Simplificar fracciones algebraicas

Empecemos por ver qué es una fracción algebraica. Es una fracción en la que el numerador y el denominador son polinomios.

Por ejemplo, la siguiente fracción sería una fracción algebraica:

Simplificar una fracción algebraica es encontrar otra fracción algebraica equivalente a ella más sencilla. Que sea más sencilla quiere decir que los polinomios del numerador y del denominador tengan menor grado.

Los pasos que vamos a seguir para simplificar una fracción algebraica son muy sencillos.

Primero factorizaremos tanto el numerador como el denominador, y después simplificaremos aquellos factores que se estén en el numerador y en denominador a la vez.

Por último, si queda alguna operación de multiplicación por hacer entre factores la haremos.

En el siguiente vídeo vamos a aprender a simplificar fracciones algebraicas. Resolveremos dos ejercicios y lo haremos paso a paso explicándolo todo con detalle.

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El pájaro enfadado y la suma al cuadrado

Nuestro pájaro está enfadado porque ve que algunos no hacen bien la identidad notable (producto notable) de la suma al cuadrado.

Para calcular bien ésta y otras identidades notables, mejor vernos bien la publicación del blog sobre las identidades notables.

Y, para evitarnos problemas en los exámenes, hagamos caso a nuestro pájaro y a Euclides, que ya lo dijo por el 300 a. C… hace ya unos añitos. Y no sólo hizo eso, sino que dio una demostración, y gráfica, como no podía ser de otra manera.

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Factorizar polinomios

Pensemos en qué consiste descomponer un número en factores primos. Es descomponerlo en el producto de factores que son números primos.

Por ejemplo, la descomposición en factores primos de 12 sería:

12 = 22 · 3

Pues factorizar un polinomio sería algo parecido, pero con polinomios. Es decir, factorizar un polinomio es descomponerlo en el producto de dos o más polinomios del menor grado posible.

Un ejemplo sería éste:

P(x) = x4 – 3x3 – 13x2 + 15x · (x – 1) · (x + 3) · (x – 5)

Para factorizar un polinomio se pueden utilizar distintas herramientas: Extraer factor común, utilizar identidades notables, la Regla de Ruffini, resolver ecuaciones de segundo grado, y siempre podemos obtener factores a partir de las raíces del polinomio.

En el siguiente vídeo vamos a aprender a factorizar polinomios. Veremos primero en qué consiste en sí la factorización y cómo podemos obtener factores del polinomio a partir de sus raíces. Después expondremos las distintas herramientas que tenemos para realizar la factorización de un polinomio, y resolveremos tres casos diferentes, muy interesantes, que nos ayudarán a aprender perfectamente a factorizar polinomios.

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Math Halloween 4

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Raíces o ceros de un polinomio

Las raíces de un polinomio P(x), también conocidas como ceros del polinomio, son los valores de x que hacen que el valor numérico del polinomio sea igual a cero, es decir, las soluciones de la ecuación P(x) = 0.

Calcular las raíces de un polinomio P(x) equivale, por lo tanto, a resolver la ecuación P(x) = 0.

Así, por ejemplo, las raíces del polinomio P(x) = 2x3 + 8x2 – 2x – 8, serán las soluciones de la ecuación:

2x3 + 8x2 – 2x – 8 = 0

Por cierto, en este caso concreto, dichas raíces serían: x = 1, x = -1, x = -4.

Si se sustituye en la expresión del polinomio P(x) cada x que aparece por estos valores, es decir, se calcula el valor numérico del polinomio para x = 1, x = -1, x = -4, se obtiene como resultado cero.

En los dos siguientes vídeos vamos a ver cómo se calculan las raíces de polinomios. Al mismo tiempo estaremos aprendiendo a resolver ecuaciones de grado mayor que 2.

Veremos primero una serie de cosas importantes a tener en cuenta a la hora de intentar calcular las raíces de un polinomio, y también las distintas herramientas matemáticas con las que contamos para hacerlo: Extraer factor común, Regla de Ruffini, Teorema del resto y del factor, resolver ecuaciones de segundo grado

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Miedo a las multiplicaciones

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Logaritmos con emojis

¿Recuerdas la publicación del blog sobre los logaritmos?

En uno de los vídeos del Canal de Youtube de MatematicasCercanas que aparecían en esa publicación hablábamos de las propiedades de los logaritmos.

Pues aquí te traigo las propiedades de los logaritmos que vimos… ¡Utilizando emojis!

Y si quieres puedes desayunar todas las mañanas con esta taza, ya que si pinchas en la imagen la puedes ver en La Tienda de MatematicasCercanas.

Si eres estudiante seguro que no se te van a olvidar ya.

Pero igual lo que te gustaría es llevarlas puestas.

Si eres profesor, para ayudar a tus alumnos (te aseguro, por experiencia propia, que eso de que el profesor lo lleve en una camiseta les llama mucho la atención y se fijan más).

Si eres alumno, para ser tú mismo una chuleta y recordar las propiedades de los logaritmos cada vez que te mires en un espejo.

¿Qué cómo es eso de llevarlas puestas?

Pues en una camiseta o sudadera…

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Logaritmos

Los logaritmos se utilizan, entre otras muchas cosas, para determinar la antigüedad de restos vegetales y animales cuando se utiliza el método del carbono 14.

Se utilizan también en psicología en la ley de Weber-Fechner.

Se utilizan en la escala de Richter para reflejar la energía que se desprende en un terremoto. La intensidad de un sismo se calcula en concreto utilizando logaritmos neperianos.

En Estadística se suelen aplicar en el crecimiento de la población, cuando la población crece muy rápidamente (exponencialmente).

También se utilizan en el experimento psicológico de Stenbeg.

Tienen también aplicaciones en la Música, en Topología, en Química por ejemplo para medir el pH de un producto.

En Astronomía los logaritmos son muy usuales, y se utilizan para poder medir el brillo y la magnitud de las estrellas.

En definitiva, todo lo que sean números grandes, se maneja mejor aplicando logaritmos. Pero…

¿Qué es un logaritmo?

Sea a un número positivo y distinto de 1, el logaritmo en base a de un número positivo N (argumento) es el exponente al que hay que elevar dicha base a para obtener N.

loga = ⇔  abN

Así, por ejemplo, el log2 8 es 3, ya que 2 hay que elevarlo a 3 para obtener 8.

log2 8 = 3  ⇔  23 = 8

Calcular un logaritmo puede ser relativamente sencillo, aunque hay también logaritmos que no existen en los números reales. En el siguiente vídeo vamos a aprender a calcular un logaritmo utilizando la definición de logaritmo, veremos bastantes ejemplos y, además, logaritmos especiales como el logaritmo decimal y el logaritmo neperiano. Aprenderemos y deduciremos también los casos en los que no existe logaritmo.

En el vídeo anterior hemos aprendido a calcular logaritmos a partir de la definición de logaritmo, siendo la X, lo que queremos calcular, el valor del logaritmo. Sin embargo en ocasiones se nos pide calcular la base o el argumento del logaritmo.

Para hacerlo, utilizamos también la definición de logaritmo. En el siguiente vídeo vamos a aprender a hacerlo, y con bastantes ejemplos diferentes.

Los logaritmos tienen una serie de propiedades que, lógicamente, viendo la propia definición de logaritmo, están basadas en las propiedades de las potencias.

Utilizando las propiedades de los logaritmos podemos, por ejemplo, facilitar cálculos ya que se rebaja en un escalón la dificultad de las operaciones, transformando potencias en productos, y productos y cocientes en sumas y restas, respectivamente. De ahí su utilidad.

Aplicando las propiedades de las potencias, también podemos calcular un logaritmo a partir de otros logaritmos de valor conocido.

Y podemos también transformar sumas y restas de logaritmos en un único logaritmo. Esto es precisamente lo que utilizaremos para resolver ecuaciones logarítmicas.

En el siguiente vídeo, vamos a aprender las propiedades de los logaritmos, y vamos a resolver dos tipos de ejercicios diferentes utilizando dichas propiedades.

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Racionalización de fracciones

Cuando trabajamos con fracciones, en determinadas operaciones como la suma o resta de fracciones con distinto denominador, nos interesa que los denominadores sean números naturales, ya que de lo contrario nos resulta complicado hacer cosas como reducir las fracciones a mínimo común denominador.

En ocasiones las fracciones que tenemos contienen radicales en su denominador, y necesitamos eliminarlos.

Racionalizar una fracción consiste precisamente en eso, en realizar operaciones sobre la fracción original de manera que se obtengan fracciones equivalentes en las que ya no haya radicales en el denominador.

Para racionalizar una fracción utilizaremos básicamente dos procedimientos, dependiendo de si en el denominador hay solo un radical o si se trata de una suma o una resta (binomio) con radicales.

En los dos siguientes vídeos vamos a aprender a racionalizar fracciones en cada una de esas dos situaciones. Lo veremos paso a paso, explicando primero en qué nos vamos a basar para hacerlo, y resolveremos varios ejemplos con algunas diferencias entre ellos.

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Operaciones combinadas con potencias de base una fracción

Seguimos con los ejercicios de operaciones combinadas con potencias, y en esta ocasión vamos a aprender a resolver ejercicios de operaciones combinadas en los que aparecen potencias cuya base es una fracción.

Además, aparecerán también potencias de base una fracción y con exponente negativo.

Os voy a explicar cómo se debe resolver este tipo de ejercicios y lo vamos a ver paso a paso en los dos siguientes vídeos.

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