Racionalización de fracciones

Cuando trabajamos con fracciones, en determinadas operaciones como la suma o resta de fracciones con distinto denominador, nos interesa que los denominadores sean números naturales, ya que de lo contrario nos resulta complicado hacer cosas como reducir las fracciones a mínimo común denominador.

En ocasiones las fracciones que tenemos contienen radicales en su denominador, y necesitamos eliminarlos.

Racionalizar una fracción consiste precisamente en eso, en realizar operaciones sobre la fracción original de manera que se obtengan fracciones equivalentes en las que ya no haya radicales en el denominador.

Para racionalizar una fracción utilizaremos básicamente dos procedimientos, dependiendo de si en el denominador hay solo un radical o si se trata de una suma o una resta (binomio) con radicales.

En los dos siguientes vídeos vamos a aprender a racionalizar fracciones en cada una de esas dos situaciones. Lo veremos paso a paso, explicando primero en qué nos vamos a basar para hacerlo, y resolveremos varios ejemplos con algunas diferencias entre ellos.

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Jugando con números XLI

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División de potencias de igual exponente y de raíces de igual índice

Producto de potencias de igual exponente y de raíces de igual índice

La Espiral de Teodoro

La espiral de Teodoro, también llamada caracola pitagórica, espiral pitagórica, espiral de Einstein o espiral de raíces cuadradas (será por nombres) es una espiral formada por triángulos rectángulos contiguos, atribuida a Teodoro de Cirene.

Teodoro de Cirene (465 a. C. – 398 a. C.) fue un filósofo y matemático griego nacido en Cirene, que probó la irracionalidad de las raíces de los números enteros no cuadrados (2, 3, 5, 6, 7…), al menos hasta 17, excepto la raíz cuadrada de 2 de la que ya se tenían noticias de su irracionalidad en épocas anteriores a Teodoro.

A partir de las raíces de los números enteros y del Teorema de Pitágoras es como se desarrolla la espiral que lleva su nombre.

Primeros pasos de la Espiral de Teodoro de Cirene (De Pbroks13 de Wikipedia en inglés, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4171437)

El proceso de construcción de la Espiral de Teodoro es el siguiente:

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¿Cuál es mayor? Utilicemos una lupa matemática para raíces.

Tenemos las dos raíces siguientes…

raiz_01

¿Cuál es mayor?

Una pista: La diferencia entre ambas es menor de 0,001.

¡Quieta esa calculadora!

Vamos a pensar un poco y verlo sin calculadora, que para eso son las matemáticas… para pensar.

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