División de potencias de la misma base

La división o cociente de potencias de la misma base es realmente fácil.

Para dividir potencias que tengan la misma base, simplemente hay que dejar la misma base y restar los exponentes.

Por ejemplo:

28 : 23 = 28-3 = 25

Pero, ¿por qué se puede hacer de esta forma tan sencilla?

Te lo explico en el siguiente vídeo, y hacemos bastantes ejemplos para que quede todo muy claro. Verás que es muy sencillo.

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Multiplicación de potencias de la misma base

El producto o multiplicación de potencias de la misma base es realmente sencillo.

Para multiplicar potencias que tengan la misma base, simplemente hay que dejar la misma base y sumar los exponentes.

Por ejemplo:

53 · 54 = 53+4 = 57

Pero, ¿por qué se puede hacer de esta forma tan sencilla?

Te lo explico en el siguiente vídeo, y hacemos bastantes ejemplos para que quede todo muy claro. Verás que es muy fácil.

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Potencia de una potencia

¿Qué es una potencia de una potencia?

Es una potencia cuya base es otra potencia.

Por ejemplo, (32)3 es una potencia de una potencia, ya que se trata de una potencia cuya base es otra potencia 32 y su exponente es 3.

Calcular una potencia de una potencia es realmente sencillo, ya que es igual a otra potencia que tiene la misma base, y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

En el ejemplo anterior sería:

(32)3 = 32·3 = 36

Pero, ¿por qué se puede calcular así? ¿Qué pasa si hay, por ejemplo, una potencia de una potencia de una potencia?

En el siguiente vídeo lo explico todo con más detalle: Aprendemos a calcular una potencia de una potencia como he comentado antes, vemos por qué se puede calcular así, y hacemos bastantes ejemplos, incluso con potencias de potencias de potencias

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Potencias de base negativa… ¡Impostor!

Si esto fuera una partida de «Among Us», el impostor sería claramente -52, a pesar de que muchos piensen que no es así, y es que, desafortunadamente, en este tema hay un error demasiado extendido.

Empecemos diciendo qué es una potencia de base negativa.

Una potencia de base negativa es una potencia cuya base es negativa

¡Oooohhhhhh!

¡Qué gran descubrimiento!

De acuerdo, no he dicho gran cosa, pero la clave está en saber distinguir cuándo una potencia tiene base negativa y cuándo, a pesar de aparecer un menos, no tiene base negativa.

¿Perdona? ¿Dices que aunque haya un menos la base no tiene por qué ser negativa?

Efectivamente.

Para que la base de una potencia sea negativa debe estar el número negativo entre paréntesis.

Te lo pongo en un pósit para que no se te olvide:

Si volvemos a la imagen del comienzo de esta publicación, la potencia de base negativa sería (-5)2 y, como ya comenté al principio, no lo sería -52, que sin duda sería el… ¡Impostor!

¿Y el menos entonces?

Pues ese menos afecta a toda la potencia, es decir a 52, pero no está afectado por el exponente de la misma, pues para ello tendría que formar parte de la base, y no lo hace.

Pero… ¿Qué diferencia hay entre ambas al calcularlas?

Mejor que escribírtelo todo por aquí, te lo cuento en el siguiente vídeo de viva voz (bueno, voz grabada, aunque estaba vivo cuando lo grabé, así que supongo que cuenta como «viva voz»). Te explico además cómo afecta el hecho de que el exponente sea par o impar al resultado de las potencias de base negativa, y cómo se calculan unas y otras con varios ejemplos:

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Potencias. Introducción y conceptos básicos

¿Qué es una potencia?

Una potencia es una forma abreviada o resumida de escribir una multiplicación repetida de un mismo factor.

En una potencia hay dos partes: La base, que nos indica cuál es el factor que se repite; y el exponente, que nos dice el número de veces que aparece repetido ese factor.

Un ejemplo de potencia sería el siguiente:

23

En esta potencia, la base es 2, y el exponente es 3. Por lo tanto, el 2 es el factor que se va a repetir multiplicado por si mismo, y va a aparecer 3 veces:

23 = 2 · 2 · 2 = 8

En el siguiente vídeo vamos a ver con más detalle el concepto de potencia, las partes o elementos que tienen (base y exponente), qué significa cada uno, cómo calcular una potencia, y también cómo expresar una multiplicación repetida en forma de potencia:

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Potencia de una raíz

Calcular una potencia de una raíz, es decir una potencia cuyo radicando es una raíz o radical, es muy sencillo, ya que es una raíz que conserva el mismo índice, en la que la base de la potencia del radicando tampoco cambia, y el exponente de fuera entra en el radical multiplicando al exponente que tenía el radicando.

Pero, ¿por qué se puede calcular así? ¿Qué pasa si hay más potencias de potencias de la raíz?

Os lo explico todo, y resuelvo varios ejemplos, en el siguiente vídeo:

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Suma y resta de radicales

Vamos a ver la suma y la resta de radicales.

Lo primero que debemos tener en cuenta es que para poder sumar y restar radicales se necesita que sean semejantes.

¿Qué quiere decir que dos radicales sean semejantes?

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Si los radicales tuviesen distinto índice tendríamos que reducirlos a índice común previamente.

Por otro lado, para intentar conseguir que los radicales tengan el mismo radicando, tenemos primero que descomponer en factores primos los radicandos, e intentar después extraer factores de los radicales.

Por último, sumaremos o restaremos los radicales que sean semejantes, haciendo operaciones con los coeficientes que quedan multiplicando a dichos radicales.

En el siguiente vídeo lo explico con detalle, paso a paso, y a través de varios ejemplos:

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Multiplicación y división de radicales

Para poder multiplicar y dividir radicales es necesario que tengan el mismo índice.

Cuando no tienen el mismo índice hay que reducirlos antes a índice común.

El producto de radicales con el mismo índice es igual a un único radical del mismo índice y cuyo radicando se obtiene de multiplicar los radicandos.

En el siguiente vídeo lo explico con detalle y a través de varios ejemplos:

Cuando tenemos que multiplicar radicales que tienen distinto índice, como comentaba anteriormente, es necesario previamente reducirlos a índice común. En el siguiente vídeo lo podéis ver explicado paso a paso con varios ejemplos:

El cociente o división de radicales con el mismo índice es igual a un único radical del mismo índice y cuyo radicando se obtiene de dividir los radicandos.

Lo vemos con detalle en el siguiente vídeo:

Cuando tenemos que dividir radicales que tienen distinto índice, como ocurre con la multiplicación, hay que reducirlos primero a índice común. En el siguiente vídeo lo podéis ver explicado paso a paso con varios ejemplos:

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