Multiplicación y división de números enteros

Después de ver la suma y resta de números enteros, continuamos con las operaciones con números enteros y vamos a aprender ahora a multiplicar y dividir números enteros.

Multiplicar y dividir números enteros es bastante sencillo. Por un lado tenemos que multiplicar o dividir, según sea la operación que estamos haciendo, los valores absolutos de los números y, para saber el signo del resultado de la operación, tenemos que utilizar la regla de los signosley de los signos.

Pero mejor que leer una explicación es verla y escucharla.

Por eso en el siguiente vídeo voy a explicar primero cómo funciona la regla de los signos, y vamos a resolver bastantes ejemplos de multiplicaciones y divisiones de números enteros, explicando todo paso a paso.

También veremos ejemplos en los que no aparezcan todos los números enteros entre paréntesis, y otros en los que no aparezca el signo de operación entre los paréntesis o entre números y paréntesis.

Por último, aprenderemos también a resolver ejercicios de multiplicaciones y divisiones combinadas de números enteros.

Te dejo con el vídeo:

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Suma y resta de números enteros

Una de las primeras y mayores dificultades que se les presenta a los alumnos es aprender a sumar y restar números enteros, ya que el salto de los números naturales a los enteros no suele ser sencillo.

Eso de que quitemos más de lo que había, o que al sumar números se obtengan resultados negativos va en contra de la idea inicial que se tiene de las sumas.

Éste es un tema que se debe ver despacio y bien, y es fundamental entender el significado que tienen todo este tipo de operaciones.

A pesar de que hablamos de sumas y restas de números enteros, en realidad lo que vamos a hacer son siempre sumas de números enteros, y esos números enteros podrán ser positivos o negativos (salvo que estemos sumando el cero, que no es ni positivo ni negativo, sino neutro).

Alguien dirá que qué pasa con las restas entonces. Pues bien restar un número entero es equivalente a sumar el opuesto de dicho número entero. De esa manera las restas de números enteros se convierten en sumas, y siempre sumamos números enteros.

Dependiendo de si los números enteros que estamos sumando son ambos del mismo signo o son de distinto signo, lo haremos de una forma u otra.

Pero mejor que leer una explicación es verla y escucharla.

Por eso en el siguiente vídeo voy a explicar primero cómo sumar gráficamente números enteros, tanto en el caso de que tengan igual signo como en el caso de que sean de distinto signo. Veremos a la vez otras dos formas de hacer dichas sumas, sin necesidad de tener que representarlo. de hecho es lo que acabaremos haciendo en cuanto tengamos un poco de práctica.

Haremos bastantes ejemplos, y aprenderemos también a sumar y restar números enteros con paréntesis. Veremos cómo eliminar dichos paréntesis y así realizar las sumas de números enteros como las hemos aprendido.

Y, para terminar, resolveremos un ejercicio de sumas y restas combinadas de números enteros, en el que utilizaremos todo lo visto anteriormente, y que nos ayudará a consolidar el aprendizaje de la suma de números enteros.

Lo dicho, te dejo con el vídeo:

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Opuesto de un número entero

El opuesto de un número entero es otro número entero con igual valor absoluto y signo contrario.

Es decir, es otro número entero que está a la misma distancia del cero pero al otro lado de la recta numérica.

El opuesto de un número entero se representa escribiendo las letras «Op» y entre paréntesis el número. Así, por ejemplo, el opuesto de -4 sería:

Op(-4)

Según la definición que hemos dado antes, el opuesto de -4 sería:

Op(-4) = +4

Pero mejor te lo voy a explicar con más detalle en el siguiente vídeo, en el que además vamos a aprender una forma muy directa y sencilla de calcular el opuesto de un número entero, y vamos a hacer varios ejemplos.

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Valor absoluto de un número entero ✔️ Operaciones con valor absoluto

El valor absoluto de un número entero representa la distancia que hay de dicho número al cero.

El valor absoluto de un número entero se representa escribiendo el número entre dos barras verticales. Así, por ejemplo, el valor absoluto de -3 sería:

|– 3|

Y, según la definición que hemos dado antes, dado que la distancia que hay de -3 a 0 es de 3 unidades, su valor sería 3.

|– 3| = 3

 

Por otra parte, puede ocurrir que tengamos operaciones en las que aparezcan valores absolutos, como por ejemplo:

|– 6 + 1| – 2

¿Cómo se resuelve este tipo de operaciones?

En el siguiente vídeo vamos a ver con más detalle el concepto de valor absoluto de un número entero, tanto su significado como cómo calcularlo de una forma sencilla y directa, y vamos a aprender a resolver operaciones con valores absolutos, para lo cuál haremos varios ejemplos diferentes explicados paso a paso.

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Operaciones combinadas con números naturales. Jerarquía de operaciones

Para realizar operaciones combinadas con números naturales es necesario seguir un orden o jerarquía a la hora de realizar las distintas operaciones que pueden aparecer (suma, resta, multiplicación, división, potencias, raíces, paréntesis, corchetes…).

Esto es lo que se conoce habitualmente como jerarquía de operaciones. Es decir, no podemos hacer las operaciones en cualquier orden, sino siguiendo un orden determinado.

Se resuelven primero las operaciones que aparecen dentro de paréntesis y corchetes, y después el resto (aunque en ocasiones se puedan hacer algunas operaciones simultáneamente), siguiendo tanto dentro como fuera de los paréntesis este orden:

1. Potencias y raíces

2. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha, cuando aparecen seguidas)

3. Sumas y restas

A continuación incluyo dos vídeos, en los que explico toda la jerarquía de operaciones y resuelvo, paso a paso, varios ejercicios de operaciones combinadas con números naturales, empezando por un ejemplo muy sencillo y terminando con un ejercicio con todo tipo de operaciones, paréntesis, e incluso potencias y raíces.

Te aseguro que, si aprendes a hacer todo lo que te he contado en estos dos vídeos, sabrás hacer cualquier ejercicio de operaciones combinadas con números naturales.

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Fracción generatriz de un número decimal. Pasar de decimal a fracción

En algunas ocasiones tenemos que hacer operaciones en las que intervienen números decimales que no son exactos, es decir, que tienen infinitos decimales.

Si queremos evitar tener que utilizar una aproximación del número para poder realizar las operaciones con números decimales, y con ello perder exactitud en el cálculo, lo que debemos hacer es escribir dichos números en forma de fracción.

Esto es lo que se conoce como calcular la fracción generatriz de un número decimal, es decir, pasar de número decimal a fracción.

Se le llama fracción generatriz porque genera (da como resultado) dicho número decimal al dividir el numerador de la fracción entre el denominador.

Ojo, que esto, pasar de número decimal a fracción, podemos hacerlo siempre que los números decimales sean exactos, periódicos puros o periódicos mixtos (no os preocupéis porque en los vídeos que os voy a poner ahora explico perfectamente cómo es cada uno de estos números), pero no podemos hacerlo si se trata de un número irracional, que tiene infinitos decimales pero no es periódico y, por definición, no se puede expresar en forma de fracción.

Hasta aquí todo muy bien, pero necesitamos ver ejemplos y explicaciones, así que vamos a ello.

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Operaciones combinadas con potencias #4 (Con distinta base y exponente)

¡Vamos a dar un paso más y vamos a resolver un ejercicio de operaciones combinadas con potencias más completo aún que los que hemos visto hasta ahora!

En el blog hemos ido viendo cómo realizar distintas operaciones con potencias (con la misma base o con el mismo exponente) de forma individual.

En publicaciones anteriores vimos primero dos ejercicios de operaciones combinadas con potencias en los que todas las potencias tenían la misma base, después otro ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que, sin embargo, no eran todas las bases iguales, pero sí coincidían algunas, y por último resolvimos un ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que tanto las bases como los exponentes eran distintos.

En esta ocasión, también tendremos bases y exponentes diferentes, pero además aparecerán exponentes negativos e incluso alguna potencia de potencia.

Intentaremos conseguir tener potencias de igual base para poder hacer operaciones entre ellas, y para eso descompondremos las bases en factores primos primero.

Tendremos que hacer multiplicaciones de potencias de la misma base, divisiones de potencias de la misma base, potencias de una potencia, operar con potencias de exponente negativo, e incluso dividir potencias de igual exponente.

Con todo esto, os podéis imaginar que es un ejercicio típico de examen.

Pero no es preocupéis porque es más sencillo de lo que puede parecer.

Os dejo con el vídeo donde resuelvo el ejercicio paso a paso y explicándolo absolutamente todo:

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Operaciones combinadas con potencias #3 (Con distinta base y exponente)

En el blog hemos ido viendo cómo realizar distintas operaciones con potencias (con la misma base o con el mismo exponente) de forma individual.

En publicaciones anteriores vimos dos ejercicios de operaciones combinadas con potencias en los que todas las potencias tenían la misma base y otro ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que, sin embargo, no eran todas las bases iguales, pero sí coincidían algunas.

En esta ocasión vamos a ver cómo podemos resolver un ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que tanto las bases como los exponentes son distintos.

Intentaremos conseguir tener potencias de igual base para poder hacer operaciones entre ellas, y para eso descompondremos las bases en factores primos primero.

Tendremos que hacer multiplicaciones de potencias de la misma base, divisiones de potencias de la misma base y potencias de una potencia.

Pero no es preocupéis porque es más sencillo de lo que puede parecer.

Os dejo con el vídeo donde resuelvo el ejercicio paso a paso y explicándolo todo:

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Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado incompletas que sólo tienen los términos de exponente par.

Es decir si, por ejemplo, la incógnita o variable es x, tienen término con x4 y con x2, pero no tienen ningún término con x3 o con x. Un ejemplo de ecuación bicuadrada sería el siguiente:

x4 – 4x2 + 3 = 0

Para resolver las ecuaciones bicuadradras utilizamos un cambio de variable, de manera que conseguimos primero transformarlas en ecuaciones de segundo grado con una nueva variable y, después de resolverlas, deshaciendo el cambio de variable que habíamos realizado, conseguimos obtener las soluciones de la ecuación bicuadrada inicial.

En el siguiente vídeo explico todo el procedimiento a seguir, paso a paso y con detalle, y realizo tres ejemplos para que se pueda entender perfectamente:

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División de polinomios

Después de haber visto la suma y resta de polinomios, el producto de un número por un polinomio, el producto de un monomio por un polinomio, y el producto de dos polinomios, vamos a aprender ahora a realizar la división o cociente de dos polinomios.

En el siguiente vídeo explico, paso a paso, todo el proceso que se debe seguir para dividir dos polinomios, y hago dos ejemplos diferentes para que quede todo muy claro:

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