SOLUCIÓN del RETO 1: ¿Cuál es el valor de la última piedra?

El RETO 1 que propuse era el siguiente:

Se trata de encontrar la lógica (única) que sigue la sucesión de números de las piedras y así poder obtener el valor de la última piedra.

En una sucesión, se llama término general de la sucesión al término que ocupa un lugar cualquiera, n, de la misma, y se escribe an.

Dicho término general suele venir definido por una expresión algebraica que nos permite calcular cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar que ocupa, n, o a partir de otro u otros términos anteriores de la sucesión (sucesiones recurrentes).

Pues bien, en este RETO 1, podemos plantear el término general de la sucesión de varias formas. Si nos vamos a las más sencillas obtendremos una misma solución que ahora veremos. Aunque si recurrimos a términos generales de mayor grado, y es algo que se puede hacer fijando el valor de la sexta piedra y buscando el polinomio interpolador de los datos que tenemos, podríamos llegar o otras soluciones diferentes. Pero no se trata aquí de hacer eso, sino de buscar soluciones obtenidas a partir de razonamientos simples.

Una primera posibilidad, probablemente la más fácil de ver, es plantearlo como una sucesión recurrente, en la que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el término anterior por 2 y restando después 1, y estando fijado ya el primer término, a1, con el valor de 2.

an = 2·an-1 – 1

Obteniendo como resultado para la última piedra 33.

NOTA: Es equivalente a plantear que cada término de la sucesión se obtiene sumando el término anterior el término anterior menos 1:

an = an-1 + an-1 – 1

También podemos definir el término general de la sucesión sin ser una sucesión recurrente, tan solo en función de la posición n del término, de la siguiente manera:

an = 2n-1 + 1

Obteniendo también como solución del reto el valor de 33.

Incluso se puede plantear como una sucesión recurrente en la que en el término general de la sucesión intervengan tanto el término anterior como la posición, y estando fijado ya el primer término, a1, con el valor de 2:

an = an-1 +2n-2

Y se obtiene también como solución final 33.

Como había comentado anteriormente, se podría llegar a otra solución diferente utilizando términos generales de mayor grado, fijando el valor de la sexta piedra y buscando el polinomio interpolador de los datos que tenemos, pero nos vamos a quedar con esta solución que hemos visto, y que necesitaremos para poder resolver el RETO 2.


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6 comentarios en «SOLUCIÓN del RETO 1: ¿Cuál es el valor de la última piedra?»

    • Efectivamente. De hecho, operando en el término general que indicas se llega al de la segunda opción que he puesto yo.

      aₙ = 2ⁿ – (2ⁿ⁻¹ – 1) = 2ⁿ – 2ⁿ⁻¹ + 1 =
      = 2ⁿ – 2ⁿ•2⁻¹ + 1 = 2ⁿ•(1 – 2⁻¹) + 1 =
      = 2ⁿ•(1 – 1/2) + 1 = 2ⁿ•1/2 + 1 =
      = 2ⁿ/2 + 1 = 2ⁿ⁻¹ + 1 = aₙ

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  1. No es necesario una función iterativa… Para calcular el valor de la piedra n=100 se necesita hacer cientos de cálculos… Es mas fácil a(n)= 1 + 2 ^ (n – 1) aunque quizás menos evidente.

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