Resolución de problemas, la heurística y el problema del burro y las zanahorias

Desde la más remota antigüedad, la actividad principal del matemático ha sido la resolución de problemas. Hasta hace relativamente poco tiempo no existía una denominación específica para una ciencia que se ocupe de los métodos de resolución de problemas; esta ciencia es la denominada heurística moderna.

La heurística (término proveniente del griego “heurisko”: hallar, descubrir) se consideró durante años “el arte de inventar“. Era una ciencia que tenía mucho que ver con la lógica, la psicología o la filosofía, aunque su significado ha evolucionado actualmente hacia la concepción moderna que he comentado.

Fijaos que ya he mencionado tres palabras que a mí personalmente me gustan mucho: “descubrir“, “inventar” y “lógica“, y que creo que son buena parte de la esencia de las matemáticas.

Podríamos decir que el razonamiento heurístico tiene como objetivo descubrir la solución de un problema; por lo tanto, no es definitivo y no tiene por qué ser riguroso, sino que simplemente es provisional y plausible y, por supuesto, no debe confundirse con una demostración matemática.

Pero ¿qué es un problema?

Una definición sencilla que a mí me gusta es la que dan Bransford y Stein, según los cuales un problema es un obstáculo que separa la situación actual de una meta deseada (1).

Pero yo no voy a adentrarme aquí en la heurística y en los distintos modelos de resolución de problemas, pues habrá personas que conozcan mucho más sobre el tema y seguro que lo pueden hacer infinitamente mejor que yo. Prefiero centrarme en algo que creo que se me da mejor, que es plantear un problema y ver cómo podemos resolverlo.

Y digo “podemos” porque me gustaría que lo hiciésemos juntos.

Sea cual sea el tipo de problema al que nos enfrentemos, sí parece claro que hay una serie de fases necesarias para resolverlo, y esto lo dejó bastante claro el matemático húngaro George Pólya en su libro “How to solve it(2): Comprender el problema, concebir un plan o estrategia, ejecutar el plan, y examinar la solución obtenida.

Aunque estas cuatro etapas se presentan teóricamente separadas, en el proceso de resolución de un problema se mezclan unas con otras. Por ejemplo, a la vez que se va entendiendo un enunciado van surgiendo ideas que iluminan el plan de resolución, y a la vez que vamos ejecutando nuestro plan descubrimos “cosas” que nos hacen modificarlo o mejorarlo.

Y esto es lo verdaderamente interesante y lo que nos va a pasar a nosotros.

¡De acuerdo, tenéis razón! No hago más que hablar de “problema” y aún no he planteado ninguno.

Vamos con él. El problema dice así…

“Tenemos que transportar con un burro 900 zanahorias a un mercado, que está a 300 km de distancia de donde nos encontramos.

burroyzanahoriasEl burro puede transportar como máximo 300 zanahorias y, además, necesita comer una zanahoria por cada kilómetro que recorre. Si no lleva zanahorias para comer se detiene y no sigue caminando.

¿Cuál el el mayor número de zanahorias que conseguiremos transportar hasta el mercado?”

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SOLUCIÓN a ¿Cuántos CUADRADOS puedes ver en la imagen?

El problema planteado es el siguiente:

Si no lo habías visto hasta ahora y no lo has intentado resolver aún, te invito a que lo hagas antes de seguir leyendo.

¿Quieres ver ya la SOLUCIÓN?

Vamos con ella…

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La solución del acertijo de las tres bolas de billar que deben sumar 30

Hay un acertijo en las redes sociales que consiste en elegir, entre varias bolas de billar americano o pool, tres bolas que sumen en total treinta.

Como desconozco la autoría de dicho acertijo, y lo he visto con modificaciones en distintas páginas, he optado por crear mi propia imagen y así evitar utilizar alguna de ellas de forma incorrecta.

Es el siguiente…

En principio no pensaba hablar de él en el blog, a pesar de que cuando lo vi me resultó curioso, pero han pasado dos cosas esta semana que me han hecho volver a fijarme en él y al final tratarlo aquí.

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¿Cuántos pentágonos hay en la imagen?… No son 1, ni 2, ni 3… ni 8, ni 9… son más… Aquí tienes la solución

El acertijo propuesto es el siguiente:

Se trata, por tanto, de encontrar el mayor número posible de pentágonos siguiendo las líneas de la imagen.

Indicar también que no se trata de una vista de una figura tridimensional (hubiese quedado mal definida si hubiese sido así al faltar información de otras vistas de la misma), sino de una composición de líneas en el plano.

Si aún no lo habías visto o simplemente no lo has intentado resolver todavía, te invito a que lo hagas primero antes de seguir leyendo esta entrada.

Si quieres saber ya la solución

¡Vamos con ella!

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Solución del acertijo “Serie de dados VIII”

El acertijo propuesto es el siguiente:

¿Qué números habrá debajo de las pegatinas del logo del blog en el último dado?

Se trata de encontrar el razonamiento que se ha seguido para obtener los tres números que hay en cada uno de los dados en el orden en que aparecen y, conocido éste, poder deducir qué números habrá debajo de las pegatinas en el último dado.

La regla lógica que se utilice tiene que ser la misma para todos los dados.

¿Lo has intentado ya?

¿Qué números crees que son?

Si estás intentándolo o no lo has hecho aún, no sigas leyendo y piénsalo.

Si ya lo has hecho y quieres comprobar la solución… sigue leyendo.

Vamos con ello…

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El acertijo de las cartas y las piezas de ajedrez… ¿Quieres ver la solución?

Hay acertijos que se resisten más que otros a la hora de resolverlos, y el que propuse en su día con cartas y piezas de ajedrez ha resultado ser uno de ellos aunque, sinceramente, no pensaba que fuese a ser así.

El hecho de introducir varios factores a tener en cuenta para obtener cada carta de la secuencia (cartas, palos y piezas de ajedrez) lo aleja de los acertijos habituales que se ven en la red y ha costado más verlo.

Reconozco que es más complicado de lo normal, pero precisamente se trataba de hacer algo diferente que no fuese tan evidente y, sobre todo, que nos hiciese pensar.

¿No sabes de qué acertijo estoy hablando o ya no lo recuerdas?

Es éste…

cartasyajedrez

Si no lo habías visto hasta ahora, no sigas leyendo aún e intenta resolverlo.

Si quieres ver ya la resolución, continúa leyendo que lo vamos a analizar paso a paso.

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Solución del acertijo “Serie de domino II”

El acertijo propuesto es el siguiente:

¿Qué ficha debería ser la última?

domino_00

Se trata de encontrar el razonamiento que se ha seguido para obtener cada una de las fichas de dominó en el orden en que aparecen y, conocido éste, poder deducir cuál es la ficha del final que está girada.

La regla lógica que se utilice tiene que ser la misma para todas las fichas (excepto la primera, que es el punto de partida y viene fijada).

¿Lo has intentado ya?

¿Qué ficha crees que es?

Si estás intentándolo o no lo has hecho aún, no sigas leyendo y piénsalo.

Si ya lo has hecho y quieres comprobar la solución… sigue leyendo.

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¿Vemos la solución al problema de los cubos pintados?

Recuerdo lo que decía el problema de los cubos que propuse (bueno en realidad eran casi cuatro problemas en uno):

“En la siguiente imagen se muestra un cubo construído a partir de cubos más pequeños, todos del mismo tamaño, a los que podríamos llamar cubos unidad, cuyas caras serían caras unidad, y sus aristas, no siendo muy original… aristas unidad.

cubo de cubos

De esta manera, nuestro cubo tendría de arista cuatro (cuatro aristas unidad), y podríamos decir que es de dimensión 4 x 4 x 4.

Te voy a plantear tres cosas y tú me dices cómo piensas que sería:

 Vamos con la primera

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Solución de “Multiplicando los números de dos cifras… ceros”

El problema propuesto es el siguiente:


Veamos la SOLUCIÓN…

solucionceros

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Solución del acertijo de las bolas de Navidad

bolas_01

Vamos a ver algunas  SOLUCIONES POSIBLES.

He dicho soluciones posibles porque, tal y como he planteado el acertijo en este caso, no hay una única solución, y podemos encontrar distintos patrones lógicos que nos den distintas soluciones.

Tenemos bolas de tres colores diferentes: rojo, verde y azul.

bolitas1bolitas3bolitas2

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SOLUCIÓN ¿Cuántos hexágonos hay dibujados en la imagen?

El problema o reto es el siguiente:

Si aún no has intentado resolverlo te invito a que lo hagas.

Si quieres ver ya la SOLUCIÓN sigue leyendo…

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Solución del acertijo “El R2-D2 matemático”

Recuerdo lo que decía el acertijo de “El R2-D2 matemático”:

“Después de pasar un buen rato ojeando el blog  matematicascercanas, R2-D2 ha empezado a hacer transformaciones de números realizando operaciones.

R2D2

Primero ha transformado el número 111121 en 100

R2D2_01

después el número 121244 en 100

R2D2_02

el 131369 en 100 también…

R2D2_03

El último número que ha leído es el 141486 ¿qué número devolverá este R2-D2 matemático?”

R2D2_04

Si os parece bien, vamos a ver cómo funciona nuestro R2-D2 particular.

Por supuesto, si aún no habéis intentado resolver este acertijo, os invito a que lo hagáis antes de seguir leyendo.

SOLUCIÓN

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Solución del acertijo “Los engranajes”

El problema que propuse decía así:

“En la siguiente imagen se muestra un sistema de engranajes compuesto, formado por cuatro ruedas dentadas.

Si el número que aparece en cada una de las ruedas indica la cantidad de dientes que tiene ¿cuántas vueltas deberá dar la rueda 1 para que la rueda 4 dé 20 vueltas?”

Vamos a ver la SOLUCIÓN.

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Solución de “Encuentra la lógica”

Recuerdo lo que decía el acertijo que propuse:

“En la secuencia anterior se dan las siguientes correspondencias:

12345678 -> 4

234567 -> 2

3456 -> 2

Teniendo encuenta lo anterior ¿cuál es la lógica de dicha correspondencia de números y el número que le corresponde a la última fila?”

Veamos la SOLUCIÓN:

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Solución del acertijo del reloj que se retrasa

Recuerdo lo que decía el acertijo que propuse:

“Un reloj analógico se retrasa 10 minutos cada hora.

Si el reloj está marcando la hora correcta al mediodía ¿cuántas horas habrán pasado y qué hora mostrará cuando vuelva a marcar la hora correcta por primera vez de nuevo?”

Veamos la SOLUCIÓN

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¿Cuántos cuadrados eres capaz de formar con 54 cerillas sin cruzarlas?

El reto consiste en lo siguiente:

“Tenemos 54 cerillas (fósforos, cerillos, mixtos, matches…).

Con esas 54 cerillas (fósforos, cerillos, mixtos, matches…) y sin cruzarlas ¿cuántos cuadrados eres capaz de formar?”

Si no lo habías visto hasta ahora o aún no te habías puesto a intentar solucionarlo, intenta resolverlo antes de seguir leyendo.

Si ya has llegado a tu solución (la que consideras mejor) puedes, si quieres, echarle un ojo a la resolución de otro problema de cerillas más sencillo que propuse en su momento: Problema de las 9 cerillas y los triángulos, y quizás te dé alguna idea nueva que no se te hubiese ocurrido.

De una manera u otra, cada persona habrá llegado a una solución, la suya.

Pues bien, vamos a intentar resolver este reto paso a paso, siguiendo más o menos el razonamiento lógico que podriamos llevar hasta llegar a la que considero que seria la mejor solución.

Repito, si no quieres ver aún la solución ¡no sigas leyendo!

¿Seguro que quieres verla?

¡No sigas si aún no lo has intentado!

Bueno, aquí va la RESOLUCIÓN…

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Solución al reto de las 9 cerillas y los triángulos

Recuerdo lo que decía el reto o problema que proponía:

“Tenemos 9 cerillas (fósforos, cerillos, matches…).

Con esas 9 cerillas (fósforos, cerillos, matches…) ¿cuántos triángulos eres capaz de formar?”

Si es la primera vez que lo ves o aún no habías intentado solucionarlo, prueba a resolverlo antes de seguir leyendo.

Como es normal, cada persona habrá llegado a una solución, la suya, y lo más importante es haberlo intentado.

Ahora bien ¿es la mejor solución? es decir ¿se ha conseguido obtener el mayor número de triángulos posible?

Si te parece bien, vamos a intentar resolver este reto paso a paso, siguiendo más o menos el razonamiento lógico que podriamos llevar partiendo de cero y hasta llegar a la que, al menos desde mi punto de vista, es la mejor solución.

Repito, si no quieres ver aún la solución ¡no sigas leyendo!

RESOLUCIÓN

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Solución de… “cortando un tronco”

Recuerdo el enunciado del problema que se planteaba:

“Tenemos varios troncos como el de la imagen que se muestra a continuación.

Se quiere aprovechar para hacer leña para una chimenea. La idea es que de cada tronco obtengamos leña que nos valga para todo el mes, utilizando así un trozo del tronco cada día. Como son bastantes los troncos que tenemos que cortar, se quiere realizar el menor número de cortes posible.

¿Cuál es el número mínimo de cortes rectos necesarios para cortar cada tronco en 30 trozos iguales y sin cambiar de posición los trozos que se van obteniendo?

Nota para los y las más puristas (hipótesis de trabajo): El tronco no se nos desmorona a medida que lo vamos cortando, es decir, se mantiene en todo momento con su forma cilíndrica original.”

Vamos a ver la SOLUCIÓN.

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La solución al famoso problema del cumpleaños de Cheryl

En las últimas olimpiadas de matemáticas de Asia y Singapur celebradas el pasado 11 de abril se ha incluido un problema que se ha convertido en viral dentro de las redes sociales, por su supuesta dificultad.

El problema es el siguiente:

Cheryl's birthday

Por supuesto, si no lo habíais visto aún, os invito a que lo intentéis resolver.

Para quien no controle demasiado esto del inglés, pongo a continuación el problema traducido al español:

Cumpleaños de Cheryl

Y ahora, si os parece, vamos a deducir la SOLUCIÓN, aplicando la lógica.

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Solución a “¿Cuántos triángulos hay dibujados en la imagen?”

Os recuerdo lo que decía el reto propuesto:

“Como dice el título de la entrada, el reto consiste en identificar cuántos triángulos aparecen dibujados en la imagen que se muestra a continuación.

No importa tanto dar con el total exacto de triángulos, sino hacer el ejercicio mental de buscarlos, discriminando entre las formas que representan triángulos y las que no, a la vez que se evita duplicar los triángulos ya considerados.

Por supuesto, la respuesta es más completa si se identifica cada uno de ellos, para lo cuál se ha asignado una letra a cada “región” del dibujo, lo que facilita bastante el trabajo (por ejemplo, triángulo A, triángulo AB…).”

Pues bien, veamos la SOLUCIÓN.

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