El triángulo de Pascal y el binomio de Newton

En las Matemáticas hay muchas cosas y herramientas que tienen cierta magia pero, sin duda alguna, una de ellas es el conocido como triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia.

No se trata de una figura geométrica como tal, sino de un triángulo numérico.

Primeras quince filas del Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia

Su nombre se debe al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, que introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique.

El otro nombre con el que se conoce también a este triángulo se debe al matemático e ingeniero italiano Niccolo Fontana, apodado Tartaglia por su condición de tartamudo.

Si bien es cierto que las aplicaciones de este famoso triángulo ya las conocían antes los matemáticos indios (siglo XI), chinos y persas.

¿Cómo se construye el Triángulo de Pascal?

La construcción de este triángulo es muy sencilla ya que, exceptuando los números 1 que siempre están en los extremos, cada número es igual a la suma de los dos números que tiene justo encima.

Construcción del Triángulo de Pascal (fuente)

Pues resulta que este triángulo tiene muchas propiedades y que de él se desprenden un gran número de curiosidades matemáticas.

Pero no es el objeto de esta entrada hablar de todas ellas (lo dejaré para otra ocasión) sino, como dice su título, ver su relación con el binomio de Newton.

¿Qué es el binomio de Newton?

El binomio de Newton es una fórmula que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, empleando para ello los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios. La fórmula general del binomio de Newton es la siguiente:

donde

Solo recordar que n! , k! y (nk)! son factoriales.

Por ejemplo:

Pues bien, resulta que cada fila del triángulo de Pascal corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia respectiva del binomio de Newton:

Y esto es verdaderamente útil, pues es uno de los errores clásicos de álgebra que cometen los estudiantes.

Si sabes construir el triángulo de Pascal, que ya hemos visto que es bastante sencillo, te sabes las expresiones desarrolladas de las distintas potencias de un binomio.

Por cierto, en toda la entrada he estado utilizando en el binomio la suma. En el caso en que en el binomio figure un signo menos, es decir se trate de una resta, tan solo hay que alternar los signos del desarrollo de la forma – – – …

Ahora ya no hay excusa para dejarse llevar por el lado oscuro…


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2 comentarios en “El triángulo de Pascal y el binomio de Newton”

    • Lo cierto es que lo iba a hacer, pero para ello debería explicar con más detalle la combinatoria y he pensado que quizás complicase demasiado la explicación.
      Tomo nota y le daré otra vuelta para intentar introducirlo y que no quede muy espeso.
      Gracias por la sugerencia 😉.

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