El rectángulo de igual superficie y perímetro

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¿Qué rectángulo tiene mayor área? Un problema de comparar áreas

Te planteo el siguiente problema de geometría:

Siendo ABCD un rectángulo, y E un punto situado en una de sus diagonales tal y como se indica en la figura anterior, ¿qué rectángulo tiene mayor área, AIEG (el rectángulo naranja) o EHCF (el rectángulo azul)?

Piénsalo, es bastante sencillo…

¿Lo tienes ya?

Pues vamos a ver la SOLUCIÓN

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La magia plegable en papel de Peter Dahmen. Geometría que encaja a la perfección

Imagina que abres un libro y un tigre salta hacia ti, o se forma como de la nada una torre tridimensional ante tus ojos.

Los objetos tridimensionales surgen entre las dos cubiertas planas de un libro al abrirlas. Es lo que se conoce como esculturas Pop-up, y es la pasión del artista y diseñador alemán Peter Dahmen.

Seguro que alguna vez, siendo más pequeño, has tenido en tus manos un libro con imágenes que se levantaban al pasar sus páginas… aquello resultaba mágico. Peter Dahmen ha ido más allá y ha hecho de su trabajo un arte en el que la geometría encaja a la perfección.

Mientras estudiaba diseño gráfico en la universidad, recibió el encargo de crear un objeto 3D solo con papel. Pero se dio cuenta de un pequeño problema: Independientemente de lo que diseñara, no había forma segura de transportarlo a la clase en el viaje diario que realizaba en tren.

En lugar de arriesgarse a que su proyecto resultase dañado, Dahmen lo diseñó de manera que emergiera al abrir las tapas de un libro, una decisión que cambió el curso de su vida.

Disfrutó tanto con aquél desafío que se sumergió en la creación de diseños más elaborados, convirtiéndose con el tiempo en un verdadero ingeniero del papel.

Pero mejor que yo os lo cuente es que veáis en acción algunas de sus esculturas de papel y su magia plegable

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¿Cuál es el área total de la parte sombreada del rectángulo ABCD?

¿Cuál es el área total de la parte sombreada del rectángulo ABCD?

Piénsalo e intenta resolverlo.

¿Lo tienes ya?

Vamos a ver la SOLUCIÓN.

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Humor geométrico. De tales rayas tales cuadrados.

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¿Qué camino es más largo? Un sencillo y bonito problema de geometría

Tenemos dos puntos, A y B, y dos caminos diferentes para ir de uno a otro.

El camino de color azul va directamente de A a B, y el de color rojo lo hace a través de trayectos parciales (de A a C, de C a D, de D a E y, finalmente, de E a B).

Si todos los caminos son semicircunferencias ¿qué camino es más largo, el azul o el rojo?

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Teselaciones regulares con un solo tipo de polígono regular

Un teselado o teselación​ consiste en una regularidad o patrón de figuras que cubren completamente una superficie plana, de manera que no quedan espacios ni tampoco se superponen las figuras.

Los teselados se crean usando transformaciones isométricas (sin variar las dimensiones ni el área) sobre una figura inicial, es decir, copias idénticas de una o diversas piezas o teselas con las cuales se componen figuras para recubrir totalmente una superficie.

De los muchos tipos de teselaciones que hay, la más básica podríamos decir que es la teselación regular o teselado regular, en la que se utiliza solo un tipo de polígono regular.

Pues bien, solo son posibles teselados regulares empleando triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. Con un pentágono regular, por ejemplo, no se puede.

Te lo muestro en la siguiente animación:

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Pirámide de cubos… ¿Cuáles de las vistas representadas son correctas?

La imagen anterior 3D se compone de cuatro cubos de colores (amarillo, rojo, verde y azul).

Hay 12 posibles vistas 2D de la misma, que se muestran en la siguiente imagen con los diagramas A-L.

¿Cuáles de esas vistas son correctas y cuáles no?

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El artista geómetra del fondo del mar

En 1995 apareció a casi 30 metros de profundidad en el fondo marino de las costas del sur de Japón, en las cálidas aguas de la isla de Amami Ōshima, una estructura circular de unos dos metros de diámetro.

Círculo misterioso (fuente)

Cada vez que los buceadores de la zona se sumergían encontraban estos extraños dibujos en distintas zonas del fondo marino.

Círculo misterioso en el fondo marino (fuente)

Como se desconocía su origen, los buzos locales decidieron llamarlos “círculos misteriosos”.

Y “misteriosos” continuaron siendo hasta que en 2011 se descubrió quién era el culpable de estas estructuras geométricas tan particulares…

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¿Cuántos CUADRADOS puedes ver en la imagen?

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¿Cuántos pentágonos hay en la imagen?… No son 1, ni 2, ni 3… ni 8, ni 9… son más… Aquí tienes la solución

El acertijo propuesto es el siguiente:

Se trata, por tanto, de encontrar el mayor número posible de pentágonos siguiendo las líneas de la imagen.

Indicar también que no se trata de una vista de una figura tridimensional (hubiese quedado mal definida si hubiese sido así al faltar información de otras vistas de la misma), sino de una composición de líneas en el plano.

Si aún no lo habías visto o simplemente no lo has intentado resolver todavía, te invito a que lo hagas primero antes de seguir leyendo esta entrada.

Si quieres saber ya la solución

¡Vamos con ella!

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¿Cuántos pentágonos hay en la imagen?

La ilusión espiral de Fraser

Imagen basada en la Ilusión espiral de Fraser (Imagen de Dominio Público)

La ilusión espiral de Fraser (Fraser espiral illusion) es una ilusión óptica descrita por primera vez por el psicólogo británico Sir James Fraser (1863 – 1936) en 1908, en un artículo en el British Journal of Psichology con el título de “A new visual illusion of direction”.

La imagen anterior, tal y como indico al pié de la misma, está basada en la original que publicó Fraser, y que es la siguiente:

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De Tales a Pitágoras en la esquina de una página

detalesapitagoras

Hace un tiempo era normal marcar los puntos de lectura en un libro (por donde hemos dejado de leer para continuar en otro momento) doblando la esquina superior o inferior de la página.

esquina_doblada

Pero, alguien pensará que esto es todo un atentado a la integridad del libro…

… Y no le faltará razón, pues aunque intentemos “deshacer el mal”, la marca se queda ya en la página… y desde pequeños nos han dicho siempre que los libros hay que cuidarlos (gran verdad).

Además, para esto están precisamente los marcapáginas que, si tenemos niños en las primeras etapas escolares desplegando su creatividad en forma de manualidades, no nos faltarán, a no ser que hayan desaparecido “misteriosamente” (sí, esos duendes que entran por la noche en casa cuando estamos todos dormidos y se llevan algunos de los dibujos y manualidades fruto de la incesante y prolífera creatividad de nuestros hijos… ¡Qué insensibles!).

Pero volvamos a la doblez de la esquina de la página porque, a pesar de suponer un acto un tanto irresponsable, podemos aprender matemáticas con ella.

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El Teorema de Pitágoras explicado con LEGO

Se puede explicar y demostrar el Teorema de Pitágoras de muchas maneras. Algunas de ellas las hemos visto en el blog (6 demostraciones geométricas del Teorema de Pitágoras en 1 minuto o Demostración ¡hidráulica! del Teorema de Pitágoras).

En esta ocasión os traigo una interesante y sencilla animación, realizada por GENIAL, en la que se utilizan piezas de LEGO para hacerlo.

PitagorasLego2

Imagen capturada de la animación.

Espero que os guste y que os sea útil…

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La fotografía arquitectónica persa de Mohammad Reza Domiri Ganji

Nasir al-Mulk mosque pnorama

Mezquita Nasir Al-Mulk en Shiraz, Irán

¿Impresionante verdad?

Se trata de la Mezquita Nasir Al-Mulk en Shiraz (Irán), conocida también como la “Mezquita Rosa“, construida durante la dinastía Qajar en 1888.

Esta fotografía panorámica es la favorita de su autor Mohammad Reza Domiri Ganji, fotógrafo iraní de 25 años y estudiante de Física, interesado en la panorámica y la fotografía arquitectónica islámica.

En ella se aprecia como los arquitectos, Muhammad Hasan-e-Memar y Muhammad Reza Kashi Paz-e-Shirazi, pensaron concienzudamente en la simetría, los azulejos, los colores, la entrada de la luz, los dibujos, las repeticiones, los arcos y las vidrieras rosadas.

Según el autor de la misma, encarna cada uno de los detalles de la arquitectura persa tradicional.

Pero veamos otras de sus espectaculares fotografías de esta admirable arquitectura, donde la geometría y la simetría están siempre presentes.

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Cuestión de lados… El círculo y los polígonos

Taking Sides

Traducción:

– ¿Ah sí? ¡Bueno, yo tengo TRES lados!

– ¡¿Y qué?! ¡¡Yo tengo CUATRO lados!!

Estás gordo.

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Geometría con papel, con arena… y en la nieve

Como dice el título de esta entrada, vamos a ver algo de geometría.

Pero geometría hecha con papel, con arena, e incluso en la nieve.

Para ser precisos, más que de geometría habría que hablar de auténticas obras de arte.

Si os parece bien, empezamos con el papel.

Para ello qué mejor que recurrir a la obra del diseñador y artista Matt Shlian, que se describe así mismo como un ingeniero del papel. Su obra es un tanto atípica, un híbrido entre el arte y la ciencia, en la que el plegado del papel se encuentra con la nanotecnología.

Después de ver las siguientes imágenes de algunas de sus obras, miraréis de otra forma lo de hacer aviones, barquitos y pajaritas de papel.

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Vera, a ver si sabes decirme…

– Vera, a ver si sabes decirme qué es lo que voy a dibujar…

pizarra_01

– ¡Es un punto!

– Espera, que aún no he terminado de dibujar…

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¡Ya lo pensaba Euclides! Mejor lo dibujamos…

Los Elementos de Euclides es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece partes o libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría… casi nada.

Es considerado uno de los libros de texto más divulgado en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de mil ediciones).

El teorema 4 del Libro II enuncia:Si se corta al arbitrio un segmento, el cuadrado de la línea entera es igual al cuadrado de las partes más el duplo del rectángulo comprendido por las partes.

Quizás así no resulte tan familiar, pero vamos a verlo con más detalle.

Si llamamos, por ejemplo, c a la línea entera, y la cortamos en las partes a y b,

abc

es decir si c = a + b, entonces Euclides dice que   c2 = a2 + b2 + 2ab  (ab es lo que Euclides llama el rectángulo comprendido por las partes).

Y si c = a + b, la expresión anterior la podemos escribir como:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

¡Ahora sí! ¿verdad?

Una de las identidades notables que tanto se atragantan a muchos estudiantes. Concretamente se trata del cuadrado del binomio.

Pues sí, Euclides ya la enunció por el 300 a. C… hace ya unos añitos. Pero no sólo hizo eso, sino que dió una demostración, y gráfica, como no podía ser de otra manera.

Es la famosa demostración que aparece en los libros de texto y, por supuesto, por internet…

binomio_01

binomio_02

La primera imagen es un cuadrado de lado a + b, y en la segunda imagen se observa que ese cuadrado está formado por uno de área a2, otro de área b2 más dos rectángulos de área ab. Es decir, comparando las áreas de los dos cuadrados se tiene que:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

que es lo que Euclides quería demostrar.

 Pues bien, esto lo podemos llevar a su versión tridimensional, es decir, en lugar de demostrar el cuadrado del binomio, demostrar la identidad del cubo del binomio.

¿Y cuál es esa identidad?

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