Regla de tres …

Regla de 3

La regla de tres o regla de tres simple es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres valores conocidos y una incógnita, estableciendo una relación de proporcionalidad entre todos ellos.

Es decir, lo que se pretende con ella es hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres.

En la regla de tres simple se establece, por tanto, la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B , y conociendo un tercer valor C, se calcula un cuarto valor D.

Dicha relación de proporcionalidad existente entre A y B puede ser directa o inversa.

Será directa cuando, dentro de esa proporcionalidad, a un mayor valor de A le corresponda también un mayor valor de B (o a un menor valor de A le corresponda un menor valor de B), y será inversa, cuando a un mayor valor de A le corresponda un menor valor de B (o a un menor valor de A le corresponda un mayor valor de B).

En el primer caso tenemos una regla de tres simple directa, y en el segundo caso una regla de tres simple inversa.

Vamos a ver cada una más detalladamente.

Regla de tres simple directa

Tenemos que:

regladetres_02

En la regla de tres simple directa, en la relación entre los valores, se cumple que:

y decimos que A es a B directamente proporcional, como C es a D.

De esta igualdad anterior, se deduce fácilmente que, por ejemplo, si conocemos los valores ABC, y queremos calcular D, éste último será:

Lo vemos con un ejemplo.

“Una sandía cuesta en el supermercado 4 euros. Juán ha comprado 50 sandías ¿cuánto se habrá gastado?”

Pero… ¿quién compra 50 sandías? ¿las metes todas en el maletero del coche? A no ser que Juán tenga un puesto de frutas en el mercado… ¡se le van a estropear antes de que se las pueda comer todas!

coche cargado de sandías

Aprovechando que este fin de semana he estado pintando una habitación, vamos a verlo con un ejemplo algo más real:

“María tiene que comprar pintura blanca para darle una mano previa a una habitación que quiere cambiar de color. Si en el bote de pintura se indica que con 1 litro de pintura se pueden pintar 8 m2 ¿cuántos litros necesita teóricamente para pintar las paredes de la habitación si ésta tiene 40 m2 de pared?”

En este caso, la relación de proporcionalidad es directa, puesto que cuanto más metros cuadrados de pared tengamos que pintar más litros de pintura necesitaremos. Lo hacemos como hemos visto antes:

María necesitará, por tanto, 5 litros de pintura.

 

Regla de tres simple inversa

En este caso tenemos que:

En la regla de tres simple inversa, en la relación entre los valores, se cumple que:

y decimos que A es a B inversamente proporcional, como C es a D.

Conocidos los valores ABC, el valor D será:

Por ejemplo: “Un grifo con un caudal de salida de agua de 18 litros por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 litros por minuto?”

La relación de proporcionalidad es inversa, ya que cuanto más caudal de salida de agua tiene el grifo menos tiempo (en horas) se necesita para llenar el depósito. Tenemos así que:

Con un grifo de 7 litros por minuto de caudal (menos caudal) necesitamos 36 horas (más tiempo) para llenar el depósito.

Bien, hasta ahora hemos visto cómo resolver problemas de proporcionalidad entre tres valores conocidos y una incógnita, estableciendo una relación de proporcionalidad entre todos ellos y utilizando la regla de tres simple que corresponda, directa o inversa.


Suscríbete al blog por correo electrónico

Suscríbete de forma totalmente gratuita al blog y sé el primero en enterarte de las novedades.

Únete a otros 1.637 suscriptores


Sin embargo, en ocasiones, el problema planteado puede involucrar más de tres cantidades conocidas, además de la desconocida. ¿Cómo hacemos en este caso?

Pues una forma rápida de resolver estas situaciones es utilizando una  regla de tres compuesta.

Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.

Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos tener distintos casos: que todas las relaciones de proporcionalidad sean directas, que todas sean inversas, o que se den relaciones directas e inversas.

Vamos a ver cada uno de estos posibles casos:

Regla de tres compuesta directa

Se aplica cuando todas las relaciones de proporcionalidad que se establecen son directas.

Si conocemos los valores A1B1, C1D, A2B2 y C2,  y queremos calcular X, éste último será:

Lo vemos mejor con un ejemplo:

“9 grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. ¿Cuál será el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días?”

Primero vemos el tipo de relaciones de proporcionalidad que hay:

Aplicando lo que hemos visto antes, tenemos que:

Regla de tres compuesta inversa

Se aplica cuando todas las relaciones de proporcionalidad que se establecen son inversas.

Conociendo los valores A1B1, C1D, A2B2 y C2, el valor de X será:

Por ejemplo: “5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?”

Aplicando la regla de tres compuesta inversa, tenemos:

Regla de tres compuesta mixta

Se aplica cuando en las relaciones de proporcionalidad que se establecen hay relaciones directas e inversas.

Conociendo los valores A1B1, C1D, A2B2 y C2, el valor de X se obtiene como:

Y, cómo no, un ejemplo, que es como se ve mejor:

“8 obreros han construído en 9 días, trabajando a razón de 6 horas por día, 30 m de muro. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para construír los 50 m de muro que faltan?”

Así que tenemos:

Son más obreros y trabajando más horas al día, pero como también son más los metros de muro que tienen que construir… ¡casualidades de la vida tardan los mismos días!

Está claro que aplicando una regla de tres compuesta el cálculo es inmediato, no obstante, siempre se tiene la opción de ir aplicando reglas de tres simples hasta llegar a la solución que buscamos.

Pues, de esto va la famosa “regla de tres”, algo verdaderamente útil en el día a día.

De todos los casos que hemos visto, la regla de tres simple directa es la base del cálculo de porcentajes.

En esta otra entrada tratamos todos los casos posibles de cálculo de porcentajes:

Porcentajes… Si 100 personas vivieran en la tierra.


Imagen inicial de Carlos Rueda (Gracias por autorizarme a ponerla en esta entrada)

La imagen del coche cargado de sandías está sacada del blog Frutería La cochera” (http://fruterialacochera.blogspot.com.es/2011/10/cargados-hasta-las-trancas.html)

El resto de imágenes son todas de elaboración propia.

Fuentes consultadas:

Wikipedia, la enciclopedia libre (https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres)

Ditutor (http://www.ditutor.com/proporcionalidad/regla_tres.html)

Advertisements

51 comentarios en “Regla de tres …

  1. Buenísima explicación, y buenísimos ejemplos.Me pareces muy buen profesor aunque algunas personas impidan dar clases.Muchas gracias Amadeo,y sigue asi que lo necesitamos 😉

  2. Hola Amadeo,

    Me ha gustado mucho el post. Cuando me explicaron todo esto en el cole no entendí nada. Me hubiera gustado una explicación como esta.

    Os comparto mi manera de ver la regla de 3. Para mí es una regla lineal de proporción. Se están igualando dos pendientes “m” de dos rectas tipo y = m·x.

    En el primer ejemplo la primera pendiente de la recta es m1 = 8m^2 / 1litro y la segunda pendiente de la recta es m2 = 40m^2 / Xlitros.

    Nuestra recta y = m·x. Y representan los m^2 y X los litros. Si igualamos las pendientes estamos diciendo que siguen la misma proporción. Estamos haciendo una regla de 3.

    Espero que os sirva. Soy mucho de geometría y visual jejejeje

    Saludos!!!

    • Gracias Jordi, por el comentario y por tu aportación.

      Yo también soy mucho de “geometría y visual”.

      Respecto a lo que comentas, al fin y al cabo, el hecho de que dos magnitudes sean diréctamente proporcionales implica que su representación gráfica (de una frente a la otra) sea una recta. Cuando hacemos la regla de tres no estamos haciendo otra cosa que calcular la pendiente de esa recta con el par de valores que conocemos y sustituirlo despues en la ecuacion de dicha recta (la misma) junto con el valor que conocemos para calcular así el otro.

      No es tanto igualar dos pendientes de dos rectas como calcular simplemente la pendiente de una única recta (aunque tambièn se puede ver así).

      Un saludo Jordi.

      • ¡Gracias por la explicación Amadeo!
        Una de las cosas que más me gustan de las matemáticas es la manera de entender los conceptos. Cada uno tiene una manera única de ver los conceptos.
        Un saludo

  3. excelente, me hizo de mucha ayuda..! solo una duda en el ejercicio de compuesto mixto segun los pasos se dederia trabajar con
    x= 10,9,8,30 / 8,6,50 . ??? yo lo hice asi de igual forma la respuesta es 9 !

    gracias !

    • Hola Deysi, muchas gracias.

      Me alegra que me consultes tu duda, porque es muy interesante.

      Primero te diré que te ha salido el mismo resultado de casualidad por los números concretos que aparecen en el ejemplo, pero no está así bien planteado, y ahora te explicaré por qué. Basta con que sustituyas, por ejemplo, en el enunciado del problema 10 obreros por 9 obreros. Según tu planteamiento obtendrías de resultado ahora 8,1 días y según el planteamiento seguido en la entrada obtendrías 10 días, por lo que ya puedes ver que no es lo mismo.

      Voy a intentar explicártelo para que lo entiendas bien.

      En la regla de tres compuesta mixta, como indico en la entrada, hay relaciones directas e inversas (de ambas, por eso se llama mixta), pero se pueden dar muchos casos: que haya dos relaciones directas y una inversa, que haya dos relaciones inversas y una directa, o tres relaciones inversas y una directa, o dos directas y dos inversas… así todas las posibilidades que quieras plantear.

      Si te fijas en la entrada, la expresión o fórmula que aparece en la teoría para la regla de tres compuesta mixta viene de un caso en el que hay una relación directa (la de A), una inversa (la de B) y una directa (la de C). Por eso A2 y C2 aparecen en el numerador (relaciones directas) y B2 aparece en el denominador (relación inversa).

      Pero, y esto es muy importante, cómo quede esa fórmula o expresión va a depender de cada caso, es decir, de las relaciones directas e inversas que haya.

      En el ejemplo, tú has aplicado la expresión que se obtenía en el caso con una relación directa, una inversa y otra directa. Pero no es correcto, porque no se corresponde con la situación del ejemplo. En esta nueva situación lo que se tiene es una relación inversa, otra inversa y una directa. En este caso, lo que sería C2 (50 metros) aparece en el numerador (es una relación directa) y lo que serían A2 (10 obreros) y B2 (8 horas) aparecen en el denominador (ambas son relaciones inversas).

      Puedes quedarte con la regla mnemotécnica: inverso en línea, directo en cruz.

      En el caso del ejemplo:

      8·9·6·50 = 10·X·8·30

      y, despejando X:

      X = (8·9·6·50)/(10·8·30) = 9 días

      que es lo que aparece en el ejemplo.

      Éste de la regla de tres compuesta mixta es el caso más complejo de todos, precisamente porque hay muchas posibles situaciones en función de las posibles combinaciones de relaciones inversas y directas que haya, y es normal que se tengan dudas.

      Tenemos la mala costumbre de querer siempre una fórmula para aplicar directamente, y en casos como éste en el que la fórmula concreta dependería del caso concreto, es cuando queda bastante claro que es muchísimo mejor saber deducir la expresión final a partir de la regla de tres (y eso lo haces fácilmente con la regla mnemotécnica que te he comentado antes).
      Es más importante que sepas deducir cada caso y cada problema partiendo de cada regla de tres, que que te aprendas una fórmula para cada caso, porque te puedes equivocar con facilidad.

      Espero haberte aclarado la duda Deysi. No obstante, si no terminas de verlo dímelo.

      Un saludo.

  4. Está muy bien la explicación aunque yo busco muchos más problemas para hacer.
    De todos modos me ha ayudado mucho gracias. ¡¡¡¡¡¡¡¡SEGUID ASÍ!!!!!!!!

    • Gracias a ti.
      En este caso el objeto de la entrada era precisamente ese, explicar los distintos casos de regla de tres, aparte de poner el punto de humor al principio.

      La viñeta puede venir muy bien para empezar a explicar este tema y romper el hielo en el aula.

      Con la regla de tres, si se tienen bien claros los conceptos y saber ver cuando es directa o inversa, todos los problemas son similares.

      Un saludo y gracias por comentar.

    • Muchísimas gracias Marta.
      Te agradezco mucho tu comentario, no es fácil hacer algo que le pueda gustar y ser útil a la gente con tantos blogs y páginas como hay en la red, por lo que significan mucho para mí palabras como las tuyas.
      Un saludo.

  5. Hola.

    ¿Existe algún método para saber cuándo aplicar la regla de tres simple directa y cuándo la inversa? Me refiero a algún método matemático, distinto a esa especie de deducción que se hace (si uno aumenta y el otro disminuye es inversa; sino es directa).

    En el problema de los grifos lo que yo había hecho es simplificar a la regla de tres simple…

    Si ha estado 14*60 minutos echando 18 litros cada minuto, se tiene (regla de tres simple):

    1 minuto… 18 litros
    14*60 minutos… X litros

    X = ((14*60)*18)/1 = 15120 litros vertidos en 14 horas

    Una fuente que vierta 7 litros por minuto, para verter 15120 litros tardará (regla de tres simple):

    7 litros… 1 minuto
    15120 litros… Y minutos

    Y = (15120*1)/7 = 2160 minutos
    Z = 2160/60 = 36 horas

    Como era de esperar, da el mismo resultado.

    El caso es que este método es más largo, como se ve. Pero me queda la sensación de que es más consistente con una «regla de tres» tal y como la entendía hasta hoy, esto es, hasta antes de leer esta entrada no sabía que podía existir la inversa. Ni se me había ocurrido, vamos.

    De ahí la pregunta que hacía al principio: ¿podría llegarse al método inverso a través de algo que no fuese la deducción de qué método aplicar, es decir, sin preguntarse si un valor crece y el otro decrece o si ambos varían igual?

  6. Muy bueno!!!
    Me ha encantado la imagen inicial y toda la explicación. Y muy acertado el matiz de las sandías… me gustó ese detalle de problemas más reales.
    Muy buen aporte éste.

  7. Una vez más, todo perfectamente explicado, de forma clarísima, para que lo pueda entender cualquiera. Tengo una curiosidad, ¿porqué no lo has rematado con la regla de tres compuesta? Ah! Ya sé… es que no has tenido tiempo porque tenías que dar una segunda mano a la habitación…
    Un saludo

  8. Pingback: Bitacoras.com

Deja tu comentario aquí... ¡Gracias por aportar!

A %d blogueros les gusta esto: