Simplificar una fracción. Fracción irreducible

En una publicación anterior estuvimos viendo cómo obtener fracciones equivalentes a una fracción dada.

Vimos que se podían obtener fracciones equivalentes por amplificación, multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número:


Y también se podían obtener fracciones equivalentes por reducción o simplificación, dividiendo el numerador y el denominador de la fracción entre un divisor común a ambos.

Vimos también que el proceso de simplificar o reducir una fracción se termina cuando se llega a una fracción que ya no se puede simplificar más, porque el numerador y el denominador no tienen ya ningún divisor común distinto de la unidad, y a dicha fracción la llamábamos fracción irreducible.

Una forma de llegar a la fracción irreducible es ir simplificando la fracción paso a paso hasta que no se pueda simplificar ya más:

Y otra forma directa de hacerlo sería calcular primero el máximo común divisor del numerador y el denominador, y dividir directamente el numerador y el denominador entre el máximo común divisor, ya que es el mayor divisor común que tienen ambos números:

Pues bien, tenemos otra forma muy interesante de obtener la fracción irreducible de una fracción dada, y es utilizando la descomposición en factores primos del numerador y del denominador, pero sin necesidad de tener que calcular el máximo común divisor. La vemos en el siguiente vídeo:

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Comparación de fracciones

Comparar fracciones consiste en deducir si una fracción es mayor o menor que otra (también podrían ser ni una cosa ni la otra, y ser equivalentes).

En algunas ocasiones nos pueden pedir ordenar fracciones de mayor a menor, y en otras ordenar fracciones de menor a mayor. Dependiendo de si las fracciones tienen el mismo denominador, el mismo numerador, o distinto denominador y numerador, se utilizan distintos métodos.

En el siguiente vídeo vamos a ver cada uno de estos casos y vamos a aprender a resolver ejercicios de ordenar fracciones tanto de mayor a menor como de menor a mayor:

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¡Repaso exprés de multiplicación y división de fracciones!

Vamos a hacer un repaso exprés, en menos de un minuto, de la multiplicación y división de fracciones:

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¡Esto te salvará en más de un examen!

Vamos a hacer un rapidísimo repaso, en menos de un minuto, de algunas cosas de álgebra y potencias que seguro te salvarán en más de un examen:

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Ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial es una ecuación en la que la incógnita, la x normalmente, aparece en el exponente de una potencia.

Un ejemplo de ecuación exponencial sería esta:

Dependiendo del tipo de ecuación exponencial el método de resolución es diferente.

Básicamente hay tres tipos de ecuaciones exponenciales:

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¿Sabes calcular esta potencia? Aprende a hacerlo en 30 segundos

Te voy explicar como calcular la potencia de la imagen anterior, que tiene de base una fracción y exponente negativo, en 30 segundos:

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Aprende a calcular todas estas potencias en un minuto

¡Muy atento al siguiente vídeo de solo un minuto en el que vas a aprender la diferencia que hay entre todas estas potencias!

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¡Cuidado que no es lo mismo! ¿Sabes calcular bien estas potencias?

A veces aprendemos cosas de forma errónea o simplemente no tenemos claros los conceptos. Un ejemplo es el siguiente que te voy a mostrar, presta mucha atención:

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Ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita, la x normalmente, aparece formando parte de un logaritmo.

Un ejemplo de ecuación logarítmica sería este:

Los tipos más sencillos de ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones que solo tienen un logaritmo, y la incógnita (la x) es o bien la base del logaritmo o bien el argumento del logaritmo.

Este tipo de ecuaciones se resuelven utilizando la definición de logaritmo y resolviendo después una ecuación bastante sencilla. En el siguiente vídeo os enseño cómo resolver este tipo de ecuaciones con muchos ejemplos:

El resto de ecuaciones logarítmicas se resuelven, en su gran mayoría, utilizando las propiedades de los logaritmos para conseguir tener un único logaritmo con la misma base a cada lado de la ecuación, y así poder quedarse solo con la igualdad de los argumentos de los logaritmos. de esa manera queda una ecuación (generalmente polinómica) que se resuelve y nos da las posibles soluciones de la ecuación logarítmica.

Dichas soluciones debe comprobarse que al sustituirlas en los logaritmos no den argumentos nulos o negativos, ya que esos logaritmos no existen, y por lo tanto no serían soluciones de la ecuación logarítmica.

En los siguientes vídeos vamos a aprender a resolver este tipo de ecuaciones logarítmicas:

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Aprendemos a calcular la raíz cúbica de 2744 en menos de un minuto

¿Sabes calcular la raíz cúbica de 2744 sin utilizar la calculadora?

Desde el canal de YouTube de Matematicascercanas vamos a aprender a hacerlo en menos de un minuto:

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Ecuaciones irracionales

Una ecuación irracional es una ecuación en la que la incógnita, la x, aparece en el radicando de alguna raíz.

Un ejemplo de ecuación irracional sería el siguiente:

Para resolverlas, primero aislaremos una de las raíces que tenga en un miembro de la ecuación, y dejaremos el resto de términos en el otro miembro de la ecuación.

Después de simplificar lo que se pueda, elevaremos al cuadrado ambos miembros de la ecuación. De esa manera, después de hacer operaciones, conseguiremos que desaparezca la raíz que habíamos aislado.

En el caso de tener la ecuación más de una raíz y aún quedarnos otra raíz, volveremos a repetir el proceso, aislando esa raíz en un miembro de la ecuación, operando para simplificar en el otro miembro, y después elevando al cuadrado en ambos miembros de la ecuación.

Una vez eliminadas ya todas las raíces, obtendremos una ecuación polinómica que tendremos que resolver.

Cuando elevamos al cuadrado una ecuación no siempre se obtiene una ecuación equivalente, por lo que tenemos que comprobar que las soluciones obtenidas cumplen la ecuación inicial. Si la cumplen son soluciones de la ecuación irracional, pero si no la cumplen no lo serán.

Pero todo esto se ve y entiende mucho mejor en la práctica con ejemplos y explicándolo todo paso a paso y con detalle, así que te dejo aquí tres vídeos del canal de YouTube de Matematicascercanas con los que vas a aprender a resolver ecuaciones irracionales sin ningún problema:

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Ecuaciones racionales

Una ecuación racional es una ecuación en la que aparecen fracciones algebraicas y, por lo tanto, la incógnita aparece en los denominadores.

Este sería un ejemplo de ecuación racional:

Para resolverlas, empezaremos por sustituir las fracciones algebraicas de la ecuación por otras fracciones equivalentes que tengan todas el mismo denominador.

Dicho denominador va a ser el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello será fundamental saber factorizar los polinomios que tengamos en los denominadores.

Una vez que todas las fracciones algebraicas tengan ya el mismo denominador, eliminaremos dichos denominadores y nos quedaremos solo con los numeradores, de manera que obtendremos una ecuación polinómica que tendremos que resolver.

Por último, dado que los denominadores de las fracciones de nuestra ecuación racional no pueden ser nulos (ya sabemos que no se puede dividir entre cero), tendremos que comprobar que las soluciones que hayamos obtenido no anulen los denominadores de la ecuación inicial. Si anulan alguno de los denominadores no serán entonces solución de la ecuación racional, y si no anulan ninguno sí lo serán.

Pero todo esto se ve y entiende mucho mejor en la práctica con ejemplos y explicándolo todo paso a paso y con detalle, así que te dejo aquí tres vídeos del canal de YouTube de Matematicascercanas con los que vas a aprender a resolver ecuaciones racionales sin ningún problema:

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Ecuación punto-pendiente de la recta

La ecuación punto-pendiente de una recta es una ecuación de la recta que se define a partir de las coordenadas de un punto cualquiera de la recta y de la pendiente m de dicha recta.

Su expresión es la siguiente:

y y1 = m (xx1)

donde:

m es la pendiente de la recta

x1 e y1 son las coordenadas de un punto de la recta

Así es que, para calcular la ecuación punto-pendiente de una recta, necesitamos conocer tanto el valor de la pendiente de la recta como las coordenadas de un punto de la misma.

En el siguiente vídeo vamos a aprender a obtener la ecuación punto-pendiente en distintas situaciones: Cuando conocemos la pendiente y un punto de la recta; a partir de dos puntos de la recta; y cuando conocemos solo la ecuación explícita de la recta. Vais a ver que es muy sencillo.

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Repartos directamente proporcionales e inversamente proporcionales

Vamos a aprender a realizar repartos de dos formas diferentes: Repartos directamente proporcionales, y repartos inversamente proporcionales.

En un reparto directamente proporcional, se reparte una cantidad determinada (puede ser dinero o cualquier otra cosa) de forma directamente proporcional a una serie de valores dados (edades, dinero aportado…).

Así, al mayor valor le corresponde la mayor cantidad, y al menor valor le corresponde la menor cantidad.

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Ecuaciones de grado mayor que dos

Vamos a aprender a resolver ecuaciones de grado mayor que dos.

En anteriores publicaciones aprendimos a resolver ecuaciones de primer grado, y a resolver ecuaciones de segundo grado.

Una ecuación de grado mayor que dos es una ecuación en la que el mayor exponente al que está elevada la variable es mayor que dos. Se trata, por lo tanto, de ecuaciones de tercer grado, de cuarto grado… Por ejemplo, la siguiente ecuación sería una ecuación de cuarto grado:

x4 – 3x3 – 13x2 + 15x + 6 = 0

Una cosa a tener en cuenta es que si la ecuación es de grado n va a tener como máximo soluciones reales. Así, si la ecuación es de tercer grado, como máximo podrá tener tres soluciones reales; si es de cuarto grado, tendrá como máximo cuatro soluciones reales…

Además, si tiene soluciones enteras, éstas son necesariamente divisores del término independiente de la ecuación (el término que no tiene x).

Para resolver una ecuación de grado mayor que dos, utilizamos distintas herramientas: Extraer factor común, la regla de Ruffini, el teorema del factor, resolver ecuaciones de segundo grado, las identidades notables. Es decir, las mismas herramientas que utilizábamos para factorizar un polinomio, ya que el procedimiento que vamos a seguir es similar.

En los siguientes vídeos lo vamos a ver todo con detalle y explicado paso a paso. En el primero resolveremos una ecuación de tercer grado, en el segundo una ecuación de cuarto grado, y en el tercer vídeo una ecuación de quinto grado. No obstante, el procedimiento que vamos a aprender nos va a servir para resolver cualquier tipo de ecuación de grado mayor que dos.

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Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Vamos a aprender a multiplicar y dividir fracciones algebraicas.

En publicaciones anteriores estuvimos viendo cómo sumar y restar fracciones algebraicas, y también cómo simplificar fracciones algebraicas.

Para multiplicar fracciones algebraicas seguimos el procedimiento que utilizábamos en la multiplicación de fracciones numéricas, es decir, multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y colocamos dicho producto en el numerador, y multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y colocamos ese producto en el denominador.

Pero lo hacemos, y esto es muy importante, de forma indicada. Es decir, no hacemos aún la multiplicación, sino que lo dejamos de forma indicada como un producto de polinomios.

¿Por qué lo hacemos así?

Muy sencillo, porque la idea es poder simplificar de la manera más sencilla posible la fracción resultante de dicho producto de fracciones algebraicas, y como vimos que para simplificar fracciones algebraicas había que factorizar tanto el numerador como el denominador, de esta forma tenemos una buena parte del trabajo de factorización ya hecho.

Solo nos quedaría intentar factorizar los polinomios que aparecen si se puede y, por último, simplificar los factores que aparezcan a la vez en el numerador y en el denominador (el procedimiento que vimos en la simplificación de fracciones algebraicas).

Y ya, como último paso, haríamos ahora sí los productos que nos hayan quedado.

Pero como todo esto se ve mucho mejor a través de ejemplos, te lo explico con detalle y paso a paso en el siguiente vídeo:

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Suma y resta de fracciones algebraicas

Vamos a aprender a sumar y restar fracciones algebraicas.

Para realizar sumas y restas con fracciones algebraicas se utilizan los mismos procedimientos que en las sumas y restas con fracciones numéricas.

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Simplificar fracciones algebraicas

Empecemos por ver qué es una fracción algebraica. Es una fracción en la que el numerador y el denominador son polinomios.

Por ejemplo, la siguiente fracción sería una fracción algebraica:

Simplificar una fracción algebraica es encontrar otra fracción algebraica equivalente a ella más sencilla. Que sea más sencilla quiere decir que los polinomios del numerador y del denominador tengan menor grado.

Los pasos que vamos a seguir para simplificar una fracción algebraica son muy sencillos.

Primero factorizaremos tanto el numerador como el denominador, y después simplificaremos aquellos factores que se estén en el numerador y en denominador a la vez.

Por último, si queda alguna operación de multiplicación por hacer entre factores la haremos.

En el siguiente vídeo vamos a aprender a simplificar fracciones algebraicas. Resolveremos dos ejercicios y lo haremos paso a paso explicándolo todo con detalle.

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Factorizar polinomios

Pensemos en qué consiste descomponer un número en factores primos. Es descomponerlo en el producto de factores que son números primos.

Por ejemplo, la descomposición en factores primos de 12 sería:

12 = 22 · 3

Pues factorizar un polinomio sería algo parecido, pero con polinomios. Es decir, factorizar un polinomio es descomponerlo en el producto de dos o más polinomios del menor grado posible.

Un ejemplo sería éste:

P(x) = x4 – 3x3 – 13x2 + 15x · (x – 1) · (x + 3) · (x – 5)

Para factorizar un polinomio se pueden utilizar distintas herramientas: Extraer factor común, utilizar identidades notables, la Regla de Ruffini, resolver ecuaciones de segundo grado, y siempre podemos obtener factores a partir de las raíces del polinomio.

En el siguiente vídeo vamos a aprender a factorizar polinomios. Veremos primero en qué consiste en sí la factorización y cómo podemos obtener factores del polinomio a partir de sus raíces. Después expondremos las distintas herramientas que tenemos para realizar la factorización de un polinomio, y resolveremos tres casos diferentes, muy interesantes, que nos ayudarán a aprender perfectamente a factorizar polinomios.

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Raíces o ceros de un polinomio

Las raíces de un polinomio P(x), también conocidas como ceros del polinomio, son los valores de x que hacen que el valor numérico del polinomio sea igual a cero, es decir, las soluciones de la ecuación P(x) = 0.

Calcular las raíces de un polinomio P(x) equivale, por lo tanto, a resolver la ecuación P(x) = 0.

Así, por ejemplo, las raíces del polinomio P(x) = 2x3 + 8x2 – 2x – 8, serán las soluciones de la ecuación:

2x3 + 8x2 – 2x – 8 = 0

Por cierto, en este caso concreto, dichas raíces serían: x = 1, x = -1, x = -4.

Si se sustituye en la expresión del polinomio P(x) cada x que aparece por estos valores, es decir, se calcula el valor numérico del polinomio para x = 1, x = -1, x = -4, se obtiene como resultado cero.

En los dos siguientes vídeos vamos a ver cómo se calculan las raíces de polinomios. Al mismo tiempo estaremos aprendiendo a resolver ecuaciones de grado mayor que 2.

Veremos primero una serie de cosas importantes a tener en cuenta a la hora de intentar calcular las raíces de un polinomio, y también las distintas herramientas matemáticas con las que contamos para hacerlo: Extraer factor común, Regla de Ruffini, Teorema del resto y del factor, resolver ecuaciones de segundo grado

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