Racionalización de fracciones

Cuando trabajamos con fracciones, en determinadas operaciones como la suma o resta de fracciones con distinto denominador, nos interesa que los denominadores sean números naturales, ya que de lo contrario nos resulta complicado hacer cosas como reducir las fracciones a mínimo común denominador.

En ocasiones las fracciones que tenemos contienen radicales en su denominador, y necesitamos eliminarlos.

Racionalizar una fracción consiste precisamente en eso, en realizar operaciones sobre la fracción original de manera que se obtengan fracciones equivalentes en las que ya no haya radicales en el denominador.

Para racionalizar una fracción utilizaremos básicamente dos procedimientos, dependiendo de si en el denominador hay solo un radical o si se trata de una suma o una resta (binomio) con radicales.

En los dos siguientes vídeos vamos a aprender a racionalizar fracciones en cada una de esas dos situaciones. Lo veremos paso a paso, explicando primero en qué nos vamos a basar para hacerlo, y resolveremos varios ejemplos con algunas diferencias entre ellos.

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Potencia de una raíz

Calcular una potencia de una raíz, es decir una potencia cuyo radicando es una raíz o radical, es muy sencillo, ya que es una raíz que conserva el mismo índice, en la que la base de la potencia del radicando tampoco cambia, y el exponente de fuera entra en el radical multiplicando al exponente que tenía el radicando.

Pero, ¿por qué se puede calcular así? ¿Qué pasa si hay más potencias de potencias de la raíz?

Os lo explico todo, y resuelvo varios ejemplos, en el siguiente vídeo:

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Suma y resta de radicales

Vamos a ver la suma y la resta de radicales.

Lo primero que debemos tener en cuenta es que para poder sumar y restar radicales se necesita que sean semejantes.

¿Qué quiere decir que dos radicales sean semejantes?

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Si los radicales tuviesen distinto índice tendríamos que reducirlos a índice común previamente.

Por otro lado, para intentar conseguir que los radicales tengan el mismo radicando, tenemos primero que descomponer en factores primos los radicandos, e intentar después extraer factores de los radicales.

Por último, sumaremos o restaremos los radicales que sean semejantes, haciendo operaciones con los coeficientes que quedan multiplicando a dichos radicales.

En el siguiente vídeo lo explico con detalle, paso a paso, y a través de varios ejemplos:

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Multiplicación y división de radicales

Para poder multiplicar y dividir radicales es necesario que tengan el mismo índice.

Cuando no tienen el mismo índice hay que reducirlos antes a índice común.

El producto de radicales con el mismo índice es igual a un único radical del mismo índice y cuyo radicando se obtiene de multiplicar los radicandos.

En el siguiente vídeo lo explico con detalle y a través de varios ejemplos:

Cuando tenemos que multiplicar radicales que tienen distinto índice, como comentaba anteriormente, es necesario previamente reducirlos a índice común. En el siguiente vídeo lo podéis ver explicado paso a paso con varios ejemplos:

El cociente o división de radicales con el mismo índice es igual a un único radical del mismo índice y cuyo radicando se obtiene de dividir los radicandos.

Lo vemos con detalle en el siguiente vídeo:

Cuando tenemos que dividir radicales que tienen distinto índice, como ocurre con la multiplicación, hay que reducirlos primero a índice común. En el siguiente vídeo lo podéis ver explicado paso a paso con varios ejemplos:

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Introducir factores en un radical

Las propiedades de los radicales nos permiten, entre otras cosas, introducir factores en un radical.

Para introducir un factor dentro de un radical, lo hacemos multiplicando su exponente por el índice del radical, y entra en el radical multiplicando al radicando que ya hubiese.

En el siguiente vídeo lo explico todo con detalle, paso a paso, y a través de varios ejemplos que contemplan las distintas situaciones que nos podemos encontrar:

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Raíz de una raíz

Calcular una raíz de una raíz, es decir una raíz cuyo radicando es otra raíz, es muy sencillo, ya que es una única raíz que conserva el mismo radicando y cuyo índice es el producto de los índices.

Pero, ¿por qué se puede calcular así? ¡Qué pasa si hay más raíces dentro de otras raíces?

Os lo explico todo, y resuelvo varios ejemplos, en el siguiente vídeo:

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Simplificar índice y exponente en un radical. Simplificar radicales

Cuando queremos simplificar un radical, una forma de hacerlo es extrayendo factores del radical (siempre que se pueda hacer), y la otra, que es complementaria a la anterior, es intentar simplificar el índice y los exponentes de las potencias que haya en el radicando, siempre que sea posible.

En unas ocasiones se podrán hacer las dos cosas mencionadas anteriormente, en otras solo una de ellas, y en otras ninguna de las dos y el radical no se podrá simplificar.

Para simplificar un radical simplificando el índice y los exponentes, basta con dividir tanto el índice del radical como los exponentes de las potencias que haya en el radicando entre su máximo común divisor (M.C.D.).

En el siguiente vídeo lo explico paso a paso con varios ejemplos, justificando además por qué se puede simplificar así un radical:

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Extraer factores de un radical. Simplificar radicales

Las propiedades de los radicales nos permiten, entre otras cosas, extraer factores de un radical para poder simplificarlos.

En muchas ocasiones, se trata simplemente de eso, de simplificarlos para hacer más sencillos los cálculos, pero en otras ocasiones es un paso necesario para poder realizar determinadas operaciones, como la suma y resta de radicales en la que se necesita que tanto los índices como los radicandos de los radicales sean iguales. Para ello solemos extraer factores de cada radical hasta conseguirlo.

Cuando el radicando no está factorizado, el paso previo a poder extraer factores del radical es descomponer dicho radicando en factores primos.

En el siguiente vídeo lo explico todo con detalle, paso a paso, y a través de varios ejemplos que contemplan las distintas situaciones que nos podemos encontrar:

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Reducir radicales a índice común

Cuando tenemos varios radicales con distinto índice, y tenemos que hacer operaciones de multiplicación o división entre ellos, o compararlos, necesitamos que tengan todos el mismo índice.

Para conseguirlo hacemos el paso previo de reducirlos a índice común, sustituyéndolos por otros radicales equivalentes, todos con el mismo índice e igual al mínimo común múltiplo de los índices.

Para ello utilizamos una de las propiedades de los radicales, que nos dice que si en un radical se multiplican tanto el índice como el exponente del radicando por un mismo número, el radical que se obtiene es equivalente.

Te explico con detalle cómo reducir radicales a índice común en el siguiente vídeo:

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División de potencias de igual exponente y de raíces de igual índice

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