Algunas maneras de obtener decimales de π

El número π es seguramente el número más famoso de las matemáticas.

Como todo el mundo sabrá su valor es 3y algo más“.

Sobre ese “y algo más” la gran mayoría recuerda que es 3,14… (aproximación con dos decimales que habitualmente se utiliza en la escuela), o con algún decimal más 3,1415926… o, en un alarde de capacidad memorística, puede que 3,14159265358979323846264

Pared del Mathematikum de Giessen con algunos de los decimales de Pi (Imagen de Dontworry bajo Licencia CC BY-SA 4.0 via Wikimedia Commons)

Incluso se puede llegar al extremo del joven estudiante Rajveer Meena, que fue capaz de decir de memoria 70.000 decimales el 21 de marzo de 2015 en un tiempo de 9 horas y 7 minutos.

Sí, no me he equivocado… ¡70.000!… conmigo no contéis para algo así porque lo mío es razonar, no memorizar.

Pero ¿cómo podemos calcular decimales de π?

 Ya en el Papiro de Ahmes, conocido también como Papiro Rhind, escrito por el escriba Ahmes (A’h-mosè) a mediados del siglo XVI a. C. se hacía una aproximación de π considerando que un cuadrado de lado 8 equivalía en superficie a un círculo de diámetro 9.

Parte de la primera sección del Papiro de Ahmes o Papiro Rhind (Imagen de dominio público).

A lo largo de la historia se han ido utilizando nuevos métodos que han permitido obtener mejores aproximaciones de este tan popular número.

En el siguiente vídeo de Quantum Fracture se muestran, de manera bastante didáctica y amena, tres métodos que permiten ir obteniendo decimales de π, unos más eficientes que otros, pero que al menos podemos emplear para obtener los primeros decimales: El método de Arquímedes o de los polígonos regulares, el método de Montecarlo y el método empleado por Euler de las series infinitas (problema de Basilea).

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Las esculturas estroboscópicas animadas de John Edmark

John Edmark es profesor de diseño en la Universidad de Stanford.

Entre sus muchos trabajos, resultan fascinantes sus esculturas estroboscópicas impresas en 3D, que cobran vida literalmente ante nuestros ojos.

Escultura estroboscópica de John Edmark (Fuente del video: Colossal)

Estas esculturas están diseñadas para verse animadas cuando se giran bajo una luz estroboscópica.

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El Teorema de Pitágoras explicado con LEGO

Se puede explicar y demostrar el Teorema de Pitágoras de muchas maneras. Algunas de ellas las hemos visto en el blog (6 demostraciones geométricas del Teorema de Pitágoras en 1 minuto o Demostración ¡hidráulica! del Teorema de Pitágoras).

En esta ocasión os traigo una interesante y sencilla animación, realizada por GENIAL, en la que se utilizan piezas de LEGO para hacerlo.

PitagorasLego2

Imagen capturada de la animación.

Espero que os guste y que os sea útil…

La fotografía arquitectónica persa de Mohammad Reza Domiri Ganji

Nasir al-Mulk mosque pnorama

Mezquita Nasir Al-Mulk en Shiraz, Irán

¿Impresionante verdad?

Se trata de la Mezquita Nasir Al-Mulk en Shiraz (Irán), conocida también como la “Mezquita Rosa“, construida durante la dinastía Qajar en 1888.

Esta fotografía panorámica es la favorita de su autor Mohammad Reza Domiri Ganji, fotógrafo iraní de 25 años y estudiante de Física, interesado en la panorámica y la fotografía arquitectónica islámica.

En ella se aprecia como los arquitectos, Muhammad Hasan-e-Memar y Muhammad Reza Kashi Paz-e-Shirazi, pensaron concienzudamente en la simetría, los azulejos, los colores, la entrada de la luz, los dibujos, las repeticiones, los arcos y las vidrieras rosadas.

Según el autor de la misma, encarna cada uno de los detalles de la arquitectura persa tradicional.

Pero veamos otras de sus espectaculares fotografías de esta admirable arquitectura, donde la geometría y la simetría están siempre presentes.

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Porcentajes… Si 100 personas vivieran en la Tierra…

Porcentajes

Porcentajes

¿Es o no importante saber de porcentajes?

Quienes sigan el blog desde hace ya un tiempo sabrán que dimos respuesta a esta pregunta con un sencillo ejemplo en una entrada a la que llamé…

  ¿Por qué hay que saber de porcentajes?

… y la respuesta es SÍ, más que todo para que no nos engañen con facilidad.

Así es que tenemos que saber calcular porcentajes y también interpretarlos. Y eso es lo que pretende esta entrada.

Si consideras que ya dominas suficientemente el cálculo de porcentajes…

¡No te marches aún!

Esta entrada termina con una animación de 2 minutos titulada

“SI 100 PERSONAS VIVIERAN EN LA TIERRA”

que creo que te gustará bastante y es una auténtica interpretación de porcentajes.

Si 100 personas vivieran en la Tierra

Imagen capturada de la animación.

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6 demostraciones geométricas del Teorema de Pitágoras en 1 minuto

El Teorema de Pitágoras probablemente sea el teorema matemático más conocido, y seguro que un porcentaje muy alto de personas serían capaces de enunciarlo.

No obstante, recordaré lo que dice…

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitagoras

Hay una grandísima cantidad de demostraciones de este teorema. A ello contribuyó sin duda el hecho de que en la Edad Media se exigiera una nueva demostración del mismo para alcanzar el grado de “Magíster matheseos”.

Entre dichas demostraciones están las demostraciones geométricas, que suelen gustar más porque “se ven” con mayor facilidad. Y es que los desarrollos algebraicos, por lo general, atraen bastante menos.

Y ese es el objeto de esta entrada, compartir una animación realizada por Beau Janzen para el Festival do minuto de Brasil en la que se muestran seis demostraciones geométricas diferentes del Teorema de Pitágoras a modo de rompecabezas visuales… en 1 minuto.

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La escala del Universo… midiendo cosas

La escala del Universo... midiendo cosas

Cuando medimos cosas, somos conscientes del tamaño que tienen comparándolas con otras. El hecho de que algo lo consideremos grande o pequeño, largo o corto, mucho o poco es, en definitiva, relativo.

Carl Sagan nos contó que hay más estrellas en el universo que granos de arena en todas las playas de la Tierra. Al mismo tiempo, hay más moléculas de H2O en sólo 10 gotas de agua que estrellas.

Desde lo inimaginablemente pequeño hasta lo inimaginablemente grande, la escala del universo es increible, por eso es difícil tener un orden de magnitud correcto de las cosas.

Este video “The Scale of the Universe” (La Escala del Universo), producido por Alex Kuzoian, nos da una idea de a qué se refería Carl Sagan con sus palabras y de esto que estamos hablando.

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El puente y los zombis … ¿puedes resolverlo?

Vas de prácticas a un laboratorio en plena montaña… y quizás eso no haya sido la mejor idea.

zombis

Tiras de una palanca marcada con el símbolo de una calavera para ver qué pasa… eso probablemente tampoco haya sido muy inteligente por tu parte… sobre todo cuando de repente aparece por la puerta que se abre un grupo de zombis que te persigue.

La única salvación es un viejo puente de cuerda. Tienes sólo 17 minutos y te acompañan otras personas que no van precisamente a tu ritmo… el puente tampoco aguanta a más de dos personas a la vez… está oscuro y solo hay una lámpara…

¿Se pueden utilizar las matemáticas para salvaros a todos antes de que lleguen los zombis?

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¿Cómo suena el número áureo?

¿Cómo suena el número áureo?

comosuenaphi

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Ars Qubica… el patrón geométrico de la belleza

Yo creo que en entradas como ésta sobran mis palabras, pues toda la belleza radica en la animación que os quiero mostrar.

Imagen capturada de la animación

Su autor, Cristóbal Vila, es un verdadero genio, al menos para mi y seguro que para muchas y muchos más, y sus trabajos son una auténtica maravilla.

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Mucho más que series de Fourier… “oscillate”

Cuando uno navega por la red se encuentra muchas cosas, unas mejores y otras peores, algunas ni siquiera nos hacen detenernos y otras, sin embargo, captan nuestra atención. De esas, al final sólo nos quedamos con unas pocas que consideramos que realmente merecen la pena.

Ésta que quiero compartir con vosotras y vosotros es una de esas últimas que he mencionado.

Se trata de una animación realizada por Daniel Sierra titulada “oscillate”.

Imagen capturada de la animación “oscillate” de Daniel Sierra

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El Último Teorema de Fermat

Andrew John Wiles es un matemático británico nacido en Cambridge, Inglaterra, el 11 de abril de 1953. Alcanzó la fama mundial en 1995 por la demostración que completó del último teorema de Fermat.

El último teorema de Fermat, conjeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero no demostrado, establece que:

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¿Cómo suena π?

A estas alturas, creo que π no necesita muchas presentaciones.

No obstante, para saber algunas cosas sobre tan famoso número, os recomiendo que visitéis la entrada de este blog:

Hoy es el día del número π

Pero bien, el objeto de esta entrada es mostraros un vídeo de una melodía realizada por el músico Michael Blake, utilizando los 31 primeros decimales de π.

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¿Cómo suena τ?

Está claro que la constante π es bien conocida por todos, pero quizás no lo sea tanto τ. En matemáticas, tau (τ) es una constante propuesta por Bob Palais, Peter Harremoes, Hermann Laurent, Fred Hoyle, Michael Hartl, y otros, que pretende sustituir a la constante del círculo, π. Su principal argumento es que los círculos son definidos de forma más natural por su radio que por su diámetro.

Así, el valor de τ es τ=2π. El símbolo τ fue escogido en referencia a turn (vuelta en inglés) dado que en matemáticas τ-radianes son equivalentes a una vuelta completa.

Pues bien ¿cómo sonará τ?

comosuenatau

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Canción de PI…

La melodía de esta canción está creada considerando el número PI, asignando a cada número una
nota en la escala A menor armónica y, a la vez, añadiendo armonías con la mano izquierda.

Una maravilla.

La teoría de colas… ¿te sientes identificada o identificado?

Todos hemos experimentado en alguna ocasión la sensación de estar perdiendo el tiempo al esperar en una cola (o fila). El fenómeno de las colas nos puede parecer algo natural, ya que esperamos en el coche al estar en un atasco, o en un semáforo mal regulado, o en un peaje; esperamos en el teléfono a que nos atienda un operador y en la cola de un supermercado para pagar; esperamos también en la cola a la entrada de un concierto o para acceder a un estadio….

colas

Generalmente como clientes no queremos esperar, y los gestores de todos esos servicios que hemos mencionado antes no quieren tampoco que esperemos, pues va en contra de su propio negocio. Pero entonces, ¿por qué hay que esperar? La respuesta es casi siempre simple, en algún momento la capacidad de servicio ha sido (o es) menor que la capacidad demandada. Esta limitación se puede eliminar invirtiendo en elementos que aumenten la capacidad. En estos casos la pregunta es: ¿Compensa invertir? La teoría de colas intenta responder a estas preguntas utilizando métodos matemáticos analíticos.

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Matemáticas, mecánica y arte unidos en una animación

Navegar por la red a veces te da muy gratas sorpresas. Ésta que os quiero mostrar es una de ellas.

Se trata de una maravillosa animación realizada por Cristobal Vila (Eterea Estudio), donde se recrean numerosos acertijos y problemas matemáticos, referencias a obras clásicas, juegos, etc. Es espectacular la cantidad de referencias que muestra en tan poco tiempo, y con una fluidez y belleza dignas de admiración.

Os dejo que lo disfrutéis. Yo, desde luego, lo he hecho y mucho.

Demostración ¡hidráulica! del Teorema de Pitágoras

El tan conocido Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Cada uno de los sumandos representa el área de un cuadrado de lados c, a y b, respectivamente. Así que, la expresión anterior se puede plantear en términos de áreas de la forma siguiente:

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Viaje por el interior de una Esponja de Menger

La imagen anterior es una esponja de Menger (bueno, en realidad es un nivel intermedio en el proceso de construcción de una esponja de Menger).

Para quienes no lo sepan, la esponja de Menger (a veces llamada cubo de Menger o bien cubo o esponja de Menger-Sierpiński o de Sierpiński) es un conjunto fractal descrito por primera vez en 1926 por Karl Menger mientras exploraba el concepto de dimensión topológica.

Y ¿cómo se construye?

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El hotel infinito…

HotelHilbert

Imagino que muchas y muchos de vosotros conocéis el Hotel Infinito de Hilbert, aunque habrá también otras muchas y muchos que no lo conozcan.

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¿Se mueven en círculos?

En el siguiente vídeo se observa un conjunto de 8 bolas blancas girando en círculos, pero… ¿realmente se mueven en círculos? Veámoslo.

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Hipercubos geométricos… geometría y arte

De vez en cuando encuentra uno cosas en las redes sociales que le dejan admirado, no sé si tanto por su belleza o por su ingenio, probablemente sea por ambas razones.

Una de ellas es ésta que paso a mostraros: los hipercubos geométricos, llamados por su autor Andreas Hoenigschmid con el nombre de HyperQBS.

En palabras de su autor, se trata de “juguetes de arte geométrico”.
Cada uno de estos cubos está formado por 12 pirámides individuales, conectadas por sus lados mediante imanes.
Con un solo cubo se pueden formar diferentes configuraciones de formas.

Pero esto es solo un ejemplo, lo mejor es verlo en el siguiente vídeo:

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Naturaleza fractal… geometría y números

En esta entrada quiero mostraros una animación realizada por Cristobal Vila, que sencillamente me parece una maravilla.

Como dice el título de la entrada, en ella se unen naturaleza, geometría y números.

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Fractal en 3D… Mandelbox 3D

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.

El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.

En matemáticas, el mandelbox es un fractal especial en forma de caja, resultado del análisis multifractal. Representa los puntos en el espacio que no se van al infinito bajo la acción de un conjunto de transformaciones geométricas. Se puede definir en cualquier número de dimensiones.

mandelbox

La imagen anterior se corresponde a un mandelbox 3D.

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Dame una vara… y te mediré la Tierra

Medida Tierra

¿Conocéis a Eratóstenes?

Eratóstenes nació en Cyrene (Libia) en el año 276 a.C… Hace ya unos años la verdad.

Fue astrónomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta, crítico teatral y matemático. Y es que en aquella época no había tanta especialización como ahora, que nos dedicamos a una cosa… ¡Y dando gracias!

Por aquél entonces el dicho de “quien mucho abarca poco aprieta” parace que tenía bastantes excepciones, y Eratóstenes era una de ellas.

Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año 255 a. C fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría. Trabajó con problemas de matemáticas, como la duplicación del cubo y números primos. Escribió muchos libros de los cuales sólo se tienen noticias por referencias bibliográficas de otros autores.

Eratosthenes

Eratóstenes (Ἐρατοσθένης, Eratosthénēs, en griego antiguo) Imagen de dominio público.

Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue su trabajo sobre la medición de la tierra. Eratóstenes en sus estudios de los papiros de la biblioteca de Alejandría, encontró un informe de observaciones en Siena, unos 800 Km. al sureste de Alejandría, en el que se decía que los rayos solares al caer sobre una vara el mediodía del solsticio de verano (el actual 21 de junio) no producían sombra.

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Multiplicar sin “saber” multiplicar.

Aquí teneis un método gráfico para multiplicar dos números en el que tan solo hace falta saber contar y sumar, y en ningún momento tenemos que utilizar las famosas tablas de multiplicar.

No todo se tiene que hacer siempre como nos han enseñado.

Errores matemáticos… ¿O cuestión de algoritmos?

Como punto de partida, vamos a ver un pequeño fragmento de una película, que nos hará pensar un poco hasta donde lleva la obstinación por los errores matemáticos.

Bueno, al fin y al cabo cada parece ser cuestión de algoritmos de cálculo. Claro que no todos los algoritmos son igual de válidos.

Aunque la calidad de definición no es buena, espero que os guste.

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