Las ternas pitagóricas y Fibonacci

¿Qué tienen en común las Ternas Pitagóricas y Fibonacci?

pitagoras-fibonacci

Uno de los resultados matemáticos más famosos probablemente sea el teorema de Pitágoras, a saber:

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud del lado mayor (la hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (los catetos)”

triangulo_rectangulo

teorema_pitagoras

Si se observa desde el punto de vista geométrico, como el área de un cuadrado es igual al cuadrado de su lado, el teorema de Pitágoras viene a afirmar que si hacemos cuadrados cuyos lados sean los de un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los otros dos.

triangulo_rectangulo_02

Pues bien, esta misma expresión nos permite saber cómo es un triángulo según sus ángulos sin necesidad de medirlos.

¿Suena bien, no? Clasificar una cosa según otra sin conocer esa otra…

Basta con realizar los cuadrados de las longitudes de los tres lados del triángulo y comparar el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos.

Si la suma es igual, estaremos ante un triángulo rectángulo (tiene un ángulo recto, es decir, de 90º).

triangulorectangulo

Si es mayor, se trata de un triángulo obtusángulo (el ángulo mayor es obtuso, mayor de 90º).

trianguloobtusangulo

Y, si la suma es menor, es un triángulo acutángulo (los tres ángulos son menores de 90º).

trianguloacutangulo

A estas alturas de la entrada, alguien estará preguntando ya: ¿qué pasa con las ternas pitagóricas y Fibonacci? Vamos con ello.

Cuando los valores de los lados de un triángulo rectángulo son números enteros, forman un conjunto de números al que se le llama terna pitagórica.

 Es decir, una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros (a, b, c) que cumple:

pitagoras

Son ternas pitagóricas, por ejemplo:

(5, 4, 3) (13, 12, 5) (29, 21, 20) (97, 72, 65) …

Y ahora es donde entra la tantas veces sorprendente sucesión de Finonacci.

Podemos encontrar ternas pitagóricas a través de la sucesión de Fibonacci.

Permitidme un breve inciso para aquellas personas que no conozcan dicha sucesión (llegará un momento en que eso sea prácticamente imposible):

La sucesión de Fibonacci, se trata de una sucesión infinita de números naturales que comienza con los números 1 y 1, y a partir de ellos, cada término se obtiene sumando los dos anteriores:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597…

A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. El nombre de sucesión de Fibonacci se lo debe a Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci.

Os dejo también algunos enlaces de entradas de este blog que hacen referencia a dicha sucesión, y que dan una idea de por qué es tan relevante:

Naturaleza fractal… geometría y números

Me quiere… no me quiere… me quiere…

¿Sabías que…? sobre la sucesión de Fibonacci

¿Sabías que…? sobre la sucesión de Fibonacci II

Volviendo al tema de la sucesión de Fibonacci y las ternas pitagóricas, si elegimos cuatro términos consecutivos cualesquiera de la sucesión, como por ejemplo 2, 3, 5 y 8, podemos formar con ellos tres números:

  1. El producto de los dos de los extremos: 2·8 = 16;
  2. El doble del producto de los dos centrales: 2·(3·5) = 30;
  3. La suma de los cuadrados de los dos centrales: 32 + 52 = 34.

 Pues bien, se puede comprobar con facilidad que esos tres números obtenidos (34, 30, 16) forman una terna pitagórica:

162 = 256     302 = 900    342 = 1.156

256 + 900 = 1.156

O, dicho de otra manera, son los lados de un triángulo rectángulo.

Esto que hemos conseguido con estos cuatro números consecutivos de la sucesión de Fibonacci (2, 3, 5 y 8), lo obtendremos SIEMPRE que apliquemos el método que hemos visto a cualquier grupo de cuatro términos consecutivos de dicha sucesión.

Parece magia, pero son… MATEMÁTICAS.

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28 thoughts on “Las ternas pitagóricas y Fibonacci

  1. Com dois números consecutivos de Fibonacci também funciona:

    1. Sejam 2 e 3 os dois números de Fibonacci.

    Dados: a = 2, b = 3

    A medida de um dos catetos é dada por: 2b(a + b) = 2 x 3(2 + 3) = 6 x 5 = 30
    A medida do outro cateto é dada por: a(a + 2b) = 2(2 + 2 x 3) = 2 x 8 = 16
    A medida da hipotenusa é dada por: b2 + (a + b)2 = 32 + (2 + 3)2 = 9 + 25 = 34

    2. Sejam 3 e 5 os dois números de Fibonacci.
    Dados: a = 3 e b = 5
    A medida de um dos catetos é dada por: 2b(a + b) = 2 x 5(3 + 5) = 10 x 8 = 80
    A medida do outro cateto é dada por: a(a + 2b) = 3(3 + 2 x 5) = 3 x 13 = 39
    A medida da hipotenusa é dada por: b2 + (a + b)2 = 52 + (3 + 5)2 = 25 + 64 = 89

    3. Sejam 5 e 8 os dois números de Fibonacci.

    Dados: a = 5, b = 8
    A medida de um dos catetos é dada por: 2b(a + b) = 2 x 8(5 + 8) = 16 x 13 = 208
    A medida do outro cateto é dada por: a(a + 2b) = 5(5 + 2 x 8) = 5 x 21 = 105
    A medida da hipotenusa é dada por: b^2 + (a + b)^2 = 82 + (5 + 8)2 = 64 + 169 = 233

    E assim por diante.

  2. Tanto las matemáticas como este blog son fascinantes, cada día me hago más adicta.
    Me encanta la frase: “Parece magia pero es matemáticas”
    Saludos! 😊

    • Muchísimas gracias Luisa.
      Significan mucho para mi tus palabras y me animan a seguir trabajando en el blog.
      A mi personalmente me encanta que las matemáticas me sorprendan como lo hacen, y en ese aspecto tienen mucho de mágicas.
      Un saludo y gracias una vez más.

  3. De entrada suena como raro que la Sucesión de Fibonacci esté relacionada con el Teorema de Pitágoras, pero es muy cierto. Sobre ello he observado lo siguiente:
    a) Si tomo 4 elementos de la Sucesión donde dos de ellos sean pares, entonces resulta una terna pitagórica derivada. Ej. …,8, 13, 21, 34, … estos elementos generan la terna
    (272, 546, 610) la cual es derivada, pero si tomamos los elementos 13, 21, 34, 55 ; aquí solo un elemento es par, entonces tenemos la terna pitagórica primitiva (715, 1428, 1597).
    b) También usted puede crear cualquier sucesión similar a la de Fibonacci y las ternas pitagóricas también funcionan. Sea la sucesión : 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, … Si tomamos los elementos 5, 6, 11, 17 y aplicamos el criterio anterior tendremos la terna pitagórica (85, 132, 157) que es primitiva.
    Gracias por su atención.
    Fraterno: José Francisco Hernández Ramos.

  4. Muy buenas aportaciones, si construyen semicircunferencias sobre los lados, sumen las áreas de los catetos y verán que es igual al área de la semicircunferencia construida sobre la hipotenusa. Lo mismo ocurre con cualquier polígono regular construido sobre los lados de un triángulo rectángulo.

  5. Muy buen trabajo, increíblemente mientras Fibonacci hacia su trabajo tal vez; lo que menos estaba haciendo era pensar en el trabajo del gran Pitágoras, por razones como estas… Cada vez que aprendo algo me enamoro mas de ésta ciencia

  6. Me gusta la entrada de principio a fin.
    Sin darte cuenta aprendes un montón de cosas de una forma sencilla y muy entretenida.
    Me encanta este blog.
    Felicidades por tan buen trabajo.

  7. Con tanto como habré leído de la sucesión de Fibonacci no tenía ni idea de esta relación con las ternas pitagóricas.
    Me ha encantado!
    Gracias por compartirlo.

  8. Pingback: Bitacoras.com

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