Math Christmas 4

Seguir leyendo…

Teorema de la altura y Teorema del cateto

Vamos a ver dos teoremas que, como ocurría con el Teorema de Pitágoras, se pueden utilizar en triángulos rectángulos: El Teorema de la altura y el Teorema del cateto.

El Teorema de la altura relaciona la altura sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo con las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa.

El Teorema del cateto relaciona, para cada uno de los dos catetos del triángulo rectángulo, el cateto con su proyección sobre la hipotenusa y la hipotenusa.

Pero vamos a ver todo esto explicado en el siguiente vídeo, donde resolveremos además cuatro ejemplos con diferentes datos de partida, de manera que aprenderemos a resolver cualquier ejercicio que nos puedan plantear.

Seguir leyendo…

¿Cuántos cuadrados hay en la imagen?

Seguir leyendo…

¿Cuántos triángulos hay en la siguiente imagen? Reto y solución

¿Cuántos triángulos hay en la siguiente imagen?

Puedes combinar varias secciones…

¿Lo tienes ya?

Si quieres ver la SOLUCIÓN, sigue leyendo.

Seguir leyendo…

¿Cómo saber si un triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo a partir de sus lados?

Vamos a ver un ejemplo.

Seguir leyendo…

El triángulo equilátero también es isósceles…

El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo isósceles. De hecho es un triángulo isósceles, triángulo con dos lados de igual longitud, con la particularidad de que el tercer lado también tiene la misma longitud.

En algunos sitios encontraréis definiciones «cerradas» que no permiten relacionar unos tipos de triángulos con otros (ni otros tipos de polígonos entre sí), y que especifican que el triángulo isósceles es aquél que tiene «solo» dos lados de igual longitud. Según dicha definición, el triángulo equilátero no podría ser también un triángulo isósceles.

Sin embargo, tienen mucho más sentido las definiciones «abiertas», que permiten relacionar unas figuras con otras, como casos particulares.

En el caso del triángulo equilátero, éste cumple todas las propiedades de un triángulo isósceles, como por ejemplo el hecho de que la recta de Euler, recta que une entre otros el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, también contenga al incentro, por lo que lo lógico es considerar que también es un triángulo isósceles.

Seguir leyendo…

El cuadrado también es un rectángulo…

El cuadrado es un caso particular de rectángulo, ya que cumple con la definición de rectángulo de ser un cuadrilátero (polígono de cuatro lados) cuyos ángulos son rectos (de 90°). El hecho de que sus lados sean paralelos dos a dos (es un paralelogramo) es una consecuencia.

De hecho, el cuadrado es un rectángulo con lados contiguos congruentes.

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.

También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.

Como ya sabréis, un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.

Pues bien, el Teorema de Pitágoras dice que: «En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos«.

Si lo expresamos de forma geométrica, el Teorema de Pitágoras quiere decir que el área de un cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de otros dos cuadrados cuyos lados son cada uno de los catetos respectivamente.

En el siguiente vídeo explico con detalle todo esto que hemos visto hasta ahora, y vamos a hacer varios ejemplos de aplicación del Teorema de Pitágoras para calcular uno de los tres lados del triángulo rectángulo cuando conocemos los otros dos lados:

Seguir leyendo…

La solución del problema del bizcocho

El problema que propuse decía así:

Aunque no lo diga literalmente en el enunciado del problema. se trata de buscar el número mínimo de cortes que se necesitan para partir el bizcocho de forma cilíndrica en 16 porciones iguales, ni una más ni una menos.

Y otra cosa, se trata de realizar todos los cortes directamente sobre el bizcocho sin recolocar las porciones que nos van saliendo entre corte y corte.

Si estás viendo el problema por primera vez y aún no lo habías intentado resolver, te invito a que lo hagas antes de seguir leyendo y ver la solución.

¿Quieres verla ya?

Entonces continua leyendo.

Seguir leyendo…

El problema del bizcocho

Seguir leyendo…

Puntos y rectas notables del triángulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo.

Además, dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo que, como su propio nombre indica, tiene tres. Y, como es bien sabido, la suma de éstos es 180º.

Pues bien, sobre los triángulos hay todo un universo matemático de características, propiedades, teoremas y curiosidades. Pero no seré tan ambicioso en esta entrada (resultaría eterna) y me centraré en hablar de un grupo de rectas y puntos muy importantes, solo los más conocidos ya que hay muchos más, que se conocen como puntos y rectas notables del triángulo.

Entre las rectas notables más conocidas de un triángulo veremos las mediatrices, las medianas, las alturas y las bisectrices; Y, sobre sus puntos notables asociados: el circuncentro, el baricentro, el ortocentro y el incentro y exincentros, respectivamente.

Seguir leyendo…

Solución del problema «El rectángulo de igual superficie y perímetro»

Seguir leyendo…

El rectángulo de igual superficie y perímetro

Seguir leyendo…

¿Qué rectángulo tiene mayor área? Un problema de comparar áreas

Te planteo el siguiente problema de geometría:

Siendo ABCD un rectángulo, y E un punto situado en una de sus diagonales tal y como se indica en la figura anterior, ¿qué rectángulo tiene mayor área, AIEG (el rectángulo naranja) o EHCF (el rectángulo azul)?

Piénsalo, es bastante sencillo…

¿Lo tienes ya?

Pues vamos a ver la SOLUCIÓN

Seguir leyendo…

La magia plegable en papel de Peter Dahmen. Geometría que encaja a la perfección

Imagina que abres un libro y un tigre salta hacia ti, o se forma como de la nada una torre tridimensional ante tus ojos.

Los objetos tridimensionales surgen entre las dos cubiertas planas de un libro al abrirlas. Es lo que se conoce como esculturas Pop-up, y es la pasión del artista y diseñador alemán Peter Dahmen.

Seguro que alguna vez, siendo más pequeño, has tenido en tus manos un libro con imágenes que se levantaban al pasar sus páginas… aquello resultaba mágico. Peter Dahmen ha ido más allá y ha hecho de su trabajo un arte en el que la geometría encaja a la perfección.

Mientras estudiaba diseño gráfico en la universidad, recibió el encargo de crear un objeto 3D solo con papel. Pero se dio cuenta de un pequeño problema: Independientemente de lo que diseñara, no había forma segura de transportarlo a la clase en el viaje diario que realizaba en tren.

En lugar de arriesgarse a que su proyecto resultase dañado, Dahmen lo diseñó de manera que emergiera al abrir las tapas de un libro, una decisión que cambió el curso de su vida.

Disfrutó tanto con aquél desafío que se sumergió en la creación de diseños más elaborados, convirtiéndose con el tiempo en un verdadero ingeniero del papel.

Pero mejor que yo os lo cuente es que veáis en acción algunas de sus esculturas de papel y su magia plegable

Seguir leyendo…

¿Cuál es el área total de la parte sombreada del rectángulo ABCD?

¿Cuál es el área total de la parte sombreada del rectángulo ABCD?

Piénsalo e intenta resolverlo.

¿Lo tienes ya?

Vamos a ver la SOLUCIÓN.

Seguir leyendo…

Humor geométrico. De tales rayas tales cuadrados.

Seguir leyendo…

¿Qué camino es más largo? Un sencillo y bonito problema de geometría

Tenemos dos puntos, A y B, y dos caminos diferentes para ir de uno a otro.

El camino de color azul va directamente de A a B, y el de color rojo lo hace a través de trayectos parciales (de A a C, de C a D, de D a E y, finalmente, de E a B).

Si todos los caminos son semicircunferencias ¿qué camino es más largo, el azul o el rojo?

Seguir leyendo…

Teselaciones regulares con un solo tipo de polígono regular

Un teselado o teselación​ consiste en una regularidad o patrón de figuras que cubren completamente una superficie plana, de manera que no quedan espacios ni tampoco se superponen las figuras.

Los teselados se crean usando transformaciones isométricas (sin variar las dimensiones ni el área) sobre una figura inicial, es decir, copias idénticas de una o diversas piezas o teselas con las cuales se componen figuras para recubrir totalmente una superficie.

De los muchos tipos de teselaciones que hay, la más básica podríamos decir que es la teselación regular o teselado regular, en la que se utiliza solo un tipo de polígono regular.

Pues bien, solo son posibles teselados regulares empleando triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. Con un pentágono regular, por ejemplo, no se puede.

Te lo muestro en la siguiente animación:

Seguir leyendo…

A %d blogueros les gusta esto: