Para terminar este año y celebrar la esperada llegada del nuevo año, os propongo este reto matemático:
Se trata de calcular el valor de cada objeto de año nuevo y, después, hacer las operaciones de la última fila para obtener la solución del acertijo.
¡Feliz año nuevo!
Por cierto, si queréis ver la solución completa, la tenéis en el canal de YouTube de MatematicasCercanas:
MATH HAPPY NEW YEAR… ¡El reto matemático de Feliz Año Nuevo!
¡Aquí tenéis el vídeo con la solución, paso a paso y explicada con detalle, del acertijo navideño Math Christmas 3!
Resolviendo este acertijo practicamos, casi sin darnos cuenta, las ecuaciones de primer grado, los sistemas de ecuaciones lineales, y la jerarquía de operaciones.
El RETO 5 que propuse era el siguiente:
Como se indicaba en la imagen, el valor de la caracola era la solución del RETO 4, y se trataba de hacer todas las operaciones necesarias hasta obtener el valor de la concha.
Vamos con la SOLUCIÓN.
Lo primero que vamos a hacer es sustituir la caracola por su valor
obteniendo así la siguiente expresión de partida:
Ahora podemos seguir varios caminos hasta llega a la solución final (y eso es una de las cosas maravillosas de la matemáticas), lo que quiere decir que el que yo siga no tiene porque ser el mejor ni mucho menos. Lo que sí que voy a intentar es que haya que hacer operaciones con potencias de la misma base, que era el objetivo que me había planteado con este reto.
El RETO 4 que propuse era el siguiente:
Como se indicaba en la imagen, el valor de la piedra gris era la solución del RETO 1, el valor de la piedra marrón era la solución del RETO 2, y el valor de la estrella de mar era la solución del RETO 3.
El valor de cada cuadrado de la pirámide se obtenía sumando los valores de los dos cuadrados que tenía justo debajo. Siguiendo ese criterio, se trataba de completar toda la pirámide hasta obtener el valor de la caracola.
Vamos con la SOLUCIÓN.
Lo primero que vamos a hacer es sustituir las dos piedras y la estrella de mar por sus valores
obteniendo así la siguiente pirámide de partida:
Y ahora, utilizando la condición de que el valor de cada cuadrado de la pirámide se obtiene sumando los valores de los dos cuadrados que tiene justo debajo, vamos a ir completando la pirámide.
El RETO 3 que propuse era el siguiente:
Como se indicaba en la imagen, el valor de la piedra gris era la solución del RETO 1, y el valor de la piedra marrón era la solución del RETO 2.
Se trataba de encontrar la lógica con la que se obtenía el valor de dentro de cada triángulo a partir de los valores de los vértices y, aplicando ese mismo razonamiento en el último triángulo, obtener el valor de la estrella de mar.
Vamos con la SOLUCIÓN.
El valor del centro de cada triángulo se obtiene restando al vértice inferior izquierdo el vértice inferior derecho, y después multiplicando el resultado obtenido por el vértice superior:
Si nos vamos al último triángulo, sustituimos cada piedra por su valor
El RETO 2 que propuse era el siguiente:
En el reto se indicaba que la longitud del palo inferior era el valor de la piedra gris, solución del RETO 1.
Así que, lo primero es sustituir dicha piedra por su valor, que es 33:
Como se indica en el reto, las piedras marrones y los palos forman un triángulo rectángulo, del que conocemos la longitud de su hipotenusa, 65, y la longitud de uno de sus catetos, 33, y queremos calcular la longitud del otro cateto, que vamos a llamar x, por ejemplo.
Dado que se trata de un triángulo rectángulo, podemos utilizar el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud del cateto que he llamado x:
El RETO 1 que propuse era el siguiente:
Se trata de encontrar la lógica (única) que sigue la sucesión de números de las piedras y así poder obtener el valor de la última piedra.
En una sucesión, se llama término general de la sucesión al término que ocupa un lugar cualquiera, n, de la misma, y se escribe an.
Dicho término general suele venir definido por una expresión algebraica que nos permite calcular cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar que ocupa, n, o a partir de otro u otros términos anteriores de la sucesión (sucesiones recurrentes).
Pues bien, en este RETO 1, podemos plantear el término general de la sucesión de varias formas. Si nos vamos a las más sencillas obtendremos una misma solución que ahora veremos. Aunque si recurrimos a términos generales de mayor grado, y es algo que se puede hacer fijando el valor de la sexta piedra y buscando el polinomio interpolador de los datos que tenemos, podríamos llegar o otras soluciones diferentes. Pero no se trata aquí de hacer eso, sino de buscar soluciones obtenidas a partir de razonamientos simples.
Una primera posibilidad, probablemente la más fácil de ver, es plantearlo como una sucesión recurrente, en la que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el término anterior por 2 y restando después 1, y estando fijado ya el primer término, a1, con el valor de 2.
an = 2·an-1 – 1
Obteniendo como resultado para la última piedra 33.
NOTA: Es equivalente a plantear que cada término de la sucesión se obtiene sumando el término anterior el término anterior menos 1:
an = an-1 + an-1 – 1
También podemos definir el término general de la sucesión sin ser una sucesión recurrente, tan solo en función de la posición n del término, de la siguiente manera:
El reto que propuse por el Día Mundial del emoji era el siguiente:
Tengo que reconocer que se me fue «un poco» de las manos y era bastante complicado de resolver, ya que hay 8 incógnitas o emojis diferentes que desconocemos su valor y que hay que calcular:
Para poder calcularlos daba 8 ecuaciones, 4 de ellas se obtenían leyendo la imagen en horizontal, y las otras 4 en vertical:
Hace casi 2 años, el 4 de mayo de 2018, propuse un reto de ecuaciones para celebrar el Día de Star Wars.
En todo este tiempo apenas ha habido personas que hayan dado con la solución final y, durante estos días de confinamiento por culpa del COVID-19 en los que aún estamos inmersos y en los que las visitas al blog se han multiplicado por tres (entre 30.000 y 40.000 vistas diarias), me ha preguntado mucha gente en las distintas redes sociales por cómo se puede resolver.
Tengo que reconocer que en esta ocasión, el reto me quedó bastante más complicado que los habituales, como el propio Star Maths 3 posterior, Dragon Math, Stan Lee Math, Math Halloween, y otros muchos que podéis encontrar en el blog.
Vamos, que se me fue un poco de las manos.
El problema que propuse es el siguiente:
Pues bien, sin que nadie se asuste por lo que sigue, vamos con uno de los posibles procedimientos, porque no es el único, para llegar a la SOLUCIÓN final.
¿Cuántos triángulos hay en la siguiente imagen?
Puedes combinar varias secciones…
¿Lo tienes ya?
Si quieres ver la SOLUCIÓN, sigue leyendo.
Éste es el problema que propuse:
Si aún no has intentado resolverlo te invito a que lo hagas.
Si ya lo has hecho y quieres ver la SOLUCIÓN continua…
El problema que propuse decía así:
Si aún no has intentado resolverlo te invito primero a que lo hagas.
Si ya lo has hecho y quieres comprobar tu respuesta, continua leyendo para ver la SOLUCIÓN.
Éste era el problema que propuse:
Si no lo has intentado resolver aún, te invito a que lo hagas antes de ver la solución.
¿Quieres verla ya?
Entonces continúa leyendo.
La página de La Vanguardia suele proponer cada semana un enigma.
El enigma propuesto en el día de hoy para esta semana es una secuencia numérica, en la que hay tres tipos de lógica matemática a aplicar según la forma donde se enmarcan los números: rombos, corazones y estrellas.
Tal y como se indica en la web, para entender su funcionamiento, la clave es comprender cómo se suceden los números y qué lógica se esconde detrás de cada forma.
El enigma consiste en hallar el valor de D, sabiendo que dicho valor es el resultado de A-B+C.
Te invito a que te tomes un tiempo para pensarlo antes de ver la solución e intentes resolverlo.
¿Lo tienes ya?
Pues si te parece, vamos a ver la SOLUCIÓN.
El problema que propuse era el siguiente:
¿Lo has intentado resolver ya?
Si no lo has hecho aún te invito a que lo hagas antes de ver la solución.
¿Lo tienes?
Pues vayamos con la RESOLUCIÓN.
Antes de empezar, decir que muchos habéis dado con la solución correcta, pero resulta que no es la única, ya que hay dos soluciones posibles, y la segunda muy pocas personas la han planteado.
En el problema os daba como datos 4 ecuaciones, 2 horizontales y 2 verticales, con las que se tenían que calcular los valores de cada bandera y así, poder realizar la operación que aparecía en diagonal para obtener la solución final.
Lo primero que vamos a hacer, ya que es mucho más sencillo para trabajar de forma algebraica, es asignar a cada bandera una letra que la represente:
De esta manera, las cuatro ecuaciones quedan así:
El problema que propuse decía así:
Aunque no lo diga literalmente en el enunciado del problema. se trata de buscar el número mínimo de cortes que se necesitan para partir el bizcocho de forma cilíndrica en 16 porciones iguales, ni una más ni una menos.
Y otra cosa, se trata de realizar todos los cortes directamente sobre el bizcocho sin recolocar las porciones que nos van saliendo entre corte y corte.
Si estás viendo el problema por primera vez y aún no lo habías intentado resolver, te invito a que lo hagas antes de seguir leyendo y ver la solución.
¿Quieres verla ya?
Entonces continua leyendo.
El acertijo que propuse era el siguiente:
Se trataba, por tanto, de deducir cómo se había obtenido el número que estaba en el interior de cada uno de los tres primeros triángulos a partir de los números que había en sus vértices, y así poder averiguar el número que tenía que aparecer en el cuarto y último triángulo.
Si no lo has intentado resolver aún te invito a que lo hagas.
¿Lo tienes ya?
¿Quieres ver la solución?
En ese caso sigue leyendo.
El problema o reto propuesto es el siguiente:
Antes de seguir leyendo, si aún no has intentado resolverlo te invito a que lo hagas.
Si quieres ver ya la SOLUCIÓN continúa…
Desde la más remota antigüedad, la actividad principal del matemático ha sido la resolución de problemas. Hasta hace relativamente poco tiempo no existía una denominación específica para una ciencia que se ocupe de los métodos de resolución de problemas; esta ciencia es la denominada heurística moderna.
La heurística (término proveniente del griego «heurisko»: hallar, descubrir) se consideró durante años «el arte de inventar«. Era una ciencia que tenía mucho que ver con la lógica, la psicología o la filosofía, aunque su significado ha evolucionado actualmente hacia la concepción moderna que he comentado.
Fijaos que ya he mencionado tres palabras que a mí personalmente me gustan mucho: «descubrir«, «inventar» y «lógica«, y que creo que son buena parte de la esencia de las matemáticas.
Podríamos decir que el razonamiento heurístico tiene como objetivo descubrir la solución de un problema; por lo tanto, no es definitivo y no tiene por qué ser riguroso, sino que simplemente es provisional y plausible y, por supuesto, no debe confundirse con una demostración matemática.
Pero ¿qué es un problema?
Una definición sencilla que a mí me gusta es la que dan Bransford y Stein, según los cuales «un problema es un obstáculo que separa la situación actual de una meta deseada« (1).
Pero yo no voy a adentrarme aquí en la heurística y en los distintos modelos de resolución de problemas, pues habrá personas que conozcan mucho más sobre el tema y seguro que lo pueden hacer infinitamente mejor que yo. Prefiero centrarme en algo que creo que se me da mejor, que es plantear un problema y ver cómo podemos resolverlo.
Y digo «podemos» porque me gustaría que lo hiciésemos juntos.
Sea cual sea el tipo de problema al que nos enfrentemos, sí parece claro que hay una serie de fases necesarias para resolverlo, y esto lo dejó bastante claro el matemático húngaro George Pólya en su libro «How to solve it» (2): Comprender el problema, concebir un plan o estrategia, ejecutar el plan, y examinar la solución obtenida.
Aunque estas cuatro etapas se presentan teóricamente separadas, en el proceso de resolución de un problema se mezclan unas con otras. Por ejemplo, a la vez que se va entendiendo un enunciado van surgiendo ideas que iluminan el plan de resolución, y a la vez que vamos ejecutando nuestro plan descubrimos «cosas» que nos hacen modificarlo o mejorarlo.
Y esto es lo verdaderamente interesante y lo que nos va a pasar a nosotros.
¡De acuerdo, tenéis razón! No hago más que hablar de «problema» y aún no he planteado ninguno.
Vamos con él. El problema dice así…
«Tenemos que transportar con un burro 900 zanahorias a un mercado, que está a 300 km de distancia de donde nos encontramos.
El burro puede transportar como máximo 300 zanahorias y, además, necesita comer una zanahoria por cada kilómetro que recorre. Si no lleva zanahorias para comer se detiene y no sigue caminando.
¿Cuál el el mayor número de zanahorias que conseguiremos transportar hasta el mercado?»
