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Criterios de divisibilidad

En esta entrada vamos a hablar primero del concepto de divisibilidad, es decir, qué quiere decir que un número sea divisible entre otro, y después vamos a ir viendo los distintos criterios o reglas de divisibilidad que podemos utilizar para saber si un número es divisible entre otro.

Como son muchos los criterios de divisibilidad que os voy a enseñar aquí, bastantes más de los que suelen aparecer en los libros de texto y otras páginas web, podéis acceder directamente al que os interese seleccionándolo en el siguiente índice de contenidos:

Concepto de divisibilidad.

Criterio de divisibilidad del 1.

Criterio de divisibilidad del 2.

Criterio de divisibilidad del 3.

Criterio de divisibilidad del 4.

Criterio de divisibilidad del 5.

Criterio de divisibilidad del 6.

Criterio de divisibilidad del 7.

Criterio de divisibilidad del 8.

Criterio de divisibilidad del 9.

Criterio de divisibilidad del 10.

Criterio de divisibilidad del 11.

Criterio de divisibilidad del 12.

Criterio de divisibilidad del 13.

Criterio de divisibilidad del 14.

Criterio de divisibilidad del 15.

Criterio de divisibilidad del 17.

Criterio de divisibilidad del 18.

Criterio de divisibilidad del 19.

Criterio de divisibilidad del 20.

Criterio de divisibilidad del 25.

Criterio de divisibilidad del 29.

Criterio de divisibilidad del 31.

Criterio de divisibilidad del 100.

Criterio de divisibilidad del 125.

Un par de propiedades muy útiles.



Divisibilidad

Que un número sea divisible entre otro quiere decir, en un lenguaje sencillo, que al dividir (división euclídea) el primero entre el segundo se obtiene de resto cero, es decir, que la división es exacta (sin decimales).

Expresado en un lenguaje más formal:

Un número entero b es divisible entre otro entero a (no nulo) si existe un entero c tal que:

b = a ⋅ c

Esto es equivalente a decir que el resto de la división euclídea es cero o simbólicamente que:

b − a ⋅ c = 0

Se suele expresar de la forma a ∣ b , que se lee: «a divide a b«, o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a«.

Por ejemplo, 12 es divisible entre 3, ya que 12 = 3·4; pero 12 no es divisible entre 5, pues no existe un entero c tal que 12 = 5·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 12 entre 5 no es cero.

Imaginemos, por ejemplo, que tenemos una pizza de 8 porciones.

Si somos 4 comensales, se trata de ver si tocamos a un número entero de porciones cada persona y que no sobre ninguna porción (que 8 sea divisible entre 4) o si, por el contrario, sobra alguna o algunas de las porciones y hay que partirla o partirlas en trozos más pequeños para que todos comamos lo mismo y no quede nada (que 8 no sea divisible entre 4).

En el caso de 8 porciones de pizza y 4 comensales, cada comensal tocaría a 2 porciones, y no sobraría ninguna. Si dividimos 8 entre 4 obtenemos de cociente 2 y de resto 0. Es decir, 8 es divisible entre 4.

8 porciones de pizza repartidas entre 4 comensales. Tocan a 2 porciones y no sobra ninguna.

Si tuviésemos 8 porciones de pizza y 3 comensales, para saber si cada comensal toca a un número de porciones exacto sin que sobre ninguna, tendríamos que ver si 8 es divisible entre 3.

En este caso la división no saldría exacta, por lo que 8 no sería divisible entre 3. Traducido a nuestras porciones de pizza, cada comensal tocaría a 2 porciones enteras (el cociente de la división de 8 entre 3), pero sobrarían otras dos porciones (el resto de la división de 8 entre 3) que habría que partirlas en trozos menores para poder repartirlas a partes iguales entre los 3 comensales.

8 porciones de pizza repartidas entre 3 comensales. Tocan a 2 porciones y sobran otras 2 porciones.

Nota: se puede decir tanto «divisible entre» como «divisible por». Lo encontraréis expresado de ambas formas en muchos sitios

Ver si un número es divisible entre otro cuando los números son pequeños es relativamente sencillo. Sin embargo, cuando tenemos números más grandes resulta algo más complicado.

Para facilitar esta labor surgen los criterios o reglas de divisibilidad.


Criterios o reglas de divisibilidad

Los criterios o reglas de divisibilidad son unas «reglas» que empleamos para saber si un número es divisible entre otro sin necesidad de tener que realizar la división.

Son de gran utilidad ya que, por ejemplo, nos ayudan a encontrar con facilidad los divisores de un número, nos sirven especialmente cuando tenemos que descomponer números en factores primos, o para saber si un número es primo o compuesto, para simplificar fracciones, etc.

A continuación vamos a ir viendo los criterios de divisibilidad más utilizados, y otros que probablemente no encontraréis un los libros de texto.

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Solución del problema «Serie de dados IX»

Éste es el problema que propuse:

Problema "Serie de dados IX"

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Serie de dados IX

Problema "Serie de dados IX"

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Jugando con números XXX – El 5882353

El número 5882353

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Dividir entre cero…

En más de una ocasión habrás oído, o tu profesora o profesor de matemáticas te habrá dicho, que «no se puede dividir entre cero» (como desea Aladdín poder hacer en la viñeta anterior), pero también habrás escuchado que «un número dividido entre cero da infinito«.

¿Entonces?

¿En qué quedamos?

¿Se puede o no se puede?

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¿Cómo saber si un triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo a partir de sus lados?

Vamos a ver un ejemplo.

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La Espiral de Teodoro

La espiral de Teodoro, también llamada caracola pitagórica, espiral pitagórica, espiral de Einstein o espiral de raíces cuadradas (será por nombres) es una espiral formada por triángulos rectángulos contiguos, atribuida a Teodoro de Cirene.

Teodoro de Cirene (465 a. C. – 398 a. C.) fue un filósofo y matemático griego nacido en Cirene, que probó la irracionalidad de las raíces de los números enteros no cuadrados (2, 3, 5, 6, 7…), al menos hasta 17, excepto la raíz cuadrada de 2 de la que ya se tenían noticias de su irracionalidad en épocas anteriores a Teodoro.

A partir de las raíces de los números enteros y del Teorema de Pitágoras es como se desarrolla la espiral que lleva su nombre.

Primeros pasos de la Espiral de Teodoro de Cirene (De Pbroks13 de Wikipedia en inglés, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4171437)

El proceso de construcción de la Espiral de Teodoro es el siguiente:

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El triángulo equilátero también es isósceles…

El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo isósceles. De hecho es un triángulo isósceles, triángulo con dos lados de igual longitud, con la particularidad de que el tercer lado también tiene la misma longitud.

En algunos sitios encontraréis definiciones «cerradas» que no permiten relacionar unos tipos de triángulos con otros (ni otros tipos de polígonos entre sí), y que especifican que el triángulo isósceles es aquél que tiene «solo» dos lados de igual longitud. Según dicha definición, el triángulo equilátero no podría ser también un triángulo isósceles.

Sin embargo, tienen mucho más sentido las definiciones «abiertas», que permiten relacionar unas figuras con otras, como casos particulares.

En el caso del triángulo equilátero, éste cumple todas las propiedades de un triángulo isósceles, como por ejemplo el hecho de que la recta de Euler, recta que une entre otros el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, también contenga al incentro, por lo que lo lógico es considerar que también es un triángulo isósceles.

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Leonhard Euler, el mayor matemático del Siglo XVIII, nació un 15 de abril

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El cuadrado también es un rectángulo…

El cuadrado es un caso particular de rectángulo, ya que cumple con la definición de rectángulo de ser un cuadrilátero (polígono de cuatro lados) cuyos ángulos son rectos (de 90°). El hecho de que sus lados sean paralelos dos a dos (es un paralelogramo) es una consecuencia.

De hecho, el cuadrado es un rectángulo con lados contiguos congruentes.

La ilusión óptica del Tablero de Adelson

La conocida como ilusión óptica del Tablero de Adelson fue creada y publicada en 1995 por el profesor de Ciencias de la Visión del MIT Edward Adelson.

Ilusión óptica del Tablero de Adelson (De derivative work: Sakurambo (talk)Grey_square_optical_illusion.PNG – Grey_square_optical_illusion.PNG, Copyrighted free use, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4443183)

Consiste en un tablero de ajedrez cuadriculado con areas claras y oscuras en donde una casilla marcada con la etiqueta A parece ser de un color más oscuro que la casilla de la etiqueta B, pero son del mismo color.

¿No crees que sean del mismo color?

En la siguiente animación se observa como las casillas A y B parten del mismo rectángulo, y a medida que se va generando un entorno diferente se va apreciando la B más clara que la A.

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Self-pi

«No creo que pueda encajar a todos…»

 

Viñeta de www.offthemark.com

Cuando resuelves una ecuación de segundo grado incompleta con la fórmula de la completa

Como se suele decir es… ¡Matar moscas a cañonazos!

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Solución del problema de los sapos y las moscas. Un ejemplo de regla de tres compuesta

El problema que propuse decía así:

Si aún no has intentado resolverlo te invito primero a que lo hagas.

Si ya lo has hecho y quieres comprobar tu respuesta, continua leyendo para ver la SOLUCIÓN.

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