La nota de Fermat. Este título es demasiado pequeño para que quepa en él

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Teselaciones regulares con un solo tipo de polígono regular

Un teselado o teselación​ consiste en una regularidad o patrón de figuras que cubren completamente una superficie plana, de manera que no quedan espacios ni tampoco se superponen las figuras.

Los teselados se crean usando transformaciones isométricas (sin variar las dimensiones ni el área) sobre una figura inicial, es decir, copias idénticas de una o diversas piezas o teselas con las cuales se componen figuras para recubrir totalmente una superficie.

De los muchos tipos de teselaciones que hay, la más básica podríamos decir que es la teselación regular o teselado regular, en la que se utiliza solo un tipo de polígono regular.

Pues bien, solo son posibles teselados regulares empleando triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. Con un pentágono regular, por ejemplo, no se puede.

Te lo muestro en la siguiente animación:

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22/7 El día de π “arquimediano” o Día de aproximación de π

Como supongo que ya sabréis el 14 de Marzo se celebra el Día de π , por aquello de que en el formato de fecha estadounidense (mes/día/año), ese día sería 3/14 (considerando solo el mes y el día), y 3,14 es la aproximación de π con dos decimales por defecto.

Dicha celebración fue idea del físico del San Francisco Exploratorium Larry Shaw, y con el tiempo fue ganando en popularidad, hasta que en 2009 una resolución favorable de la Cámara de Representantes de los Estados Unidos declaró oficialmente el 14 de marzo como Día Nacional de Pi.

Pero, como es bien sabido, el formato de fecha empleado en buena parte de países del mundo (entre ellos los de habla hispana) es día/mes/año.

Mapa que muestra el formato de fecha empleado por cada país (fuente)

Con dicho formato, el 14 de marzo, olvidándonos también del año, sería 14/3, que en nada se parece ya a π.

Sin embargo la fecha del día de hoy, 22 de julio, sería 22/7 y resulta que ésta es una aproximación de π bastante buena, de hecho mejor que la de 3,14:

22/7 = 3,142857142…

|π-22/7| < |π-3,14|

Por esta razón, la de ser una buena aproximación de π, este día se celebra también como el Día de aproximación de π.

Pero ¿de dónde viene?

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Resolución de problemas, la heurística y el problema del burro y las zanahorias

Desde la más remota antigüedad, la actividad principal del matemático ha sido la resolución de problemas. Hasta hace relativamente poco tiempo no existía una denominación específica para una ciencia que se ocupe de los métodos de resolución de problemas; esta ciencia es la denominada heurística moderna.

La heurística (término proveniente del griego “heurisko”: hallar, descubrir) se consideró durante años “el arte de inventar“. Era una ciencia que tenía mucho que ver con la lógica, la psicología o la filosofía, aunque su significado ha evolucionado actualmente hacia la concepción moderna que he comentado.

Fijaos que ya he mencionado tres palabras que a mí personalmente me gustan mucho: “descubrir“, “inventar” y “lógica“, y que creo que son buena parte de la esencia de las matemáticas.

Podríamos decir que el razonamiento heurístico tiene como objetivo descubrir la solución de un problema; por lo tanto, no es definitivo y no tiene por qué ser riguroso, sino que simplemente es provisional y plausible y, por supuesto, no debe confundirse con una demostración matemática.

Pero ¿qué es un problema?

Una definición sencilla que a mí me gusta es la que dan Bransford y Stein, según los cuales un problema es un obstáculo que separa la situación actual de una meta deseada (1).

Pero yo no voy a adentrarme aquí en la heurística y en los distintos modelos de resolución de problemas, pues habrá personas que conozcan mucho más sobre el tema y seguro que lo pueden hacer infinitamente mejor que yo. Prefiero centrarme en algo que creo que se me da mejor, que es plantear un problema y ver cómo podemos resolverlo.

Y digo “podemos” porque me gustaría que lo hiciésemos juntos.

Sea cual sea el tipo de problema al que nos enfrentemos, sí parece claro que hay una serie de fases necesarias para resolverlo, y esto lo dejó bastante claro el matemático húngaro George Pólya en su libro “How to solve it(2): Comprender el problema, concebir un plan o estrategia, ejecutar el plan, y examinar la solución obtenida.

Aunque estas cuatro etapas se presentan teóricamente separadas, en el proceso de resolución de un problema se mezclan unas con otras. Por ejemplo, a la vez que se va entendiendo un enunciado van surgiendo ideas que iluminan el plan de resolución, y a la vez que vamos ejecutando nuestro plan descubrimos “cosas” que nos hacen modificarlo o mejorarlo.

Y esto es lo verdaderamente interesante y lo que nos va a pasar a nosotros.

¡De acuerdo, tenéis razón! No hago más que hablar de “problema” y aún no he planteado ninguno.

Vamos con él. El problema dice así…

“Tenemos que transportar con un burro 900 zanahorias a un mercado, que está a 300 km de distancia de donde nos encontramos.

burroyzanahoriasEl burro puede transportar como máximo 300 zanahorias y, además, necesita comer una zanahoria por cada kilómetro que recorre. Si no lleva zanahorias para comer se detiene y no sigue caminando.

¿Cuál el el mayor número de zanahorias que conseguiremos transportar hasta el mercado?”

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Vamos a hacerle cosas a la “U”… o a la “V”… bueno, yo me entiendo

¿Hacerle cosas a la “U“? ¿A la “V“?

En realidad está más bien a camino entre la “U” y la “V“.

¡Ah! Que no sabes muy bien de qué estoy hablando…

Perdona, quería referirme a la representación gráfica de la función:

y = x2

que, por si no lo sabes, te contaré que es una parábola vertical cuyo vértice está justo en el origen de coordenadas. Algo como esto…

Pero mejor vamos a poner nombres a las cosas…

Bien, ésta que acabamos de ver es la más sencilla de las funciones cuadráticas de una variable (nuestra variable es “x”), cuya expresión es un polinomio de segundo grado (el mayor exponente al que está elevada la variable “x” es 2).

Pero he dicho que íbamos a hacerle cosas, así que empecemos…

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Les Luthiers, Premio Princesa de Asturias de Comunicación y Humanidades 2017, y su “Teorema de Thales”

El Premio Princesa de Asturias de Comunicación y Humanidades 2017 ha recaído este miércoles en el grupo argentino de humor y música Les Luthiers.

Caricatura de “Les Luthiers” de Santiago Castro, 2010 Argentina. (Fuente)

Les Luthiers, que se autodefinen como “humoristas que utilizan como vehículo la música, el buen gusto y la inteligencia“, iniciaron su andadura en los escenarios en 1967, por lo que llevan ya medio siglo sobre las tablas.

En sus espectáculos, donde se suceden las escenas cómicas, incorporan habitualmente instrumentos informales creados a partir de materiales de la vida cotidiana. De esta característica proviene precisamente su nombre, luthier, palabra del idioma francés que designa al fabricante, ajustador y encargado de la reparación de ciertos instrumentos musicales.

Pero…

… si esto es un blog de matemáticas…

… ¿Qué hago yo hablando aquí de ellos?

Pues, aparte de porque son una auténtica genialidad y me apetecía hacerlo, al ver la noticia de su merecidísimo Premio, me ha venido a la mente su maravillosa interpretación del “Teorema de Thales (Divertimento matemático)“, que como parece obvio tiene como fondo el conocido Teorema de Tales.

Del Teorema de Tales, para quien quiera recordarlo, hablé en su momento en la entrada:

La Pirámide de Keops

por lo que no me voy a extender aquí ahora y directamente paso a mostraros su genial interpretación.

Por Youtube se pueden encontrar distintas versiones que algunas personas han hecho con ilustraciones utilizando de fondo el audio de su actuación, pero yo he preferido poneros aquí la original grabada en 1978 en Chile, hace nada más y nada menos que 39 años (entonces no había Youtube, de hecho faltaban bastantes años para que se crease la World Wide Web (www)…).

Os dejo con ella y espero que la disfrutéis…

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El artista geómetra del fondo del mar

En 1995 apareció a casi 30 metros de profundidad en el fondo marino de las costas del sur de Japón, en las cálidas aguas de la isla de Amami Ōshima, una estructura circular de unos dos metros de diámetro.

Círculo misterioso (fuente)

Cada vez que los buceadores de la zona se sumergían encontraban estos extraños dibujos en distintas zonas del fondo marino.

Círculo misterioso en el fondo marino (fuente)

Como se desconocía su origen, los buzos locales decidieron llamarlos “círculos misteriosos”.

Y “misteriosos” continuaron siendo hasta que en 2011 se descubrió quién era el culpable de estas estructuras geométricas tan particulares…

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Segundas rebajas… ¡Qué ganga! ¿O no tanto? – Porcentajes encadenados

¡Segundas rebajas en la tienda de informática que está cerca de tu casa!

Nada más verlo se te ha venido a la cabeza aquella tablet que te gustaba tanto y que habían rebajado hace unos meses un 40% porque era ya un modelo bastante antiguo.

Aún con la rebaja resultaba demasiado cara para ti, porque se quedaba en 204,12 euros y tú solo tenías los 80 euros que habías reunido en tu cumpleaños. Estaba claro que era mucha tablet para lo que podías permitirte.

¡Pero ahora anuncian un descuento de un 50% adicional!

Rápidamente has pensado… ¡Un 90%! ¡Qué ganga!

Así que subes corriendo a casa a por tus 80 euros que has tenido guardados desde entonces y vuelves a la tienda con la esperanza de que aún tengan aquella tablet…

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Algunas maneras de obtener decimales de π

El número π es seguramente el número más famoso de las matemáticas.

Como todo el mundo sabrá su valor es 3y algo más“.

Sobre ese “y algo más” la gran mayoría recuerda que es 3,14… (aproximación con dos decimales que habitualmente se utiliza en la escuela), o con algún decimal más 3,1415926… o, en un alarde de capacidad memorística, puede que 3,14159265358979323846264

Pared del Mathematikum de Giessen con algunos de los decimales de Pi (Imagen de Dontworry bajo Licencia CC BY-SA 4.0 via Wikimedia Commons)

Incluso se puede llegar al extremo del joven estudiante Rajveer Meena, que fue capaz de decir de memoria 70.000 decimales el 21 de marzo de 2015 en un tiempo de 9 horas y 7 minutos.

Sí, no me he equivocado… ¡70.000!… conmigo no contéis para algo así porque lo mío es razonar, no memorizar.

Pero ¿cómo podemos calcular decimales de π?

 Ya en el Papiro de Ahmes, conocido también como Papiro Rhind, escrito por el escriba Ahmes (A’h-mosè) a mediados del siglo XVI a. C. se hacía una aproximación de π considerando que un cuadrado de lado 8 equivalía en superficie a un círculo de diámetro 9.

Parte de la primera sección del Papiro de Ahmes o Papiro Rhind (Imagen de dominio público).

A lo largo de la historia se han ido utilizando nuevos métodos que han permitido obtener mejores aproximaciones de este tan popular número.

En el siguiente vídeo de Quantum Fracture se muestran, de manera bastante didáctica y amena, tres métodos que permiten ir obteniendo decimales de π, unos más eficientes que otros, pero que al menos podemos emplear para obtener los primeros decimales: El método de Arquímedes o de los polígonos regulares, el método de Montecarlo y el método empleado por Euler de las series infinitas (problema de Basilea).

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Las esculturas estroboscópicas animadas de John Edmark

John Edmark es profesor de diseño en la Universidad de Stanford.

Entre sus muchos trabajos, resultan fascinantes sus esculturas estroboscópicas impresas en 3D, que cobran vida literalmente ante nuestros ojos.

Escultura estroboscópica de John Edmark (Fuente del video: Colossal)

Estas esculturas están diseñadas para verse animadas cuando se giran bajo una luz estroboscópica.

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La multiplicación en el Antiguo Egipto

En el Antiguo Egipto el método que se utilizaba para multiplicar no requería conocer las tablas de multiplicar y era necesario tan solo saber sumar pues, aunque se conozca como multiplicación por duplicación, duplicar un número no es otra cosa que sumarlo consigo mismo.

Sabemos de este método, que tiene una antigüedad de más de 4.000 años, gracias al Papiro matemático de Rhind, también conocido como Papiro de Ahmes.

Parte de la primera sección del Papiro de Ahmes o Papiro Rhind (Imagen de dominio público)

Antes de explicar en qué consiste el método de multiplicación egipcio, permitidme que recuerde cómo era el sistema de numeración que utilizaban los egipcios, cuya naturaleza explica por qué multiplicaban así.

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Lo más visto de matematicascercanas en 2016

Ha terminando 2016, un año que sin duda alguna ha sido muy bueno para matematicascercanas gracias a todos vosotros.

En su primer año (2014) el blog tuvo 92.719 visitas, en 2015 el número de visitas fue de 521.432 y, en éste su tercer año de vida (2016) ha recibido 967.387 visitas, sumando un total de 1.581.538 desde que se creó.

Haber podido llegar a mucha más gente ha sido en parte gracias al crecimiento del número de seguidores de la página de Facebook del blog, que ha pasado de 10.455 al empezar el año a 51.058.

Y este gran año se ha visto premiado, gracias a vuestro apoyo, con ser Finalista en los Premios Bitácoras 2016 en la categoría de “Mejor Blog de Educación y Ciencia“.

Aunque como ya dije en el resumen del año anterior, lo más importante es que hemos ayudado a que se hable más de matemáticas y a que sean algo más accesibles para todos.

Y, como no habréis entrado aquí para que os cuente todo esto, sino para ver lo que dice el título de la entrada, vamos ya con el resumen de las entradas más visitadas del blog durante este año que ha terminado.

Han sido 72 las entradas publicadas en este 2016, con lo que muchas se quedan fuera de este listado y algunas, que aún tienen poco tiempo de vida, seguro que serán a la larga más vistas que bastantes de las que aparecen.

Las 20 entradas más visitadas en este año 2016 que ha terminado han sido (puedes acceder a cada una de ellas pinchando en su título o en la imagen):

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¿Por qué los puzles de 2.000 piezas no tienen 2.000 piezas?

No sé si en algún momento alguien que tenga un puzle de 2.000 piezas se ha parado a contarlas.

De hecho os diréis que para qué contarlas si en la caja ya pone que son 2.000… ¿Por qué nos iban a mentir?

Pues bien, lo cierto es que muchos puzles de 2.000 piezas no tienen 2.000 piezas, y ocurre con los que tienen forma de rectángulo “bonito” (esos que nos parecen “más rectángulo”).

puzle2000piezas

Pero… ¿Por qué no van a tener todas las piezas?

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El número áureo… y la Tierra y la Luna

Docenas de huevos… ¿Por qué no decenas?

Al margen de cuestiones culturales, la docena ha sido durante mucho tiempo uno de los sistemas de medida habituales.

El uso más antiguo conocido del sistema duodecimal se remonta hasta los astrónomos de Mesopotamia, y aún se sigue utilizando al dividir el año en doce meses, y el día en doce horas diurnas y doce nocturnas…

… y, también,  para contar y vender huevos.

Desde luego, venderlos por peso, como se hace con otras muchas cosas, no parece ser muy práctico, fundamentalmente por la propia fragilidad de los huevos.

Yo no me imagino metiendo huevos a granel en una bolsa, cerrándola con un nudo y soltándola primero en la báscula para pesarlos y después en el carro de la compra… no sé cuántos huevos llegarían íntegros a mi casa.

Parece claro que lo mejor es venderlos por unidades y cuidando que no se puedan romper con facilidad.

Pero… ¿Por qué en docenas y no, por ejemplo, en decenas?

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¿Cómo se obtiene la fórmula de las ecuaciones polinómicas de segundo grado?

Seguro que has resuelto más de una vez una ecuación polinómica de segundo grado de una variable, también conocida como ecuación cuadrática, cuya expresión general es:

segundogrado02

donde a, b y c son los coeficientes y x es la variable.

En la cual necesariamente a≠0, pues de lo contrario el primer término se anularía y ya no sería una ecuación de segundo grado.

Para hacerlo, habrás utilizado la famosa fórmula, que muy probablemente se habrá quedado grabada en tu cabeza, de

segundogrado01

¡Bendita expresión que simplifica tanto las cosas!

segundogrado00

Pero…

¿Sábes de dónde sale?

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¿Cuál es el mayor número que puedes obtener utilizando tres dígitos?

Supón que puedes utilizar tres dígitos, los que tú quieras, y te piden que obtengas el mayor número que seas capaz con ellos.

Por supuesto, lo debes hacer en el sistema de numeración decimal (el que utilizamos habitualmente).

numerosmontana

Puestos a escoger dígitos optas por utilizar el 9, el mayor de entre los que dispones (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9).

Y lo primero que se te ocurre es formar con tres nueves el…

999

Pero…

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De Tales a Pitágoras en la esquina de una página

detalesapitagoras

Hace un tiempo era normal marcar los puntos de lectura en un libro (por donde hemos dejado de leer para continuar en otro momento) doblando la esquina superior o inferior de la página.

esquina_doblada

Pero, alguien pensará que esto es todo un atentado a la integridad del libro…

… Y no le faltará razón, pues aunque intentemos “deshacer el mal”, la marca se queda ya en la página… y desde pequeños nos han dicho siempre que los libros hay que cuidarlos (gran verdad).

Además, para esto están precisamente los marcapáginas que, si tenemos niños en las primeras etapas escolares desplegando su creatividad en forma de manualidades, no nos faltarán, a no ser que hayan desaparecido “misteriosamente” (sí, esos duendes que entran por la noche en casa cuando estamos todos dormidos y se llevan algunos de los dibujos y manualidades fruto de la incesante y prolífera creatividad de nuestros hijos… ¡Qué insensibles!).

Pero volvamos a la doblez de la esquina de la página porque, a pesar de suponer un acto un tanto irresponsable, podemos aprender matemáticas con ella.

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Hoy es 04/09/16… un día “cuadrado” y… ¡”Perfecto”!

Hoyes234

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El Teorema de Pitágoras explicado con LEGO

Se puede explicar y demostrar el Teorema de Pitágoras de muchas maneras. Algunas de ellas las hemos visto en el blog (6 demostraciones geométricas del Teorema de Pitágoras en 1 minuto o Demostración ¡hidráulica! del Teorema de Pitágoras).

En esta ocasión os traigo una interesante y sencilla animación, realizada por GENIAL, en la que se utilizan piezas de LEGO para hacerlo.

PitagorasLego2

Imagen capturada de la animación.

Espero que os guste y que os sea útil…

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Botella de Klein… La “botella” que no tiene ni interior ni exterior

Botella de Klein

Centro de reciclado de botellas de Klein

Traducción: “Centro de reciclado de botellas de Klein”

¿Qué es una botella de Klein?

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La fotografía arquitectónica persa de Mohammad Reza Domiri Ganji

Nasir al-Mulk mosque pnorama

Mezquita Nasir Al-Mulk en Shiraz, Irán

¿Impresionante verdad?

Se trata de la Mezquita Nasir Al-Mulk en Shiraz (Irán), conocida también como la “Mezquita Rosa“, construida durante la dinastía Qajar en 1888.

Esta fotografía panorámica es la favorita de su autor Mohammad Reza Domiri Ganji, fotógrafo iraní de 25 años y estudiante de Física, interesado en la panorámica y la fotografía arquitectónica islámica.

En ella se aprecia como los arquitectos, Muhammad Hasan-e-Memar y Muhammad Reza Kashi Paz-e-Shirazi, pensaron concienzudamente en la simetría, los azulejos, los colores, la entrada de la luz, los dibujos, las repeticiones, los arcos y las vidrieras rosadas.

Según el autor de la misma, encarna cada uno de los detalles de la arquitectura persa tradicional.

Pero veamos otras de sus espectaculares fotografías de esta admirable arquitectura, donde la geometría y la simetría están siempre presentes.

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22/7 Día de aproximación de Pi o Casual Pi Day ¡Su historia en 15 viñetas!

Hoy 22 de julio se celebra el Día de aproximación de Pi o Casual Pi Day.

Y esto, que a más de uno le parecerá bastante “friki”, se hace cada año en esta fecha.

¿Por qué se celebra en este día?

Porque la fecha de hoy escrita en el formato internacional (día/mes) es 22/7, y si lo consideramos como una fracción y dividimos obtenemos…

22/7 = 3,142857142…

que es una buena aproximación del número Pi.

¿Por qué digo que es buena?

Está claro que no es la mejor de todas, pero si intentáis buscar otra aproximación mejor de π con otra fecha del año utilizando este formato de día/mes no la encontraréis.

¿Vemos la historia de este día de una forma divertida?

Casual Pi Story

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Porcentajes ¡Todo lo que necesitas saber!

Porcentajes

Porcentajes

¿Es o no importante saber de porcentajes?

Quienes sigan el blog desde hace ya un tiempo sabrán que dimos respuesta a esta pregunta con un sencillo ejemplo en una entrada a la que llamé…

  ¿Por qué hay que saber de porcentajes?

… y la respuesta es SÍ, más que todo para que no nos engañen con facilidad.

Así es que tenemos que saber calcular porcentajes y también interpretarlos. Y eso es lo que pretende esta entrada.

Si consideras que ya dominas suficientemente el cálculo de porcentajes…

¡No te marches aún!

Esta entrada termina con una animación de 2 minutos titulada

“SI 100 PERSONAS VIVIERAN EN LA TIERRA”

que creo que te gustará bastante y es una auténtica interpretación de porcentajes.

Si 100 personas vivieran en la Tierra

Imagen capturada de la animación.

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El “truco” del número de tres dígitos

Piensa un número de tres dígitos que tenga todos sus dígitos diferentes entre si.

¿Lo tienes ya?

Yo he pensado en el

truco3digitos_01

Seguimos entonces (tú puedes hacerlo con tu número, el mío es sólo un ejemplo)…

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6 demostraciones geométricas del Teorema de Pitágoras en 1 minuto

El Teorema de Pitágoras probablemente sea el teorema matemático más conocido, y seguro que un porcentaje muy alto de personas serían capaces de enunciarlo.

No obstante, recordaré lo que dice…

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitagoras

Hay una grandísima cantidad de demostraciones de este teorema. A ello contribuyó sin duda el hecho de que en la Edad Media se exigiera una nueva demostración del mismo para alcanzar el grado de “Magíster matheseos”.

Entre dichas demostraciones están las demostraciones geométricas, que suelen gustar más porque “se ven” con mayor facilidad. Y es que los desarrollos algebraicos, por lo general, atraen bastante menos.

Y ese es el objeto de esta entrada, compartir una animación realizada por Beau Janzen para el Festival do minuto de Brasil en la que se muestran seis demostraciones geométricas diferentes del Teorema de Pitágoras a modo de rompecabezas visuales… en 1 minuto.

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Sobre el ajedrez y las posibles situaciones y partidas

Esta entrada comienza con un “¿Sabías que…?“, en este caso sobre ajedrez y posibles movimientos, pero después de verlo no te vayas que aún tengo más cosas que contarte…

Sin duda es un número muy grande, aunque ya sabemos que decir que un número es grande es algo bastante relativo.

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Hoy es viernes 13… ¿es bueno o malo el número 13?

Hoy es viernes 13

¿Qué podemos decir del número 13?

13

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Comparando fracciones con un cortapizzas

Supón que tenemos las dos fracciones siguientes…

Fracciones 1

Si te pregunto que cuál de ellas es mayor seguro que no tendrías problema en responderme que la de la derecha, pues teniendo las dos el mismo denominador (cinco) el numerador es mayor en la segunda (tres es mayor que dos). De cinco partes en la de la derecha estamos considerando tres, mientras que en la de la izquierda consideramos sólo dos.

Si ahora te pregunto lo mismo con estas otras dos fracciones…

fracciones 2

Me responderás rápidamente que la de la izquierda, ya que teniendo ambas fracciones el mismo numerador (tres), el denominador es menor en la de la izquierda (cuatro es menor que cinco). Es decir, en la de la izquierda son tres partes de cuatro, mientras que en la de la derecha son tres partes pero de cinco y, por tanto, menos cantidad.

Y ahora ¿cuál de estas dos fracciones es mayor?

fracciones 3

Quizás dudes un poco, porque la de la derecha tiene el numerador mayor (cinco es mayor que cuatro) pero también tiene el denominador mayor (seis es mayor que cinco) y no parece estar muy claro qué pesa más de las dos cosas para considerar si es mayor o menor que la de la izquierda.

Pero entonces, para salir de dudas, decides dibujarlo, porque dibujar las cosas suele ayudar mucho en matemáticas…

Fracciones 4

… y compruebas que el área sombreada es mayor en el dibujo de la derecha, lo que aprecias mejor aún fijándote en la parte no sombreada (como si estuvieses comparando porciones de pizza que faltan)…

Fracciones 6

(con hambre de por medio no te cabe la menor duda de que en la de la derecha queda más pizza)

… con lo que contestas acertadamente que la fracción de la derecha es mayor que la de la izquierda.

 Bien, sabías que lo de dibujarlo te podía ayudar.

Pero ahora te planteo estas otras dos fracciones…

Fracciones 5

… y te pregunto lo mismo ¿cuál es mayor?

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Un truco para cuadrados de números terminados en cinco

Como dice el título de la entrada, vamos a ver un “truco” para calcular el cuadrado de números terminados en cinco, como por ejemplo 252, 552

Truco para cuadrados de números terminados en cinco

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¿Cuál es mayor? Utilicemos una lupa matemática para raíces…

Tenemos las dos raíces siguientes… ¿Cuál es mayor?

raiz_01

Una pista: La diferencia entre ambas es menor de 0,001.

¡Quieta esa calculadora!

Vamos a pensar un poco y verlo sin calculadora, que para eso son las matemáticas… para pensar.

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¿Quieres buscar un número entre los decimales de π?

Como de curiosidades está llena la vida…

¿Te apetece saber en qué posición de los decimales del número π está la fecha de tu cumpleaños? ¿Y el número de tu teléfono móvil?

Buscador de números en Pi

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¡Así lanza Pitágoras su Hipotenusa!

¡Hipotenusa! … bonita palabra.

La palabra hipotenusa, como no podía ser de otra manera, viene del griego, Hypoteinousa  (ὑποτείνουσα), formada del prefijo ὑπο (hypo = debajo de) el verbo τείνο (teino = yo tiro) y -ουσα (-ousa, que indica un participio femenino). El participio de hypoteino (tensar fuertemente), significa entonces “fuertemente tensada”.

La razón del nombre es la siguiente. Los primeros geómetras griegos eran, como su nombre indica, medidores de la tierra. Trazaban figuras geométricas ayudados por estacas (κέντρον kéntron, de κεντέω kentéo perforar; Kentrón es también el punto “perforado en la tierra” donde se fija el compás, y también el centro de una circunferencia) que se clavaban en el suelo.

A estas estacas se fijaban cuerdas. Con tres estacas se formaba un triángulo rectángulo si se tensaban las tres cuerdas y las estacas estaban colocadas adecuadamente para formar un ángulo recto. Primero se tensaban las cuerdas para formar los catetos. La hipotenusa se obtenía tensando fuertemente una cuerda entre los puntos extremos de los catetos marcados con estacas.

Bueno, ahora que ya sabemos de dónde parece venir la palabra hipotenusa, vamos a darle un toque de humor a esta entrada y, si me permitís, un poco friki.

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matematicascercanas en el X Premio Espiral Edublogs 2016

XPremioEspiral2016

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Un giro bastante curioso…

curioso

Felíz San Valentín matemático al estilo Moebius

Supongo que no hace falta decir que el 14 de Febrero se celebra el día de San Valentín que, como casi todo, tiene sus seguidores y sus detractores.

Pero no seré yo quien entre en esa discusión… lo mío aquí es darle un toque matemático.

Y es por eso que quiero compartir una forma muy original de unir San Valentín y las matemáticas, y que a más de uno y una les puede sacar de un apuro en este día en forma de regalo bastante económico.

¡Qué mejor que fabricarnos dos corazones enlazados!

Para ello utilicemos dos bandas de Moebius o Möbius.

Y aquí, antes de seguir, voy a recordar brevemente cómo se construye una banda de Möbius: Es sencillo, basta con coger una tira de papel y pegar los dos extremos dando media vuelta a uno de ellos.

moebius

Ahora que ya sabemos todos hacerla, seguimos…

Primero cortamos dos tiras de papel (mejor de color rojo por lo de los corazones) y construímos con ellas dos bandas de Möbius pero… ¡mucho ojo! girándolas en direcciones opuestas antes de pegarlas (una en la dirección de las agujas del reloj y la otra en la contraria). Es muy importante que lo hagamos así para que los corazones queden enlazados al final.

mobius-heart-2

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Vota a matematicascercanas en la X Edición de los Premios 20Blogs

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Sobre el truco matemático del número de calzado y la edad

En estos días se ha hablado mucho en las redes sociales, y se han hecho eco de ello también numerosos medios digitales, del famoso truco de matemáticas que adivina tu edad y tu número de calzado.

Recuerdo, para quien no lo conozca, lo que viene a decir dicho truco matemático:

“En primer lugar, se le pide a la persona que escriba en un trozo de papel su número de calzado, obviamente sin decírtelo.  Se le pide que lo multiplique por 5; Después que añada 50; Al número restante se le dice que lo multiplique por 20; A continuación, que añada 1015; Y, por último, que reste a la cifra el año de su nacimiento.

El número de 3 o 4 dígitos resultante es la “mágica” cifra que incluye el número de calzado y la edad del participante”.

Como ocurre con la “magia” de tantos prestidigitadores, magos e ilusionistas, es tal cuando se desconoce el truco que se está empleando, pues en el momento que se desvela deja de ser magia para ser simplemente un truco.

En el caso que nos ocupa, el mágico truco que adivina tu edad y tu número de calzado que se ha convertido en viral, radica igualmente en el desconocimiento de lo que se está haciendo, y es eso lo que le confiere ese halo de magia.

Pero nosotros en matematicascercanas sabemos matemáticas (y si no, para eso estamos, para que se sepan o se vayan sabiendo) y sobre todo nos gusta pensar, con lo que no hay truco que se nos resista.

calzado_06

Así que… ¡vamos a verlo!

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“Truco” para las razones trigonométricas de ángulos notables

En nuestra aventura de conocimiento que es la escuela, en esa travesía que hacemos por la senda de las matemáticas, que en ocasiones parece más un laberinto que un camino, llega un momento en que viajamos por el… mundo de la geometría.

Primero aparecen las figuras geométricas y aprendemos a distinguir entre triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos y… ¡óvalos! Y además hacemos dibujos con ellos… la cabeza es un círculo, los brazos y las piernas son rectángulos, los pies triángulos…

Después aparecen otras figuras como los romboides, los trapecios, los trapezoides (que son algo así como los que no son nada de todo lo de antes)… hablamos de polígonos, y hacemos clasificaciones de todos ellos distinguiendo entre triánguloscuadriláteros (y dentro de éstos paralelogramos, trapecios…)… aparecen los polígonos regulares de más de cuatro lados… y empezamos a calcular áreas y perímetros de todos ellos.

En fin, que parece que la cosa se va complicando, sobre todo si nos hemos perdido por el camino.

En ese mundo que se va levantando a nuestro alrededor la figura de los triángulos toma un papel destacado y, además, decimos que hay triángulos equiláterosisósceles, escalenos, y también acutángulos, obtusángulos y… ¡rectángulos!

Sí… ¡rectángulos! (con exclamación) porque nos van a dar mucho juego. Buena culpa de ello la tiene la aparición estelar de… ¡El Teorema de Pitágoras!

Ese que dice que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo, sobre el que está tumbado el hipopótamo del dibujo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

c2 = a2 + b2

hippopotenuse

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Lo más visto de matematicascercanas en 2015

lomasvisto

Ha terminando el 2015 y toca hacer resumen y balance.

Para matematicascercanas, ha sido su segundo año de vida y, sin duda, un muy buen año gracias a todos vosotros.

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Trisección de un ángulo… con origami

Para los antiguos griegos, el método válido para realizar construcciones geométricas era el de la regla y el compás.

Dicho método consiste en el trazado de puntos, rectas (o segmentos) y circunferencias (o arcos) con una regla de longitud infinita, sin marcas que permitan medir o trasladar distancias, un solo borde, y un compás.

Una de las cosas útiles que se puede hacer con regla y compás es dividir cualquier ángulo en otros dos ángulos iguales, o lo que es lo mismo, trazar la bisectriz de un ángulo.

Bisection_construction

Como no parece muy complicado lo de dividir un ángulo en dos por este método de la regla y el compás, lo siguiente que se nos puede ocurrir es trisecar un ángulo, es decir, dividirlo en tres ángulos iguales.

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Geometría con papel, con arena… y en la nieve

Como dice el título de esta entrada, vamos a ver algo de geometría.

Pero geometría hecha con papel, con arena, e incluso en la nieve.

Para ser precisos, más que de geometría habría que hablar de auténticas obras de arte.

Si os parece bien, empezamos con el papel.

Para ello qué mejor que recurrir a la obra del diseñador y artista Matt Shlian, que se describe así mismo como un ingeniero del papel. Su obra es un tanto atípica, un híbrido entre el arte y la ciencia, en la que el plegado del papel se encuentra con la nanotecnología.

Después de ver las siguientes imágenes de algunas de sus obras, miraréis de otra forma lo de hacer aviones, barquitos y pajaritas de papel.

mattshlianpaperart1

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¿Por qué “funciona” la multiplicación con los dedos?

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El martes pasado estuve en un curso sobre el método ABN (cálculo Abierto Basado en Números) destinado a las madres y padres del colegio donde estudian mis dos hijas, el CEIP Alba Plata. Sin duda, una extraordinaria y coherente idea por parte del colegio organizar dicho curso, pues difícilmente podrían los padres y madres, como parte de la comunidad educativa, ayudar a sus hijas e hijos si no conocen la metodología con la que están trabajando.

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Los T-Hexágonos mágicos o Magic T-Hexagons

Os hablé en una ocasión de los cuadrados mágicos, formados por números enteros colocados de tal forma que las sumas de esos números en filas, columnas y diagonales eran iguales…

… también lo hice de uno con una propiedad muy interesante, el cuadrado mágico de Euler, en el que un caballo de ajedrez, empezando sus movimientos desde la casilla número 1, puede pasar por las 64 casillas que tiene dicho cuadrado mágico en orden numérico y, por tanto, sin repetir ninguna (1, 2, 3, 4……61, 62, 63, 64)…

… y de otros cuadrados mágicos en los que los números se sustituían por formas geométricas, de manera que las sumas de dichas formas en filas, columnas y diagonales daban lugar siempre a la misma figura: los cuadrados mágicos geométricos o cuadrados geomágicos.

Pues bien, ahora os quiero hablar de otras figuras mágicas, aunque en esta ocasión no se trata de cuadrados formados por celdas cuadradas, sino de hexágonos formados por celdas triangulares…

… los magic T-Hexagons o, si lo traducimos al español, T-Hexágonos mágicos (la T es de triangle o triángulo). Otras traducciones la verdad es que quedan un poco “macarrónicas” (triángulo-hexágonos mágicos, hexágonos de triángulos mágicos…) así que, mejor lo dejamos así.

Esto sería un hexágono formado por celdas triangulares:

T-Hexagon

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Permíteme que escriba un número “borrable” …

Voy a escribir un número de nueve dígitos.

Eso sí, permíteme que lo haga con lápiz…

borrable1Bien, este número, el 410.256.793, es un número primo.

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¡Ya lo pensaba Euclides! Mejor lo dibujamos…

Los Elementos de Euclides es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece partes o libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría… casi nada.

Es considerado uno de los libros de texto más divulgado en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de mil ediciones).

El teorema 4 del Libro II enuncia:Si se corta al arbitrio un segmento, el cuadrado de la línea entera es igual al cuadrado de las partes más el duplo del rectángulo comprendido por las partes.

Quizás así no resulte tan familiar, pero vamos a verlo con más detalle.

Si llamamos, por ejemplo, c a la línea entera, y la cortamos en las partes a y b,

abc

es decir si c = a + b, entonces Euclides dice que   c2 = a2 + b2 + 2ab  (ab es lo que Euclides llama el rectángulo comprendido por las partes).

Y si c = a + b, la expresión anterior la podemos escribir como:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

¡Ahora sí! ¿verdad?

Una de las identidades notables que tanto se atragantan a muchos estudiantes. Concretamente se trata del cuadrado del binomio.

Pues sí, Euclides ya la enunció por el 300 a. C… hace ya unos añitos. Pero no sólo hizo eso, sino que dió una demostración, y gráfica, como no podía ser de otra manera.

Es la famosa demostración que aparece en los libros de texto y, por supuesto, por internet…

binomio_01

binomio_02

La primera imagen es un cuadrado de lado a + b, y en la segunda imagen se observa que ese cuadrado está formado por uno de área a2, otro de área b2 más dos rectángulos de área ab. Es decir, comparando las áreas de los dos cuadrados se tiene que:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

que es lo que Euclides quería demostrar.

 Pues bien, esto lo podemos llevar a su versión tridimensional, es decir, en lugar de demostrar el cuadrado del binomio, demostrar la identidad del cubo del binomio.

¿Y cuál es esa identidad?

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Franz Reuleaux… y su triángulo

Franz Reuleaux (30 de septiembre de 1829 – 20 de agosto de 1905), ingeniero mecánico alemán considerado a menudo el padre de la cinemática, cumpliría hoy 186 años.

Franz Reuleaux en una fotografía de 1877. Imagen de dominio público.

Realizó contribuciones en diferentes áreas de la ciencia y de la técnica. Supervisó el diseño y la construcción de unos 300 mecanismos simples como el mecanismo de cuatro barras o la manivela.

Pero, en el mundo de la matemática, se le recuerda por su triángulo de Reuleaux.

Planteemos lo siguiente:

Además de un círculo, ¿qué otra forma puede tener una tapa de alcantarilla para que no caiga a través de un agujero?

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HIVE… la colmena

Pensaba hablar hoy de otros hexágonos, los de la solución del problema que propuse el otro día (¿Cuántos hexágonos hay dibujados en la imagen?), pero mi reciente regalo de cumpleaños me ha hecho cambiar de idea.

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¿Cómo suena el número áureo?

¿Cómo suena el número áureo?

comosuenaphi

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313… el Pato Donald…y “eso del binario”

El número 313 es el número de la matrícula del coche del Pato Donald.

Ilustración de Don Rosa, famoso ilustrador de Disney, considerado por muchos como el mejor artista de "Patos" de los comics de Disney después de Carl Barks.

Ilustración de Don Rosa, famoso ilustrador de Disney, considerado por muchos como el mejor artista de “Patos” de los comics de Disney después de Carl Barks.

Este número tiene la curiosa propiedad de ser capicúa (puede leerse igual al derecho que al revés) tanto en base 10 como en base 2, de hecho, es el único número primo de tres dígitos que posee esta propiedad:

313 (base 10) =100111001 (base 2)

Y, además, el número 100111001 (en base 10) es también primo.

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