un número, nos sirven especialmente cuando tenemos que descomponer números en factores primos, o para saber si un número es primo o compuesto, para simplificar fracciones, etc.

A continuación vamos a ir viendo los criterios de divisibilidad más utilizados, y otros que probablemente no encontraréis un los libros de texto.


Criterio de divisibilidad del 1

Todo número es divisible entre 1.

Como diría una de mis alumnas: «¡Aparcao!».

Parece bastante claro que aquí no hay mucho que comprobar, ya que si dividimos cualquier número entre 1 obtenemos de cociente el mismo número y de resto cero.


Criterio de divisibilidad del 2

Un número es divisible entre 2 si termina en una cifra par (0, 2, 4, 6, 8), es decir, si el número es par.

Por ejemplo:

234 es divisible entre 2, porque termina en 4.

2758 es divisible entre 2, porque termina en 8.

47 no es divisible entre 2, porque termina en 7, que no es par (no es 0, 2, 4, 6 ni 8).


Criterio de divisibilidad del 3

Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

Nota: Si el número tiene cifras que sean 3, si se quiere, no es necesario sumar dichas cifras (las cifras que son 3). De esa manera, como la suma total de cifras es menor, es más fácil ver si es múltiplo de 3.

Por ejemplo:

45 es divisible entre 3, porque 4+5=9, y 9 es múltiplo de 3 (9=3·3).

35472 es divisible entre 3, porque 3+5+4+7+2=21, y 21 es múltiplo de 3 (21=3·7).

5408 no es divisible entre 3, porque 5+4+0+8=17, y 17 no es múltiplo de 3.


Criterio de divisibilidad del 4

Un número es divisible entre 4 si el número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4 o cuando termina en doble cero.

Por ejemplo:

8100 es divisible entre 4, porque termina en 00.

23824 es divisible entre 4, porque termina en 24, que es múltiplo de 4 (24=4·6).

632 es divisible entre 4, porque termina en 32, que es múltiplo de 4 (32=4·8)

3615 no es divisible entre 4, porque termina en 15, que no es múltiplo de 4.

Aunque no es habitual verlo, se puede aplicar también otro criterio de divisibilidad del 4, según el cuál:

Un número es divisible entre 4 si el resultado de sumar el doble del penúltimo dígito y el último da un número múltiplo de 4.

Por ejemplo:

23824 es divisible entre 4, porque 2·2+4=8, y 8 es múltiplo de 4.

632 es divisible entre 4, porque 2·3+2=8, y 8 es múltiplo de 4.

3615 no es divisible entre 4, porque 2·1+5=7, que no es múltiplo de 4.


Criterio de divisibilidad del 5

Un número es divisible entre 5 si termina en 0 o en 5.

Por ejemplo:

325 es divisible entre 5, porque termina en 5.

23670 es divisible entre 5, porque termina en 0.

564 no es divisible entre 5, porque no termina ni en 0 ni en 5.


Criterio de divisibilidad del 6

Un número es divisible entre 6 si es divisible entre 2 y entre 3 a la vez, es decir, cuando es par y divisible entre 3.

Por ejemplo:

162 es divisible entre 6, porque es divisible entre 2 (termina en 2, que es una cifra par) y entre 3 (1+6+2=9, que es múltiplo de 3).

318 es divisible entre 6, porque es divisible entre 2 (termina en 8, que es una cifra par) y entre 3 (3+1+8=12, que es múltiplo de 3).

Nota: Un número es divisible entre otro si lo es por todos sus divisores. Por eso, como 6=2·3, si un número es divisible entre 2 y entre 3, también es divisible entre 6.


Criterio de divisibilidad del 7

Un número es divisible entre 7 si, al restar al número sin la cifra de las unidades el doble de la cifra de las unidades, el resultado es un múltiplo de 7 (eso incluye al 0 también).

Si no sabemos si el número obtenido es múltiplo de 7, podemos repetir el proceso con dicho número.

Por ejemplo:

¿Es divisible 161 entre 7?

Restamos al número sin la cifra de las unidades (16) el doble de la cifra de las unidades (2·1):

16-2·1=14

Como 14 es múltiplo de 7 (14=7·2), podemos concluir que 161 es divisible entre 7.

¿Es divisible 5215 entre 7?

Restamos al número sin la cifra de las unidades (521) el doble de la cifra de las unidades (2·5):

521-2·5=521-10=511

Como no tenemos claro si 511 es múltiplo de 7 (es lo mismo que decir que sea divisible entre 7), repetimos el procedimiento, ahora con 511:

51-2·1=51-2=49

Como 49 es múltiplo de 7 (49=7·7), podemos concluir que 5215 es divisible entre 7.

Espero que así haya quedado más claro este criterio de divisibilidad.

Antes de seguir, dejo aquí una curiosidad matemática que consiste en averiguar si un número es divisible entre 7 utilizando un grafo:

¿Es divisible entre 7? Lo vemos con un grafo


Criterio de divisibilidad del 8

Un número es divisible entre 8 si el número formado por las tres últimas cifras es un múltiplo de 8 o termina en tres ceros.

En definitiva, este criterio de divisibivilidad del 8 nos permite simplificar la comprobación a realizar cuando el número es mayor de tres cifras.

La pregunta ahora es: ¿cómo sabemos si ese número de tres cifras es múltiplo de 8? ¿O, qué hacemos si el número que queremos saber si es divisible entre 8 tiene menos de tres cifras?

En ambos casos, podemos comprobar que la división de dicho número entre 8 sea exacta (con resto cero).

Pero tenemos también otra forma de hacerlo:

Si queremos saber si un número es múltiplo de 8 (es lo mismo que decir que sea divisible entre 8), lo dividimos primero entre 2 (para eso debe ser un número par) y después comprobamos que el resultado de esa división sea divisible entre 4 (el número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4 o termina en 00).

Por ejemplo:

¿Es divisible 36288 entre 8?

Para averiguarlo tenemos que comprobar si 288 lo es.

Si dividimos 288 entre 8 obtenemos de cociente 36 y con resto 0. Como la división es exacta, podemos concluir que 36288 es divisible entre 8.

Como he comentado antes, también podemos hacerlo dividiendo 288 entre 2, que es 144, y comprobando que 44 (el número formado por las dos últimas cifras) es múltiplo de 4 (44=4·11).

¿Es divisible 3000 entre 8?

Sí lo es, porque termina en tres ceros.


Criterio de divisibilidad del 9

Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 

Nota: Si el número tiene cifras que sean 9, si se quiere, no es necesario sumar dichas cifras (las cifras que son 9). De esa manera, como la suma total de cifras es menor, es más fácil ver si es múltiplo de 9.

Por ejemplo:

1845 es divisible entre 9, porque 1+8+4+5=18, y 18 es múltiplo de 9 (18=9·2).

39744 es divisible entre 3, porque 3+7+4+4=18 (el 9 no lo hemos sumado), y 18 es múltiplo de 9 (18=9·2).

5408 no es divisible entre 9, porque 5+4+0+8=17, y 17 no es múltiplo de 9.


Criterio de divisibilidad del 10

Un número es divisible entre 10 si termina en 0.

Por ejemplo:

340 es divisible entre 10, porque termina en 0.

23480 es divisible entre 10, porque termina en 0.

239 no es divisible entre 10, porque no termina en 0.


Criterio de divisibilidad del 11

Un número es divisible entre 11 cuando la suma de las cifras que ocupan una posición par menos la suma de las cifras que ocupan una posición impar es igual a un número múltiplo de 11 (eso incluye al 0 también).

Por ejemplo:

¿Es divisible 2596 entre 11?

Sumamos las cifras que ocupan posiciones impares: 2+9=11

Sumamos las cifras que ocupan posiciones pares: 5+6=11

Restamos ambos resultados: 11-11=0 , por lo tanto 2596 es divisible entre 11.

¿Es divisible 42702 entre 11?

Sumamos las cifras que ocupan posiciones impares: 4+7+2=13

Sumamos las cifras que ocupan posiciones pares: 2+0=2

Restamos ambos resultados: 13-2=11 , por lo tanto 42720 es divisible entre 11.

¿Es divisible 9634 entre 11?

Sumamos las cifras que ocupan posiciones impares: 9+3=12

Sumamos las cifras que ocupan posiciones pares: 6+4=10

Restamos ambos resultados: 12-10=2 (no es ni 0 ni un múltiplo de 11), por lo tanto 9634 no es divisible entre 11.


Criterio de divisibilidad del 12

Un número es divisible entre 12 si es divisible entre 3 y entre 4 a la vez.

Por ejemplo:

216 es divisible entre 12, porque es divisible entre 3 (2+1+6=9, que es múltiplo de 3) y entre 4 (termina en 16, que es múltiplo de 4).

1500 es divisible entre 12, porque es divisible entre 3 (1+5+0+0=6, que es múltiplo de 3) y entre 4 (termina en 00).


Criterio de divisibilidad del 13

Un número es divisible entre 13 si, al restar al número sin la cifra de las unidades la cifra de las unidades multiplicada por 9, el resultado es igual a un múltiplo de 13 (eso incluye al 0 también).

Si no sabemos si el número obtenido es múltiplo de 13, podemos repetir el proceso con dicho número.

Por ejemplo:

¿Es divisible 546 entre 13?

Restamos al número sin la cifra de las unidades (54) la cifra de las unidades multiplicada por 9 (6·9):

54-6·9=54-54=0 , por lo tanto 546 es divisible entre 13.

¿Es divisible 3835 entre 13?

Restamos al número sin la cifra de las unidades (383) la cifra de las unidades multiplicada por 9 (5·9):

383-5·9=383-45=338

Como no tenemos claro si 338 es múltiplo de 13 (es lo mismo que decir que sea divisible entre 13), repetimos el procedimiento, ahora con 338:

33-8·9=33-72=-39

Como -39 es múltiplo entero de 13 (-39=13·(-3)), podemos concluir que 3835 es divisible entre 13.


Criterio de divisibilidad del 14

Un número es divisible entre 14 si es divisible entre 2 y entre 7 a la vez, es decir, cuando es par y divisible entre 7.

Por ejemplo:

¿Es divisible 322 entre 14?

322 es divisible entre 2, ya que es un número par, así que solo nos queda comprobar que sea divisible entre 7.

Restamos al número sin la cifra de las unidades (32) el doble de la cifra de las unidades (2·2):

32-2·2=32-4=28

Como 28 es múltiplo de 7 (28=7·4), podemos concluir que 322 es divisible entre 7 y, como hemos visto que también era divisible entre 2, es divisible entre 14.


Criterio de divisibilidad del 15

Un número es divisible entre 15 si es divisible entre 3 y entre 5 a la vez.

Por ejemplo:

345 es divisible entre 15, porque es divisible entre 3 (3+4+5=12, que es múltiplo de 3) y entre 5 (termina en 5).

6540 es divisible entre 15, porque es divisible entre 3 (6+5+4+0=15, que es múltiplo de 3) y entre 5 (termina en 0).


Criterio de divisibilidad del 17

Un número es divisible entre 17 si, al restar al número sin la cifra de las unidades la cifra de las unidades multiplicada por 5, el resultado es igual a un múltiplo de 17 (eso incluye al 0 también).

Si no sabemos si el número obtenido es múltiplo de 17, podemos repetir el proceso con dicho número.

¿Es divisible 204 entre 17?

Restamos al número sin la cifra de las unidades (20) la cifra de las unidades multiplicada por 5 (4·5):

20-4·5=20-20=0 , por lo tanto 204 es divisible entre 17.

¿Es divisible 3723 entre 17?

Restamos al número sin la cifra de las unidades (372) la cifra de las unidades multiplicada por 5 (3·5):

372-3·5=372-15=357

Como no tenemos claro si 357 es múltiplo de 17 (es lo mismo que decir que sea divisible entre 17), repetimos el procedimiento, ahora con 357:

35-7·5=35-35=0 , por lo tanto 3723 es divisible entre 17.


Criterio de divisibilidad del 18

Un número es divisible entre 18 si es divisible entre 2 y entre 9 a la vez, es decir, cuando es par y divisible entre 9.

Por ejemplo:

¿Es divisible 414 entre 18?

414 es divisible entre 2, ya que es un número par, así que solo nos queda comprobar que sea divisible entre 9.

Para eso, sumamos sus cifras y comprobamos que salga un múltiplo de 9:

4+1+4=9

Por lo tanto, 414 es divisible entre 18.

¿Es divisible 10816 entre 18?

10816 es divisible entre 2, ya que es un número par, así que solo nos queda comprobar que sea divisible entre 9.

Para eso, sumamos sus cifras y comprobamos que salga un múltiplo de 9:

1+0+8+1+6=18 , que es múltiplo de 9 (18=9·2).

Por lo tanto, 10816 es divisible entre 18.


Criterio de divisibilidad del 19

Un número es divisible entre 19 si, al sumar al número sin la cifra de las unidades el doble de la cifra de las unidades, el resultado es un múltiplo de 19.

Si no sabemos si el número obtenido es múltiplo de 19, podemos repetir el proceso con dicho número.

Por ejemplo:

¿Es divisible 342 entre 19?

Sumamos al número sin la cifra de las unidades (34) el doble de la cifra de las unidades (2·2):

34+2·2=34+4=38

Como 38 es múltiplo de 19 (38=19·2), podemos concluir que 342 es divisible entre 19.

¿Es divisible 4047 entre 19?

Sumamos al número sin la cifra de las unidades (404) el doble de la cifra de las unidades (2·7):

404+2·7=404+14=418

Como no tenemos claro si 418 es múltiplo de 19 (es lo mismo que decir que sea divisible entre 19), repetimos el procedimiento, ahora con 418:

41+2·8=41+16=57

Como 57 es múltiplo de 19 (57=19·3), podemos concluir que 4047 es divisible entre 19.


Criterio de divisibilidad del 20

Un número es divisible entre 20 si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 20. Cualquier número par que tenga uno o más ceros a la derecha, es múltiplo de 20.

Por ejemplo:

26540 es divisible entre 20 porque termina en 40, que es múltiplo de 20 (40=20·2).

4560 es divisible entre 20 porque termina en 60, que es múltiplo de 20 (60=20·3).

300 es divisible entre 20 porque termina en 00.


Criterio de divisibilidad del 25

Un número es divisible entre 25 si sus dos últimas cifras son 00, o un múltiplo de 25 (25, 50 ó 75).

Por ejemplo:

750 es divisible entre 25 porque termina en 50, que es múltiplo de 25 (50=25·2).

2375 es divisible entre 25 porque termina en 75, que es múltiplo de 25 (75=25·3).

600 es divisible entre 25 porque termina en 00.


Criterio de divisibilidad del 29

Un número es divisible entre 29 si, al sumar al número sin la cifra de las unidades el triple de la cifra de las unidades, el resultado es un múltiplo de 29.

Si no sabemos si el número obtenido es múltiplo de 29, podemos repetir el proceso con dicho número.

Por ejemplo:

¿Es divisible 522 entre 19?

Sumamos al número sin la cifra de las unidades (52) el triple de la cifra de las unidades (3·2):

52+3·2=52+6=58

Como 58 es múltiplo de 29 (58=19·2), podemos concluir que 522 es divisible entre 29.

¿Es divisible 6177 entre 29?

Sumamos al número sin la cifra de las unidades (617) el triple de la cifra de las unidades (3·7):

617+3·7=617+21=638

Como no tenemos claro si 638 es múltiplo de 29 (es lo mismo que decir que sea divisible entre 29), repetimos el procedimiento, ahora con 638:

63+3·8=63+24=87

Como 87 es múltiplo de 29 (87=29·3), podemos concluir que 6177 es divisible entre 29.


Criterio de divisibilidad del 31

Un número es divisible entre 31 si, al restar al número sin la cifra de las unidades el triple de la cifra de las unidades, el resultado es igual a un múltiplo de 31 (eso incluye al 0 también).

Si no sabemos si el número obtenido es múltiplo de 31, podemos repetir el proceso con dicho número.

Por ejemplo:

¿Es divisible 713 entre 31?

Restamos al número sin la cifra de las unidades (71) el triple de la cifra de las unidades (3·3):

71-3·3=62

Como 62 es múltiplo de 31 (62=31·2), podemos concluir que 713 es divisible entre 31.

¿Es divisible 2294 entre 31?

Restamos al número sin la cifra de las unidades (229) el triple de la cifra de las unidades (3·4):

229-3·4=229-12=217

Como no tenemos claro si 217 es múltiplo de 31 (es lo mismo que decir que sea divisible entre 31), repetimos el procedimiento, ahora con 217:

21-3·7=21-21=0 , por lo tanto 2294 es divisible entre 31.


Criterio de divisibilidad del 100

Un número es divisible entre 100 si termina en 00.

Por ejemplo:

300 es divisible entre 100, porque termina en 00.

5600 es divisible entre 100, porque termina en 00.

2390 no es divisible entre 100, porque no termina en 00.


Criterio de divisibilidad del 125

Un número es divisible entre 125 si sus tres últimas cifras son 000 o un múltiplo de 125.

Por ejemplo:

7000 es divisible entre 125 porque termina en 000.

2250 es divisible entre 125 porque termina en 250, que es múltiplo de 125 (250=125·2).

6375 es divisible entre 125 porque termina en 375, que es múltiplo de 125 (375=125·3).


Un par de propiedades muy útiles

Si un número no es divisible entre otro, tampoco lo será entres sus múltiplos.

Por ejemplo, si un número no es divisible entre 2, tampoco lo es entre 4, 6, 8, 10, 12… ; Si un número no es divisible entre 3, tampoco lo es entre 6, 9, 12, 15…; Si un número no es divisible entre 5, tampoco lo es entre 10, 15, 20, 25…

Esta propiedad es muy útil para descartar divisores de un número y evitar realizar comprobaciones innecesarias, no la olvidéis.

Un número es divisible entre otro si lo es por todos sus divisores.

Esta propiedad la comenté con anterioridad, y la hemos utilizado, por ejemplo, en el criterio de divisibilidad del 6 (un número es divisible entre 6 si lo es entre 2 y entre 3, ya que 6=2·3), en el criterio de divisibilidad del 14 (un número es divisible entre 14 si lo es entre 2 y entre 7, ya que 14=2·7), o en el criterio de divisibilidad del 15 (un número es divisible entre 15 si lo es entre 3 y entre 5, ya que 15=3·5).


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1 comentario en “Criterios de divisibilidad”

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