Un buen gráfico o diagrama de sectores circular debe dar mucha información de un simple vistazo, y éste que te voy a enseñar la verdad es que más explícito no podría ser.
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Notación científica. Operaciones en notación científica
La notación científica es una forma de expresar números mediante el producto de un número, cuyo valor absoluto va a estar entre 1 y 10 (sin incluir el 10), por una potencia de base 10.
Se utiliza para expresar números grandes y números pequeños, y es en los ámbitos científicos donde aparecen más este tipo de números, de ahí el nombre de notación científica.
Así, por ejemplo, la distancia media de la Tierra a la Luna, 384400000 m, expresada en notación científica es:
3,844 · 108 m
Y, por ejemplo, el diámetro de un átomo de hidrógeno, 0,00000000005 m, expresado en notación científica es:
5 · 10-11 m
En el siguiente vídeo vamos a ver con más detalle la notación científica, vamos a aprender a expresar en notación científica números que estén en notación decimal, a convertir números con potencias en base 10 en números en notación científica, y a pasar de notación científica a notación decimal.
Cuando se trabaja con números grandes y pequeños, para hacer operaciones, es mucho más práctico hacer las operaciones directamente en notación científica.
Comparación de fracciones
Comparar fracciones consiste en deducir si una fracción es mayor o menor que otra (también podrían ser ni una cosa ni la otra, y ser equivalentes).
En algunas ocasiones nos pueden pedir ordenar fracciones de mayor a menor, y en otras ordenar fracciones de menor a mayor. Dependiendo de si las fracciones tienen el mismo denominador, el mismo numerador, o distinto denominador y numerador, se utilizan distintos métodos.
En el siguiente vídeo vamos a ver cada uno de estos casos y vamos a aprender a resolver ejercicios de ordenar fracciones tanto de mayor a menor como de menor a mayor:
¡Repaso exprés de multiplicación y división de fracciones!
Vamos a hacer un repaso exprés, en menos de un minuto, de la multiplicación y división de fracciones:
¡Cuidado que no es lo mismo! ¿Sabes calcular bien estas potencias?
A veces aprendemos cosas de forma errónea o simplemente no tenemos claros los conceptos. Un ejemplo es el siguiente que te voy a mostrar, presta mucha atención:
El reto de las fichas de dominó
Te propongo, desde el canal de YouTube de Matematicascercanas el siguiente reto con fichas de dominó:
¡Anímate a resolverlo y deja tu respuesta!
Por cierto, te voy a dar una pista: «Fracciones».
¿Qué camino es más corto, el azul o el rojo?
Te propongo, desde el canal de YouTube de Matematicascercanas el siguiente problema que es muy interesante, y además te explico la solución en menos de 1 minuto:
Día Mundial del Emoji ¡Te reto!
El 17 de julio se celebra el Día Mundial del Emoji.
Te propongo, desde el canal de YouTube de Matematicascercanas el siguiente reto:
¡Anímate con el reto y deja tu respuesta!
Ecuaciones irracionales
Una ecuación irracional es una ecuación en la que la incógnita, la x, aparece en el radicando de alguna raíz.
Un ejemplo de ecuación irracional sería el siguiente:
Para resolverlas, primero aislaremos una de las raíces que tenga en un miembro de la ecuación, y dejaremos el resto de términos en el otro miembro de la ecuación.
Después de simplificar lo que se pueda, elevaremos al cuadrado ambos miembros de la ecuación. De esa manera, después de hacer operaciones, conseguiremos que desaparezca la raíz que habíamos aislado.
En el caso de tener la ecuación más de una raíz y aún quedarnos otra raíz, volveremos a repetir el proceso, aislando esa raíz en un miembro de la ecuación, operando para simplificar en el otro miembro, y después elevando al cuadrado en ambos miembros de la ecuación.
Una vez eliminadas ya todas las raíces, obtendremos una ecuación polinómica que tendremos que resolver.
Cuando elevamos al cuadrado una ecuación no siempre se obtiene una ecuación equivalente, por lo que tenemos que comprobar que las soluciones obtenidas cumplen la ecuación inicial. Si la cumplen son soluciones de la ecuación irracional, pero si no la cumplen no lo serán.
Pero todo esto se ve y entiende mucho mejor en la práctica con ejemplos y explicándolo todo paso a paso y con detalle, así que te dejo aquí tres vídeos del canal de YouTube de Matematicascercanas con los que vas a aprender a resolver ecuaciones irracionales sin ningún problema:
Ecuaciones racionales
Una ecuación racional es una ecuación en la que aparecen fracciones algebraicas y, por lo tanto, la incógnita aparece en los denominadores.
Este sería un ejemplo de ecuación racional:
Para resolverlas, empezaremos por sustituir las fracciones algebraicas de la ecuación por otras fracciones equivalentes que tengan todas el mismo denominador.
Dicho denominador va a ser el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello será fundamental saber factorizar los polinomios que tengamos en los denominadores.
Una vez que todas las fracciones algebraicas tengan ya el mismo denominador, eliminaremos dichos denominadores y nos quedaremos solo con los numeradores, de manera que obtendremos una ecuación polinómica que tendremos que resolver.
Por último, dado que los denominadores de las fracciones de nuestra ecuación racional no pueden ser nulos (ya sabemos que no se puede dividir entre cero), tendremos que comprobar que las soluciones que hayamos obtenido no anulen los denominadores de la ecuación inicial. Si anulan alguno de los denominadores no serán entonces solución de la ecuación racional, y si no anulan ninguno sí lo serán.
Pero todo esto se ve y entiende mucho mejor en la práctica con ejemplos y explicándolo todo paso a paso y con detalle, así que te dejo aquí tres vídeos del canal de YouTube de Matematicascercanas con los que vas a aprender a resolver ecuaciones racionales sin ningún problema:
Ecuación punto-pendiente de la recta
La ecuación punto-pendiente de una recta es una ecuación de la recta que se define a partir de las coordenadas de un punto cualquiera de la recta y de la pendiente m de dicha recta.
Su expresión es la siguiente:
y – y1 = m (x – x1)
donde:
m es la pendiente de la recta
x1 e y1 son las coordenadas de un punto de la recta
Así es que, para calcular la ecuación punto-pendiente de una recta, necesitamos conocer tanto el valor de la pendiente de la recta como las coordenadas de un punto de la misma.
En el siguiente vídeo vamos a aprender a obtener la ecuación punto-pendiente en distintas situaciones: Cuando conocemos la pendiente y un punto de la recta; a partir de dos puntos de la recta; y cuando conocemos solo la ecuación explícita de la recta. Vais a ver que es muy sencillo.
Ecuaciones de grado mayor que dos
Vamos a aprender a resolver ecuaciones de grado mayor que dos.
En anteriores publicaciones aprendimos a resolver ecuaciones de primer grado, y a resolver ecuaciones de segundo grado.
Una ecuación de grado mayor que dos es una ecuación en la que el mayor exponente al que está elevada la variable es mayor que dos. Se trata, por lo tanto, de ecuaciones de tercer grado, de cuarto grado… Por ejemplo, la siguiente ecuación sería una ecuación de cuarto grado:
x4 – 3x3 – 13x2 + 15x + 6 = 0
Una cosa a tener en cuenta es que si la ecuación es de grado n va a tener como máximo n soluciones reales. Así, si la ecuación es de tercer grado, como máximo podrá tener tres soluciones reales; si es de cuarto grado, tendrá como máximo cuatro soluciones reales…
Además, si tiene soluciones enteras, éstas son necesariamente divisores del término independiente de la ecuación (el término que no tiene x).
Para resolver una ecuación de grado mayor que dos, utilizamos distintas herramientas: Extraer factor común, la regla de Ruffini, el teorema del factor, resolver ecuaciones de segundo grado, las identidades notables. Es decir, las mismas herramientas que utilizábamos para factorizar un polinomio, ya que el procedimiento que vamos a seguir es similar.
En los siguientes vídeos lo vamos a ver todo con detalle y explicado paso a paso. En el primero resolveremos una ecuación de tercer grado, en el segundo una ecuación de cuarto grado, y en el tercer vídeo una ecuación de quinto grado. No obstante, el procedimiento que vamos a aprender nos va a servir para resolver cualquier tipo de ecuación de grado mayor que dos.
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Vamos a aprender a multiplicar y dividir fracciones algebraicas.
En publicaciones anteriores estuvimos viendo cómo sumar y restar fracciones algebraicas, y también cómo simplificar fracciones algebraicas.
Para multiplicar fracciones algebraicas seguimos el procedimiento que utilizábamos en la multiplicación de fracciones numéricas, es decir, multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y colocamos dicho producto en el numerador, y multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y colocamos ese producto en el denominador.
Pero lo hacemos, y esto es muy importante, de forma indicada. Es decir, no hacemos aún la multiplicación, sino que lo dejamos de forma indicada como un producto de polinomios.
¿Por qué lo hacemos así?
Muy sencillo, porque la idea es poder simplificar de la manera más sencilla posible la fracción resultante de dicho producto de fracciones algebraicas, y como vimos que para simplificar fracciones algebraicas había que factorizar tanto el numerador como el denominador, de esta forma tenemos una buena parte del trabajo de factorización ya hecho.
Solo nos quedaría intentar factorizar los polinomios que aparecen si se puede y, por último, simplificar los factores que aparezcan a la vez en el numerador y en el denominador (el procedimiento que vimos en la simplificación de fracciones algebraicas).
Y ya, como último paso, haríamos ahora sí los productos que nos hayan quedado.
Pero como todo esto se ve mucho mejor a través de ejemplos, te lo explico con detalle y paso a paso en el siguiente vídeo:
Suma y resta de fracciones algebraicas
Vamos a aprender a sumar y restar fracciones algebraicas.
Para realizar sumas y restas con fracciones algebraicas se utilizan los mismos procedimientos que en las sumas y restas con fracciones numéricas.
Factorizar polinomios
Pensemos en qué consiste descomponer un número en factores primos. Es descomponerlo en el producto de factores que son números primos.
Por ejemplo, la descomposición en factores primos de 12 sería:
12 = 22 · 3
Pues factorizar un polinomio sería algo parecido, pero con polinomios. Es decir, factorizar un polinomio es descomponerlo en el producto de dos o más polinomios del menor grado posible.
Un ejemplo sería éste:
P(x) = x4 – 3x3 – 13x2 + 15x = x · (x – 1) · (x + 3) · (x – 5)
Para factorizar un polinomio se pueden utilizar distintas herramientas: Extraer factor común, utilizar identidades notables, la Regla de Ruffini, resolver ecuaciones de segundo grado, y siempre podemos obtener factores a partir de las raíces del polinomio.
En el siguiente vídeo vamos a aprender a factorizar polinomios. Veremos primero en qué consiste en sí la factorización y cómo podemos obtener factores del polinomio a partir de sus raíces. Después expondremos las distintas herramientas que tenemos para realizar la factorización de un polinomio, y resolveremos tres casos diferentes, muy interesantes, que nos ayudarán a aprender perfectamente a factorizar polinomios.
Logaritmos
Los logaritmos se utilizan, entre otras muchas cosas, para determinar la antigüedad de restos vegetales y animales cuando se utiliza el método del carbono 14.
Se utilizan también en psicología en la ley de Weber-Fechner.
Se utilizan en la escala de Richter para reflejar la energía que se desprende en un terremoto. La intensidad de un sismo se calcula en concreto utilizando logaritmos neperianos.
En Estadística se suelen aplicar en el crecimiento de la población, cuando la población crece muy rápidamente (exponencialmente).
También se utilizan en el experimento psicológico de Stenbeg.
Tienen también aplicaciones en la Música, en Topología, en Química por ejemplo para medir el pH de un producto.
En Astronomía los logaritmos son muy usuales, y se utilizan para poder medir el brillo y la magnitud de las estrellas.
En definitiva, todo lo que sean números grandes, se maneja mejor aplicando logaritmos. Pero…
¿Qué es un logaritmo?
Sea a un número positivo y distinto de 1, el logaritmo en base a de un número positivo N (argumento) es el exponente al que hay que elevar dicha base a para obtener N.
loga N = b ⇔ ab = N
Así, por ejemplo, el log2 8 es 3, ya que 2 hay que elevarlo a 3 para obtener 8.
log2 8 = 3 ⇔ 23 = 8
Calcular un logaritmo puede ser relativamente sencillo, aunque hay también logaritmos que no existen en los números reales. En el siguiente vídeo vamos a aprender a calcular un logaritmo utilizando la definición de logaritmo, veremos bastantes ejemplos y, además, logaritmos especiales como el logaritmo decimal y el logaritmo neperiano. Aprenderemos y deduciremos también los casos en los que no existe logaritmo.
Racionalización de fracciones
Cuando trabajamos con fracciones, en determinadas operaciones como la suma o resta de fracciones con distinto denominador, nos interesa que los denominadores sean números naturales, ya que de lo contrario nos resulta complicado hacer cosas como reducir las fracciones a mínimo común denominador.
En ocasiones las fracciones que tenemos contienen radicales en su denominador, y necesitamos eliminarlos.
Racionalizar una fracción consiste precisamente en eso, en realizar operaciones sobre la fracción original de manera que se obtengan fracciones equivalentes en las que ya no haya radicales en el denominador.
Para racionalizar una fracción utilizaremos básicamente dos procedimientos, dependiendo de si en el denominador hay solo un radical o si se trata de una suma o una resta (binomio) con radicales.
En los dos siguientes vídeos vamos a aprender a racionalizar fracciones en cada una de esas dos situaciones. Lo veremos paso a paso, explicando primero en qué nos vamos a basar para hacerlo, y resolveremos varios ejemplos con algunas diferencias entre ellos.
Operaciones combinadas con potencias de base una fracción
Seguimos con los ejercicios de operaciones combinadas con potencias, y en esta ocasión vamos a aprender a resolver ejercicios de operaciones combinadas en los que aparecen potencias cuya base es una fracción.
Además, aparecerán también potencias de base una fracción y con exponente negativo.
Os voy a explicar cómo se debe resolver este tipo de ejercicios y lo vamos a ver paso a paso en los dos siguientes vídeos.