Suma de infinitos términos de una progresión geométrica en una viñeta, gráfica y analíticamente

Nuestra amiga cobaya ha entrado en la peluquería siguiendo el reclamo del cartel pensando que le cortarían el pelo a mitad de precio. Sin embargo le han cortado la mitad del pelo, es decir 1/2.

Al comprobarlo en su reflejo en el cristal del escaparate, decide entrar otra vez, pensando que ahora le cortarán la otra mitad, pero le cortan la mitad de la mitad del pelo que le quedaba sin cortar, es decir 1/4.

Y, con esas, decide entrar de nuevo. Esta vez resignada y sabiendo ya lo que le espera, y por eso dice “Esto va a ser eterno”, porque ahora le cortarán la mitad de 1/4 de pelo, es decir 1/8, y le seguirá quedando 1/8 sin cortar, y así una y otra vez, quedándole siempre algo sin cortar.

Si lo analizamos matemáticamente, cada vez que la cobaya entra en la peluquería le cortan el pelo un término de una progresión geométrica de razón r=1/2 y primer término a1=1/2.

Pues bien, esta progresión geométrica tiene infinitos términos, y la suma de todos ellos es 1, que sería la totalidad del pelo de nuestra cobaya.

Vamos a verlo primero gráficamente:

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Mnemotecnia del número pi con un café

Para recordar las primeras cifras del número pi es frecuente utilizar reglas mnemotécnicas como la frase de la imagen, en la que el número de letras de cada palabra nos da cifras de pi.

Hay muchos ejemplos y en muchos idiomas.

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El triángulo de Pascal y el binomio de Newton

En las Matemáticas hay muchas cosas y herramientas que tienen cierta magia pero, sin duda alguna, una de ellas es el conocido como triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia.

No se trata de una figura geométrica como tal, sino de un triángulo numérico.

Primeras quince filas del Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia

Su nombre se debe al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, que introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique.

El otro nombre con el que se conoce también a este triángulo se debe al matemático e ingeniero italiano Niccolo Fontana, apodado Tartaglia por su condición de tartamudo.

Si bien es cierto que las aplicaciones de este famoso triángulo ya las conocían antes los matemáticos indios (siglo XI), chinos y persas.

¿Cómo se construye el Triángulo de Pascal?

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Las matemáticas son maravillosas… y por cosas muy sencillas

Efectivamente, las matemáticas son maravillosas, y lo son por muchas razones.

Con ellas se puede descifrar el mundo en el que vivimos, y llegar a metas que parecen inalcanzables.

Pero, en mi caso, como Profesor de Matemáticas en ESO, lo son sobre todo por la sorpresa y la curiosidad que pueden llegar a despertar en mis alumnos.

Y, como digo en la imagen con la que he comenzado esta entrada, esto lo consiguen no tanto las grandes demostraciones matemáticas o los muchos teoremas sorprendentes que podemos encontrar, sino a veces las cosas más sencillas, como los números y las operaciones que hacemos con ellos.

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Michael Atiyah podría demostrar uno de los 7 problemas del milenio: La hipótesis de Riemann

El próximo lunes 24 de septiembre el matemático Michael Atiyah podría demostrar uno de los siete problemas del milenio.

Entre los días 23 y 28 de septiembre se celebrará el Heidelberg Laureate Forum 2018 en la ciudad alemana de Heidelberg y, según el abstract de su ponencia, Michael Atiyah presentará allí una demostración de la hipótesis de Riemann, un problema que ha eludido a los matemáticos durante casi 160 años.

Sir Michael Atiyah (fotografía de James Glossop, THE TIMES)

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Los factoriones

Un factorion es un número natural que coincide con la suma de los factoriales de sus dígitos.

No es que haya muchos factoriones en base decimal, de hecho los cuatro que aparecen en la imagen anterior son los únicos que existen.

Más que el nombre de un tipo de número, esto de los factoriones podría parecer una especie alienígena que viene a conquistarnos o algo así. El nombre de “factorion” se debe al reconocido divulgador científico Clifford A. Pickover, que lo acuñó en el capítulo 22 de su libro Keys to Infinity, titulado “La soledad de los Factoriones” (“The Loneliness of the Factorions“).

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Cuando los números racionales son superados en número por los irracionales

Traducción: “Uh-oh… ¡estamos en inferioridad numérica!”

Ya de por sí, el hecho de que unos números aparezcan diciendo que están “en inferioridad numérica” tiene su gracia, pero la viñeta encierra en sí una realidad matemática que voy a comentar a continuación.

En la época de Pitágoras, la gente se negaba a creer que los números irracionales existieran. Muchos siglos después, a finales del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor descubrió que los números irracionales eran en realidad más numerosos que los racionales.

Georg Cantor (Imagen de Dominio Público)

Es decir, el infinito de los números irracionales era mayor que el de los racionales. Sin duda, en aquella época fue muy impactante la idea de que pudiera haber más de un tipo de infinito, hasta el punto de no ser aceptado por muchos matemáticos hasta bastante tiempo después.

¿No sabes qué es un número irracional?

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¿Qué bicicleta regalarías a una matemática o un matemático? ¡La Pi Bike!

Imagina que tienes que regalar una bicicleta a algún matemático o matemática que conoces. Hay muchos modelos de bicicletas para regalar ¿verdad?

Pero…

¿Te imaginas una con forma de número pi (π)?

Pi Bike de Martijn Koomen y Tadas Maksimovas (fuente)

La Pi Bike es una bicicleta de piñón fijo hecha a mano con fibra de carbono en forma de símbolo del número pi (π).

Martijn Koomen y Tadas Maksimovas crearon el diseño inspirándose en un dibujo del ilustrador malayo Tang Yau Hoong e hicieron una bicicleta completamente funcional.

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Función cuadrática (parábola). Parte II: Forma desarrollada o polinómica

En una entrada anterior del blog hablé sobre la función cuadrática y, partiendo de su expresión más sencilla, y = x2, fui haciéndole transformaciones hasta llegar a la forma canónica de la función cuadrática general, de la que como conté se podía extraer directamente bastante información de su representación gráfica, es decir, de su parábola asociada:

Si quieres ver la entrada completa éste es el enlace:

Función cuadrática (parábola). Parte I: Forma canónica

Aquella entrada la terminaba diciendo que me habían faltado más cosas por contar, y entre ellas estaba relacionar todo lo que se había visto con la expresión general de la ecuación cuadrática.

Pues eso es lo que voy a hacer en esta entrada.

La expresión general o forma desarrollada o polinómica de una función cuadrática es la siguiente:

Ahora podría contaros directamente cómo se obtiene el vértice de la parábola a partir de los coeficientes de esta expresión, pero creo que no estaría aportando nada a lo que ya podéis ver en tantos sitios y prefiero que lo deduzcamos juntos.

Lo mejor es partir de la forma canónica (de la que ya sabemos bastantes cosas), desarrollarla y comparar lo que nos salga con esta expresión que acabamos de ver para sacar nuestras propias conclusiones.

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¡Récord de mayor número primo conocido! Primo de Mersenne número 50

Empezamos el año con nuevo récord de mayor número primo conocido.

Ayer, 3 de enero de 2018, el GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) anunció el descubrimiento y confirmación del primo de Mersenne número 50, que se convierte en el mayor número primo conocido hasta el momento.

El nuevo número primo, conocido como M77232917, es:

M77232917 = 277232917 – 1

y tiene nada más y nada menos que 23.249.425 dígitos (más de 23 millones), casi un millón de dígitos más (910.807) que el anterior récord que se estableció en enero de 2016 (el primo de Mersenne número 49).

 

Cuando hablamos de números lo de “ser grande” es muy relativo, pero para que nos hagamos una idea de cómo es este número, si suponemos que una persona puede leer unos 120 dígitos por minuto, necesitaría aproximadamente cuatro meses y medio para leerlo (sin descansar).

Si queréis hacer la prueba (incluso descansando como todo mortal) podéis descargarlo aquí (se trata de un fichero de extensión txt comprimido en zip).

Por cierto, nuestro primo conocido mayor (por el momento) termina en:

…79071

Hubiese sido mal asunto que terminase en un número par, porque como ya sabéis el único número primo par es el 2, y los demás son impares.

 Y dicho esto, más de uno se habrá preguntado:

¿Qué es eso de los números de Mersenne? ¿Y, quién es Mersenne?

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Lo más visto de matematicascercanas en 2017

Terminado 2017 como es tradición ya en el blog, toca hacer balance del año y recopilar las entradas más visitadas durante este 2017.

Dentro de unos días el blog cumplirá cuatro años. En su primer año (2014) tuvo 92.719 visitas, en 2015 el número de visitas fue de 521.432, en su tercer año de vida (2016) recibió 967.387 visitas, y en este año que ha terminado (2017) ha tenido 1.924.756 visitas, más que en los tres años anteriores juntos, sumando un total de 3.506.294 desde que se creó. Y todo esto es gracias a vosotras y vosotros.

El hecho de llegar a más gente ha sido en buena parte gracias al crecimiento del número de seguidores de la página de Facebook del blog, que ha pasado de 51.058 al empezar el año a 79.644. Aunque tengo que decir que parece que se ha estancado y apenas ha crecido en la parte final del año. Así que, si no la seguís aún os invito a que lo hagáis y, lo que ayudaría aún más a llegar a más gente con las matemáticas, a que invitéis a vuestros contactos a que lo hagan.

También ha crecido la página de Twitter del blog, que ahora tiene 5.500 seguidores. Sí, sé que no es mucho en Twitter, está a años luz de la cuenta de Cristiano Ronaldo (con más de 67 millones) o la de “el rubius” (más de 10 millones)… pero consigue acercar las matemáticas a más personas.

A eso hay que sumar la contribución de la cuenta de Pinterest del blog (con 450 seguidores), y de la más joven de todas las cuentas de matematicascercanas, estrenada este año: la cuenta de Instagram, con 755 seguidores.

Quizás todo esto no sea mucho, pero teniendo en cuenta que lo llevo yo solo y el poco tiempo que me queda entre mi trabajo de Profesor de Matemáticas, mi familia (con mis dos hijas que ocupan buena parte de mi día), la casa y tantas ocupaciones, es más de lo que podía imaginar cuando empecé el blog.

 Pero no quiero aburriros con tanto número y con mi vida, y paso a lo que seguro que os interesa más, que es lo que da título a esta entrada: Lo más visto de matematicascercanas en 2017.

Han sido 69 las entradas publicadas en este año, y ya van 380 entradas, así que muchas se quedan fuera de este listado y algunas, que aún tienen poco tiempo de vida, seguro que serán a la larga más vistas que bastantes de las que aparecen ahora.

Las 20 entradas del blog más visitadas en este año 2017 que ha terminado han sido (podéis acceder a cada una de ellas pinchando en su título o en la imagen): 

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¡Feliz 2018!

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¿Cuál es mayor? Utilicemos una lupa matemática para raíces.

Tenemos las dos raíces siguientes…

raiz_01

¿Cuál es mayor?

Una pista: La diferencia entre ambas es menor de 0,001.

¡Quieta esa calculadora!

Vamos a pensar un poco y verlo sin calculadora, que para eso son las matemáticas… para pensar.

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El cifrado por sustitución. El Código César.

ÑD FÑDYH GH FLIUDGR HV FLPFR

En el siglo I a.C., apareció un cifrado por sustitución conocido con el nombre genérico de código César.

El nombre se debe a la figura de Cayo Julio César, militar y político romano cuya dictadura puso fin a la República en Roma, que supuestamente lo utilizaba para comunicarse con sus generales.

Las y los seguidores de Astérix el galo lo conocerán por su incansable lucha intentando conquistar la pequeña aldea de irreductibles galos al noroeste de la Galia donde viven Astérix y Obelix.

¿En qué consiste el código César o cifrado César?

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La magia plegable en papel de Peter Dahmen. Geometría que encaja a la perfección

Imagina que abres un libro y un tigre salta hacia ti, o se forma como de la nada una torre tridimensional ante tus ojos.

Los objetos tridimensionales surgen entre las dos cubiertas planas de un libro al abrirlas. Es lo que se conoce como esculturas Pop-up, y es la pasión del artista y diseñador alemán Peter Dahmen.

Seguro que alguna vez, siendo más pequeño, has tenido en tus manos un libro con imágenes que se levantaban al pasar sus páginas… aquello resultaba mágico. Peter Dahmen ha ido más allá y ha hecho de su trabajo un arte en el que la geometría encaja a la perfección.

Mientras estudiaba diseño gráfico en la universidad, recibió el encargo de crear un objeto 3D solo con papel. Pero se dio cuenta de un pequeño problema: Independientemente de lo que diseñara, no había forma segura de transportarlo a la clase en el viaje diario que realizaba en tren.

En lugar de arriesgarse a que su proyecto resultase dañado, Dahmen lo diseñó de manera que emergiera al abrir las tapas de un libro, una decisión que cambió el curso de su vida.

Disfrutó tanto con aquél desafío que se sumergió en la creación de diseños más elaborados, convirtiéndose con el tiempo en un verdadero ingeniero del papel.

Pero mejor que yo os lo cuente es que veáis en acción algunas de sus esculturas de papel y su magia plegable

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La nota de Fermat. Este título es demasiado pequeño para que quepa en él

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Teselaciones regulares con un solo tipo de polígono regular

Un teselado o teselación​ consiste en una regularidad o patrón de figuras que cubren completamente una superficie plana, de manera que no quedan espacios ni tampoco se superponen las figuras.

Los teselados se crean usando transformaciones isométricas (sin variar las dimensiones ni el área) sobre una figura inicial, es decir, copias idénticas de una o diversas piezas o teselas con las cuales se componen figuras para recubrir totalmente una superficie.

De los muchos tipos de teselaciones que hay, la más básica podríamos decir que es la teselación regular o teselado regular, en la que se utiliza solo un tipo de polígono regular.

Pues bien, solo son posibles teselados regulares empleando triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. Con un pentágono regular, por ejemplo, no se puede.

Te lo muestro en la siguiente animación:

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22/7 El día de π “arquimediano” o Día de aproximación de π

Como supongo que ya sabréis el 14 de Marzo se celebra el Día de π , por aquello de que en el formato de fecha estadounidense (mes/día/año), ese día sería 3/14 (considerando solo el mes y el día), y 3,14 es la aproximación de π con dos decimales por defecto.

Dicha celebración fue idea del físico del San Francisco Exploratorium Larry Shaw, y con el tiempo fue ganando en popularidad, hasta que en 2009 una resolución favorable de la Cámara de Representantes de los Estados Unidos declaró oficialmente el 14 de marzo como Día Nacional de Pi.

Pero, como es bien sabido, el formato de fecha empleado en buena parte de países del mundo (entre ellos los de habla hispana) es día/mes/año.

Mapa que muestra el formato de fecha empleado por cada país (fuente)

Con dicho formato, el 14 de marzo, olvidándonos también del año, sería 14/3, que en nada se parece ya a π.

Sin embargo la fecha del día de hoy, 22 de julio, sería 22/7 y resulta que ésta es una aproximación de π bastante buena, de hecho mejor que la de 3,14:

22/7 = 3,142857142…

|π-22/7| < |π-3,14|

Por esta razón, la de ser una buena aproximación de π, este día se celebra también como el Día de aproximación de π.

Pero ¿de dónde viene?

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Resolución de problemas, la heurística y el problema del burro y las zanahorias

Desde la más remota antigüedad, la actividad principal del matemático ha sido la resolución de problemas. Hasta hace relativamente poco tiempo no existía una denominación específica para una ciencia que se ocupe de los métodos de resolución de problemas; esta ciencia es la denominada heurística moderna.

La heurística (término proveniente del griego “heurisko”: hallar, descubrir) se consideró durante años “el arte de inventar“. Era una ciencia que tenía mucho que ver con la lógica, la psicología o la filosofía, aunque su significado ha evolucionado actualmente hacia la concepción moderna que he comentado.

Fijaos que ya he mencionado tres palabras que a mí personalmente me gustan mucho: “descubrir“, “inventar” y “lógica“, y que creo que son buena parte de la esencia de las matemáticas.

Podríamos decir que el razonamiento heurístico tiene como objetivo descubrir la solución de un problema; por lo tanto, no es definitivo y no tiene por qué ser riguroso, sino que simplemente es provisional y plausible y, por supuesto, no debe confundirse con una demostración matemática.

Pero ¿qué es un problema?

Una definición sencilla que a mí me gusta es la que dan Bransford y Stein, según los cuales un problema es un obstáculo que separa la situación actual de una meta deseada (1).

Pero yo no voy a adentrarme aquí en la heurística y en los distintos modelos de resolución de problemas, pues habrá personas que conozcan mucho más sobre el tema y seguro que lo pueden hacer infinitamente mejor que yo. Prefiero centrarme en algo que creo que se me da mejor, que es plantear un problema y ver cómo podemos resolverlo.

Y digo “podemos” porque me gustaría que lo hiciésemos juntos.

Sea cual sea el tipo de problema al que nos enfrentemos, sí parece claro que hay una serie de fases necesarias para resolverlo, y esto lo dejó bastante claro el matemático húngaro George Pólya en su libro “How to solve it(2): Comprender el problema, concebir un plan o estrategia, ejecutar el plan, y examinar la solución obtenida.

Aunque estas cuatro etapas se presentan teóricamente separadas, en el proceso de resolución de un problema se mezclan unas con otras. Por ejemplo, a la vez que se va entendiendo un enunciado van surgiendo ideas que iluminan el plan de resolución, y a la vez que vamos ejecutando nuestro plan descubrimos “cosas” que nos hacen modificarlo o mejorarlo.

Y esto es lo verdaderamente interesante y lo que nos va a pasar a nosotros.

¡De acuerdo, tenéis razón! No hago más que hablar de “problema” y aún no he planteado ninguno.

Vamos con él. El problema dice así…

“Tenemos que transportar con un burro 900 zanahorias a un mercado, que está a 300 km de distancia de donde nos encontramos.

burroyzanahoriasEl burro puede transportar como máximo 300 zanahorias y, además, necesita comer una zanahoria por cada kilómetro que recorre. Si no lleva zanahorias para comer se detiene y no sigue caminando.

¿Cuál el el mayor número de zanahorias que conseguiremos transportar hasta el mercado?”

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Función cuadrática (parábola). Parte I: Forma canónica

¿Hacerle cosas a la “U“? ¿A la “V“?

En realidad está más bien a camino entre la “U” y la “V“.

¡Ah! Que no sabes muy bien de qué estoy hablando…

Perdona, quería referirme a la representación gráfica de la función:

y = x2

que, por si no lo sabes, te contaré que es una parábola vertical cuyo vértice está justo en el origen de coordenadas. Algo como esto…

Pero mejor vamos a poner nombres a las cosas…

Bien, ésta que acabamos de ver es la más sencilla de las funciones cuadráticas de una variable (nuestra variable es “x”), cuya expresión es un polinomio de segundo grado (el mayor exponente al que está elevada la variable “x” es 2).

Pero he dicho que íbamos a hacerle cosas, así que empecemos…

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