Ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita, la x normalmente, aparece formando parte de un logaritmo.

Un ejemplo de ecuación logarítmica sería este:

Los tipos más sencillos de ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones que solo tienen un logaritmo, y la incógnita (la x) es o bien la base del logaritmo o bien el argumento del logaritmo.

Este tipo de ecuaciones se resuelven utilizando la definición de logaritmo y resolviendo después una ecuación bastante sencilla. En el siguiente vídeo os enseño cómo resolver este tipo de ecuaciones con muchos ejemplos:

El resto de ecuaciones logarítmicas se resuelven, en su gran mayoría, utilizando las propiedades de los logaritmos para conseguir tener un único logaritmo con la misma base a cada lado de la ecuación, y así poder quedarse solo con la igualdad de los argumentos de los logaritmos. de esa manera queda una ecuación (generalmente polinómica) que se resuelve y nos da las posibles soluciones de la ecuación logarítmica.

Dichas soluciones debe comprobarse que al sustituirlas en los logaritmos no den argumentos nulos o negativos, ya que esos logaritmos no existen, y por lo tanto no serían soluciones de la ecuación logarítmica.

En los siguientes vídeos vamos a aprender a resolver este tipo de ecuaciones logarítmicas:

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Ecuaciones irracionales

Una ecuación irracional es una ecuación en la que la incógnita, la x, aparece en el radicando de alguna raíz.

Un ejemplo de ecuación irracional sería el siguiente:

Para resolverlas, primero aislaremos una de las raíces que tenga en un miembro de la ecuación, y dejaremos el resto de términos en el otro miembro de la ecuación.

Después de simplificar lo que se pueda, elevaremos al cuadrado ambos miembros de la ecuación. De esa manera, después de hacer operaciones, conseguiremos que desaparezca la raíz que habíamos aislado.

En el caso de tener la ecuación más de una raíz y aún quedarnos otra raíz, volveremos a repetir el proceso, aislando esa raíz en un miembro de la ecuación, operando para simplificar en el otro miembro, y después elevando al cuadrado en ambos miembros de la ecuación.

Una vez eliminadas ya todas las raíces, obtendremos una ecuación polinómica que tendremos que resolver.

Cuando elevamos al cuadrado una ecuación no siempre se obtiene una ecuación equivalente, por lo que tenemos que comprobar que las soluciones obtenidas cumplen la ecuación inicial. Si la cumplen son soluciones de la ecuación irracional, pero si no la cumplen no lo serán.

Pero todo esto se ve y entiende mucho mejor en la práctica con ejemplos y explicándolo todo paso a paso y con detalle, así que te dejo aquí tres vídeos del canal de YouTube de Matematicascercanas con los que vas a aprender a resolver ecuaciones irracionales sin ningún problema:

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Ecuaciones racionales

Una ecuación racional es una ecuación en la que aparecen fracciones algebraicas y, por lo tanto, la incógnita aparece en los denominadores.

Este sería un ejemplo de ecuación racional:

Para resolverlas, empezaremos por sustituir las fracciones algebraicas de la ecuación por otras fracciones equivalentes que tengan todas el mismo denominador.

Dicho denominador va a ser el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello será fundamental saber factorizar los polinomios que tengamos en los denominadores.

Una vez que todas las fracciones algebraicas tengan ya el mismo denominador, eliminaremos dichos denominadores y nos quedaremos solo con los numeradores, de manera que obtendremos una ecuación polinómica que tendremos que resolver.

Por último, dado que los denominadores de las fracciones de nuestra ecuación racional no pueden ser nulos (ya sabemos que no se puede dividir entre cero), tendremos que comprobar que las soluciones que hayamos obtenido no anulen los denominadores de la ecuación inicial. Si anulan alguno de los denominadores no serán entonces solución de la ecuación racional, y si no anulan ninguno sí lo serán.

Pero todo esto se ve y entiende mucho mejor en la práctica con ejemplos y explicándolo todo paso a paso y con detalle, así que te dejo aquí tres vídeos del canal de YouTube de Matematicascercanas con los que vas a aprender a resolver ecuaciones racionales sin ningún problema:

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Repartos directamente proporcionales e inversamente proporcionales

Vamos a aprender a realizar repartos de dos formas diferentes: Repartos directamente proporcionales, y repartos inversamente proporcionales.

En un reparto directamente proporcional, se reparte una cantidad determinada (puede ser dinero o cualquier otra cosa) de forma directamente proporcional a una serie de valores dados (edades, dinero aportado…).

Así, al mayor valor le corresponde la mayor cantidad, y al menor valor le corresponde la menor cantidad.

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Ecuaciones de grado mayor que dos

Vamos a aprender a resolver ecuaciones de grado mayor que dos.

En anteriores publicaciones aprendimos a resolver ecuaciones de primer grado, y a resolver ecuaciones de segundo grado.

Una ecuación de grado mayor que dos es una ecuación en la que el mayor exponente al que está elevada la variable es mayor que dos. Se trata, por lo tanto, de ecuaciones de tercer grado, de cuarto grado… Por ejemplo, la siguiente ecuación sería una ecuación de cuarto grado:

x4 – 3x3 – 13x2 + 15x + 6 = 0

Una cosa a tener en cuenta es que si la ecuación es de grado n va a tener como máximo soluciones reales. Así, si la ecuación es de tercer grado, como máximo podrá tener tres soluciones reales; si es de cuarto grado, tendrá como máximo cuatro soluciones reales…

Además, si tiene soluciones enteras, éstas son necesariamente divisores del término independiente de la ecuación (el término que no tiene x).

Para resolver una ecuación de grado mayor que dos, utilizamos distintas herramientas: Extraer factor común, la regla de Ruffini, el teorema del factor, resolver ecuaciones de segundo grado, las identidades notables. Es decir, las mismas herramientas que utilizábamos para factorizar un polinomio, ya que el procedimiento que vamos a seguir es similar.

En los siguientes vídeos lo vamos a ver todo con detalle y explicado paso a paso. En el primero resolveremos una ecuación de tercer grado, en el segundo una ecuación de cuarto grado, y en el tercer vídeo una ecuación de quinto grado. No obstante, el procedimiento que vamos a aprender nos va a servir para resolver cualquier tipo de ecuación de grado mayor que dos.

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Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Vamos a aprender a multiplicar y dividir fracciones algebraicas.

En publicaciones anteriores estuvimos viendo cómo sumar y restar fracciones algebraicas, y también cómo simplificar fracciones algebraicas.

Para multiplicar fracciones algebraicas seguimos el procedimiento que utilizábamos en la multiplicación de fracciones numéricas, es decir, multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y colocamos dicho producto en el numerador, y multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y colocamos ese producto en el denominador.

Pero lo hacemos, y esto es muy importante, de forma indicada. Es decir, no hacemos aún la multiplicación, sino que lo dejamos de forma indicada como un producto de polinomios.

¿Por qué lo hacemos así?

Muy sencillo, porque la idea es poder simplificar de la manera más sencilla posible la fracción resultante de dicho producto de fracciones algebraicas, y como vimos que para simplificar fracciones algebraicas había que factorizar tanto el numerador como el denominador, de esta forma tenemos una buena parte del trabajo de factorización ya hecho.

Solo nos quedaría intentar factorizar los polinomios que aparecen si se puede y, por último, simplificar los factores que aparezcan a la vez en el numerador y en el denominador (el procedimiento que vimos en la simplificación de fracciones algebraicas).

Y ya, como último paso, haríamos ahora sí los productos que nos hayan quedado.

Pero como todo esto se ve mucho mejor a través de ejemplos, te lo explico con detalle y paso a paso en el siguiente vídeo:

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Suma y resta de fracciones algebraicas

Vamos a aprender a sumar y restar fracciones algebraicas.

Para realizar sumas y restas con fracciones algebraicas se utilizan los mismos procedimientos que en las sumas y restas con fracciones numéricas.

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Nuevo récord de cálculo de decimales del número Pi… 62,8 billones

El pasado sábado, 14 de agosto de 2021, se batió el récord mundial de cálculo de decimales del número Pi, estableciéndolo en 62,8 billones de decimales (exactamente 62 831 853 071 750 decimales).

Después de 108 días, 9 horas, 4 minutos y 19,2 segundos, la computadora de alto rendimiento del Centro de Análisis, Visualización y Simulación de Datos (DAViS) perteneciente a la Universidad de Ciencias Aplicadas de los Grisones (FHGR) en Suiza, superó el antiguo récord mundial de 50 billones de decimales en 12,8 billones de nuevas cifras.

Lo impresionante de este nuevo récord no son solo los 12,8 billones de nuevos decimales calculados, sino que, aunque pueda parecer mucho tiempo los algo más de 3 meses y medio que se han necesitado, es casi dos veces más rápido que el récord que Google estableció en 2019, y alrededor de 3,5 veces más rápido que el último récord mundial de 2020.

Fuente de la imagen

Por cierto, los últimos 10 decimales conocidos del número Pi son:

7817924264

En la imagen anterior podéis ver los últimos 96 decimales (Last Decimal Digits: Pi).

Como anécdota, que da una idea de la magnitud de las cifras decimales calculadas, os diré que el número (escrito en base hexadecimal, que es la base con la que se va obteniendo por primera vez y que después se convierte a decimal) en un formato comprimido utiliza unos 24 TB de espacio en disco (si no estuviera comprimido ocuparía 48 TB). Para almacenarlo en base decimal se han necesitado 63 archivos comprimidos.

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Posición relativa de dos rectas en el plano

En el plano, dos rectas pueden ser: Secantes (tienen distinta pendiente y se cortan en un punto), paralelas (tienen la misma pendiente y pasan por distintos puntos, no cortándose nunca), o coincidentes (tienen la misma pendiente y pasan por los mismos puntos).

Estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano consiste por lo tanto en determinar, a partir de sus ecuaciones, si dos rectas son secantes, paralelas o coincidentes.

Podemos hacerlo de distintas formas. Nosotros vamos a hacerlo aquí utilizando dos procedimientos diferentes: A partir de la ecuación explícita de las rectas, y a partir de su ecuación general.

En este primer vídeo te explico cómo estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano utilizando su ecuación explícita:

En este segundo vídeo aprenderemos a estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano utilizando su ecuación general:

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El cubo de Rubik: Juego, Matemáticas y Educación

A mediados de la década de 1970,  el escultor y profesor de arquitectura húngaro Erno Rubik trabajaba en el Departamento de Diseño de Interiores en la Academia de Artes y Trabajos Manuales Aplicados en Budapest.

Fue entonces cuando, intentando resolver el problema estructural de lograr mover las partes de una estructura independientemente sin que el mecanismo entero de la estructura se desmoronara, al mezclar el cubo que había ideado e intentar volverlo a la posición original, se dio cuenta de que había creado un rompecabezas.

Tras el éxito que tuvo su cubo entre sus amigos y sus alumnos, Erno Rubik decidió patentarlo, obteniendo una patente húngara en 1975, y comenzando a venderse como rompecabezas en Hungría, y con el nombre de cubo mágico.

En 1980 empezó a venderse internacionalmente, mediante la compañía Ideal Toys y ya con el nombre de cubo de Rubik, convirtiéndose con el tiempo en el rompecabezas más vendido del mundo. Porque, ¿quién no ha tenido en sus manos alguna vez un cubo de Rubik?

 

Las matemáticas del cubo de Rubik

La primera pregunta que nos puede surgir al ver un cubo de Rubik clásico (de 3 x 3 x 3) es:

¿De cuántas formas diferentes se puede mezclar un cubo de Rubik?

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Extraer factor común en un polinomio

Si todos los términos de un polinomio tienen factores comunes, se puede expresar el polinomio como el producto de un monomio (factor común) por otro polinomio que resulta de haber extraído ese factor común en cada uno de los términos del polinomio inicial.

A este procedimiento se lo conoce como extraer factor común en un polinomio.

¿Cómo se hace?

Te lo explico todo con detalle y con bastantes ejemplos resueltos en el siguiente vídeo:

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¿Cómo suena el número e?

La constante matemática e es uno de los números irracionales más importantes.​

Aparece en muchas ramas de las Matemáticas, ya que es la base de los logaritmos naturales y forma parte de muchos problemas.

Se conoce también como número de Euler o constante de Napier, y fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.

Es un número fundamental en el cálculo y en el análisis matemático.

Como número irracional que es, no se puede expresar mediante una fracción de dos números enteros. Se trata, por lo tanto, de un número con infinitas cifras decimales, pero que no es periódico.

Además, igual que π, es un número trascendente, es decir, que no puede ser raíz de ecuación algebraica alguna con coeficientes racionales.

​El valor de e en sus primeras cifras decimales es:

2,71828182845904523536028747135266249775724709…

Pero bien, el objeto de esta publicación no es tanto hablar sobre el número e sino saber cómo podría sonar.

Sí, sonar. Habéis leído bien.

Para saberlo, como ya hice en las entradas ¿Cómo suena π? , ¿Cómo suena τ? y ¿Cómo suena φ?, lo mejor es mostraros el trabajo del músico Michael Blake, que compuso una melodía con los primeros dígitos del número e y utilizando distintos instrumentos a la vez.

Os dejo que la escuchéis y me decís qué os parece.


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La geometría con la que atrapan su pesca las ballenas jorobadas

Las ballenas jorobadas utilizan distintas técnicas de caza. Se arrojan con la boca abierta a un grupo de peces o plancton y tratan de recoger la mayor cantidad de agua posible para luego filtrar las presas con sus barbas.

Una de esas técnicas consiste en crear redes de burbujas para atrapar a los peces y evitar que se escapen. También cazan aturdiendo a los peces con golpes de cola o de sus aletas pectorales.

Representación gráfica del pastoreo pectoral vertical de una ballena jorobada. Las presas se indican en amarillo. (a) La ballena despliega una red de burbujas en espiral ascendente para acorralar a sus presas y establecer la primera barrera; luego, las aletas pectorales se extienden para formar una «V» alrededor de la boca abierta (representada por flechas azules), creando una segunda barrera física. (b) Cambio en el ángulo de ataque (α) de 0° a 90° formación pectoral vertical. (c) Comparación de la posición del cuerpo y las aletas antes y después. Gráfico de Kyle Kosma. (Fuente)

La táctica de las ballenas consiste en situarse debajo de los bancos de peces y empezar a dibujar espirales exhalando aire. Las burbujas acaban formando una barrera que obliga a las presas a concentrarse cada vez más.

Al final, cuando éstas se sitúan cerca de la superficie, utilizan sus aletas pectorales para acercar las presas a su boca y capturarlas.

Representaciones gráficas del pastoreo pectoral horizontal de una ballena jorobada. Las presas se indican en amarillo. Etapa A: Despliegue de una red de burbujas en espiral ascendente para acorralar a la presa y establecer la primera barrera. Etapa B: Movimiento del pectoral izquierdo dentro y fuera del agua, a lo largo del borde de la barrera de la red de burbujas, creando una barrera secundaria. Etapa C: Embestida para engullir a la presa. Gráfico de Kyle Kosma. (Fuente)

En el siguiente vídeo, de solo unos segundos, se puede ver la red espiral de burbujas y cómo aparece la ballena desde su zona central.

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Números narcisistas

Como indico en la imagen anterior, un número narcisista es aquel que es igual a la suma de sus dígitos elevados a la potencia de su número de cifras.

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Dividir entre cero…

En más de una ocasión habrás oído, o tu profesora o profesor de matemáticas te habrá dicho, que «no se puede dividir entre cero» (como desea Aladdín poder hacer en la viñeta anterior), pero también habrás escuchado que «un número dividido entre cero da infinito«.

¿Entonces?

¿En qué quedamos?

¿Se puede o no se puede?

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¿Cómo saber si un triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo a partir de sus lados?

Vamos a ver un ejemplo.

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Números de Munchausen

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La Espiral de Teodoro

La espiral de Teodoro, también llamada caracola pitagórica, espiral pitagórica, espiral de Einstein o espiral de raíces cuadradas (será por nombres) es una espiral formada por triángulos rectángulos contiguos, atribuida a Teodoro de Cirene.

Teodoro de Cirene (465 a. C. – 398 a. C.) fue un filósofo y matemático griego nacido en Cirene, que probó la irracionalidad de las raíces de los números enteros no cuadrados (2, 3, 5, 6, 7…), al menos hasta 17, excepto la raíz cuadrada de 2 de la que ya se tenían noticias de su irracionalidad en épocas anteriores a Teodoro.

A partir de las raíces de los números enteros y del Teorema de Pitágoras es como se desarrolla la espiral que lleva su nombre.

Primeros pasos de la Espiral de Teodoro de Cirene (De Pbroks13 de Wikipedia en inglés, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4171437)

El proceso de construcción de la Espiral de Teodoro es el siguiente:

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Caminando por la banda de Moebius…

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¡Culpable! Pablo motos piensa que…

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