Solución de «Día Mundial del emoji Math»

El reto que propuse por el Día Mundial del emoji era el siguiente:

Tengo que reconocer que se me fue «un poco» de las manos y era bastante complicado de resolver, ya que hay 8 incógnitas o emojis diferentes que desconocemos su valor y que hay que calcular:

Para poder calcularlos daba 8 ecuaciones, 4 de ellas se obtenían leyendo la imagen en horizontal, y las otras 4 en vertical:

En las tres ecuaciones que tenían un emoji en el segundo miembro lo he pasado ya directamente al primero.

Una vez que hayamos calculado los valores de cada emoji, tenemos que resolver la operación combinada que aparece en la diagonal para obtener la solución final del reto:

Para hacerlo más sencillo vamos a nombrar cada emoji:

Sustituyendo cada emoji y ordenándolo todo, tenemos así un sistema de 8 ecuaciones con 8 incógnitas:

Y ésta es la parte más complicada del reto, resolver el sistema de ecuaciones.

Para hacerlo voy a utilizar el método de eliminación de Gauss-Jordan, llamado así en honor de Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan.

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente
de forma que éste sea escalonado (en un sistema de ecuaciones escalonado cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior). En el método de Gauss-Jordan se continua el proceso de eliminación de términos hasta obtener un sistema de ecuaciones equivalente en el que cada ecuación nos da directamente el valor de cada incógnita.

Para ello utilizamos los criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones, que establecen que:

1.- Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2- Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

3- Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

4- Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5- Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

Para facilitar el cálculo se transforma el sistema en una matriz, en la que se ponen
los coeficientes de las variables y los términos independientes separados por una linea vertical. Es lo que se conoce como matriz ampliada del sistema:

Vamos a comenzar ahora con el proceso de obtener la matriz escalonada reducida, que aviso va a ser largo.

Primero intentamos hacer 0 todos los elementos de la primera columna, menos el de la primera fila que queremos que sea un 1. Restamos a la segunda fila la primera fila:

Ahora a la quinta fila le restamos la primera.

A la octava fila le restamos la primera fila.

Ya tenemos la primera columna con un 1 en la primera fila y el resto ceros. Tomamos ahora como referencia el elemento de la segunda columna y segunda fila, el -2, y multiplicamos dicha fila por el inverso de ese elemento para transformarlo en un 1.

Ahora intentamos hacer cero todos los elementos de la segunda columna que están por debajo del que hemos tomado como referencia. Empezamos restando a la cuarta fila la segunda.

A la quinta fila le sumamos la segunda fila.

A la sexta fila le restamos la segunda fila multiplicada por 2.

Y a la octava fila le sumamos la segunda multiplicada por 2.

Ya tenemos la segunda columna con un 1 en la segunda fila y el resto de elementos de debajo ceros. Tomamos ahora como referencia el elemento de la tercera columna y tercera fila, el 1, y hacemos cero todos los elementos de la tercera columna que están por debajo del que hemos tomado como referencia.

Empezamos restando a la cuarta fila la tercera fila multiplicada por 1/2.

A la quinta fila le restamos la tercera fila multiplicada por 3/2.

A la sexta fila le restamos la tercera fila.

A la séptima fila le restamos la tercera fila.

Y a la octava fila le sumamos la tercera fila.

Ya tenemos la tercera columna con un 1 en la tercera fila y el resto ceros. Tomamos ahora como referencia el elemento de la cuarta columna y cuarta fila, el -1, y multiplicamos dicha fila por el inverso de ese elemento para transformarlo en un 1.

Ahora hacemos cero todos los elementos de la cuarta columna que están por debajo del que hemos tomado como referencia. Empezamos sumando a la quinta fila la cuarta fila multiplicada por 2.

A la sexta fila le sumamos la cuarta fila.

A la séptima fila le sumamos la cuarta fila.

Y a la octava fila le restamos la cuarta fila multiplicada por 2.

Tenemos ya la cuarta columna con un 1 en la cuarta fila y el resto ceros. Tomamos ahora como referencia el elemento de la quinta columna y quinta fila, el 6, y multiplicamos dicha fila por el inverso de ese elemento (1/6) para transformarlo en un 1.

Ahora hacemos cero todos los elementos de la quinta columna que están por debajo del que hemos tomado como referencia. Empezamos restando a la sexta fila la quinta fila multiplicada por 3/2.

A la séptima fila le sumamos la quinta fila multiplicada por 3/2.

A la octava fila le sumamos la quinta fila multiplicada por 9/2.

Tenemos ya la quinta columna con un 1 en la quinta fila y el resto ceros. Tomamos ahora como referencia el elemento de la sexta columna y sexta fila, el 2, y multiplicamos dicha fila por el inverso de ese elemento (1/2) para transformarlo en un 1.

Ahora hacemos cero todos los elementos de la sexta columna que están por debajo del que hemos tomado como referencia. Empezamos sumando a la séptima fila la sexta fila.

Y a la octava fila le sumamos la sexta fila multiplicada por 2.

 

Intercambiamos la séptima y la octava fila para simplificar las operaciones.

Tenemos ya la sexta columna con un 1 en la sexta fila y el resto ceros. Tomamos ahora como referencia el elemento de la séptima columna y séptima fila, el -1, y multiplicamos dicha fila por el inverso de ese elemento (-1) para transformarlo en un 1.

Hacemos cero el elemento de la séptima columna que está por debajo del que hemos tomado como referencia, y para ello sumamos a la octava fila la séptima fila multiplicada por 3/2.

Y ahora multiplicamos la octava y última fila por el inverso de 49/8 (8/49) para transformarlo en un 1.

Ya tendríamos la matriz escalonada, pero vamos a continuar haciendo ceros los elementos que están por encima de los 1 para llegar a la matriz escalonada reducida.

Tomamos como referencia ahora el elemento de la octava fila y octava columna, y hacemos cero todos los elementos de la octava columna que están por encima de él. Restamos a la séptima fila la octava fila multiplicada por 9/2.

Sumamos a la sexta fila la octava fila multiplicada por 3/8.

A la quinta fila le restamos la octava fila multiplicada por 1/6.

A la cuarta fila le sumamos la octava fila multiplicada por 3/2.

A la segunda fila le sumamos la octava fila multiplicada por 1/2.

Tenemos ya la octava columna con un 1 en la octava fila y el resto ceros. Tomamos ahora como referencia el 1 de la séptima columna y séptima fila, y hacemos cero todos los elementos de la séptima columna que están por encima de él.

Sumamos a la sexta fila la séptima fila multiplicada por 3/2.

Restamos a la quinta fila la séptima fila multiplicada por 1/3.

Restamos a la cuarta fila la séptima fila multiplicada por 3/2.

Restamos a la tercera fila la séptima fila multiplicada por 2.

Restamos a la segunda fila la séptima fila multiplicada por 1/2.

Tenemos ya la séptima columna con un 1 en la séptima fila y el resto ceros. Tomamos ahora como referencia el 1 de la sexta columna y sexta fila, y hacemos cero todos los elementos de la sexta columna que están por encima de él.

Sumamos a la quinta fila la sexta fila multiplicada por 1/3.

Restamos a la cuarta fila la sexta fila multiplicada por 1/2.

Sumamos a la segunda fila la sexta fila multiplicada por 1/2.

Tenemos ya la sexta columna con un 1 en la sexta fila y el resto ceros. Tomamos ahora como referencia el 1 de la quinta columna y quinta fila, y hacemos cero todos los elementos de la quinta columna que están por encima de él.

Sumamos a la cuarta fila la quinta fila multiplicada por 7/2.

Sumamos a la tercera fila la quinta fila.

Sumamos a la segunda fila la quinta fila.

Y a la primera fila le sumamos la quinta fila multiplicada por 2.

Tenemos ya la quinta columna con un 1 en la quinta fila y el resto ceros. Tomamos ahora como referencia el 1 de la cuarta columna y cuarta fila, y hacemos cero todos los elementos de la cuarta columna que están por encima de él.

Restamos a la tercera fila la cuarta fila.

Restamos a la segunda fila la cuarta fila multiplicada por 1/2.

Y restamos a la primera fila la cuarta fila.

Tenemos ya la cuarta columna con un 1 en la cuarta fila y el resto ceros. Tomamos ahora como referencia el 1 de la tercera columna y tercera fila, y hacemos cero todos los elementos de la tercera columna que están por encima de él.

Sumamos a la segunda fila la tercera fila multiplicada por 1/2.

Sumamos a la primera fila la tercera fila.

Tenemos ya la tercera columna con un 1 en la tercera fila y el resto ceros. Tomamos ahora como referencia el 1 de la segunda columna y segunda fila, y hacemos cero el elemento de la segunda columna que está por encima de él.

Restamos a la primera fila la segunda fila multiplicada por 2.

Y ahora ya sí, tenemos la matriz escalonada reducida del sistema.

El sistema de ecuaciones que nos queda, equivalente al inicial, es:

en el que, como comenté al inicio, cada ecuación nos da directamente el valor de cada incógnita.

Tenemos así ya el valor de cada emoji:

Y sustituyendo cada emoji por su valor en la operación combinada que aparece en la diagonal de la imagen inicial del reto, obtenemos que la solución final es:

La solución del reto era, por tanto, 1.


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2 comentarios en “Solución de «Día Mundial del emoji Math»”

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