Puntos y rectas notables del triángulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo.

Además, dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo que, como su propio nombre indica, tiene tres. Y, como es bien sabido, la suma de éstos es 180º.

Pues bien, sobre los triángulos hay todo un universo matemático de características, propiedades, teoremas y curiosidades. Pero no seré tan ambicioso en esta entrada (resultaría eterna) y me centraré en hablar de un grupo de rectas y puntos muy importantes, solo los más conocidos ya que hay muchos más, que se conocen como puntos y rectas notables del triángulo.

Entre las rectas notables más conocidas de un triángulo veremos las mediatrices, las medianas, las alturas y las bisectrices; Y, sobre sus puntos notables asociados: el circuncentro, el baricentro, el ortocentro y el incentro y exincentros, respectivamente.

Mediatrices y circuncentro

 Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados, es decir, las rectas que pasan por el punto medio de cada uno de sus lados y son perpendiculares a los mismos.

La mediatriz de un segmento cualquiera es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de los puntos extremos de dicho segmento. En el caso del lado de un triángulo es, por tanto, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los vértices de dicho lado.

Las tres mediatrices del triángulo (hay una por cada lado) se cortan en un punto que está, por tanto, a la misma distancia de los tres vértices del triángulo. Eso quiere decir que se puede trazar una circunferencia con centro en dicho punto y que pase por los tres vértices. A esa circunferencia se la denomina circunferencia circunscrita, y al centro de la misma en el que se cortan las tres mediatrices circuncentro.

Bisectrices, incentro y exincentros

Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos, y son perpendiculares entre sí.

La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los dos lados del ángulo.

Las tres bisectrices interiores del triángulo (hay una por cada ángulo) se cortan en un punto que está, por tanto, a la misma distancia de los tres lados del triángulo. Eso quiere decir que se puede trazar una circunferencia con centro en dicho punto y que sea tangente a los tres lados del triángulo. A esa circunferencia se la denomina circunferencia inscrita, y al centro de la misma en el que se cortan las tres bisectrices incentro.

Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren con la bisectriz interior del ángulo restante en puntos denominados exincentros, que son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo. Hay 3 exincentros, al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencias exinscritas son tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.

Medianas y baricentro

 Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por uno de sus vértices y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro centroide, G.

Se cumple que el baricentro divide a cada mediana con razón 2:1, de manera que la distancia desde el baricentro a cada vértice es el doble que la distancia al punto medio del lado opuesto.

Además, cada mediana del triángulo lo divide en dos triángulos de igual área, y las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.

También puedes observar otra cosa: uniendo los pies de las medianas (punto medio de cada lado) se obtiene un triángulo semejante al original con área 1/4 del área de éste.

En algunos países a las medianas se las llama transversales de gravedad, y esto se debe a que el baricentro coincide con el centro de gravedad del triángulo. Es decir, si cortas un triángulo, por ejemplo, en una cartulina y lo sujetas colgando de un hilo justo en su baricentro, el triángulo se mantiene en equilibrio.

Alturas y ortocentro

 Las alturas de un triángulo son las rectas que pasan por uno de sus vértices y son perpendiculares al lado opuesto de dicho vértice, o a su prolongación.

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro, H.

 

Recta de Euler

La recta de Euler de un triángulo es una recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo (hay otros puntos notables del triángulo que no hemos visto que también se encuentran en esta recta).

Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.

Se cumple que la distancia del baricentro al circuncentro es la mitad de la distancia del baricentro al ortocentro. Esta es una de tantas cosas que “molan” de las matemáticas.

 Pues bien, visto todo esto nos podemos plantear algunas preguntas:

¿Dónde se encuentran situados respecto del triángulo cada uno de los puntos notables que hemos visto cuando el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo?

¿Hay algún tipo de triángulo en el que la recta de Euler también pase por el incentro?

¿En qué tipo de triángulos coincidirán el circuncentro, el incentro, el ortocentro y el baricentro?

Podría contártelo directamente, pero mejor te propongo que lo intentes averiguar primero tú mismo con la siguiente applet de Geogebra que hice para mis alumnos.

El triángulo que aparece puedes modificarlo a tu gusto moviendo sus vértices. A la izquierda verás que aparece un cuadro de texto con todos los puntos y rectas notables que hemos visto. Pues bien, si pinchas sobre el cuadrado que está a la izquierda de cada nombre, se representará en el dibujo. Si vuelves a pinchar en el mismo cuadrado, desaparecerá otra vez. De esta manera puedes trabajar con los puntos y/o rectas notables que te interesen en cada momento sin necesidad de que estén todos visibles.

¿Lo has intentado ya?

Entonces vamos ahora sí a contestar a las preguntas que hice antes.

En un triángulo acutángulo (con sus tres ángulos agudos), el circuncentro, el incentro, el baricentro y el ortocentro se encuentran siempre en el interior del triángulo.

En un triángulo rectángulo (con un ángulo recto, de 90º), el incentro y el baricentro se encuentran en el interior del triángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto, y el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.

 En un triángulo obtusángulo (con un ángulo obtuso, mayor de 90º), el incentro y el baricentro se encuentran en el interior del triángulo, y el ortocentro y el circuncentro están en el exterior del triángulo.

La recta de Euler pasa también por el incentro en los triángulos isósceles (con dos lados y dos ángulos iguales). Da igual que sean acutángulos, rectángulos u obtusángulos.

Y, por último, el circuncentro, el incentro, el ortocentro y el baricentro coinciden en los triángulos equiláteros (con sus tres lados y sus tres ángulos iguales).

Y es lógico, ya que en este tipo de triángulos las mediatrices, bisectrices, medianas y alturas coinciden.


 

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2 comentarios en “Puntos y rectas notables del triángulo

  1. Gracias Señor Artacho me hizo recordar mis años de secundaria y verdad habia olvidado muchisimo, siga así por favor soy eco de muchisimas personas

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