Operaciones combinadas con potencias #4 (Con distinta base y exponente)

¡Vamos a dar un paso más y vamos a resolver un ejercicio de operaciones combinadas con potencias más completo aún que los que hemos visto hasta ahora!

En el blog hemos ido viendo cómo realizar distintas operaciones con potencias (con la misma base o con el mismo exponente) de forma individual.

En publicaciones anteriores vimos primero dos ejercicios de operaciones combinadas con potencias en los que todas las potencias tenían la misma base, después otro ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que, sin embargo, no eran todas las bases iguales, pero sí coincidían algunas, y por último resolvimos un ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que tanto las bases como los exponentes eran distintos.

En esta ocasión, también tendremos bases y exponentes diferentes, pero además aparecerán exponentes negativos e incluso alguna potencia de potencia.

Intentaremos conseguir tener potencias de igual base para poder hacer operaciones entre ellas, y para eso descompondremos las bases en factores primos primero.

Tendremos que hacer multiplicaciones de potencias de la misma base, divisiones de potencias de la misma base, potencias de una potencia, operar con potencias de exponente negativo, e incluso dividir potencias de igual exponente.

Con todo esto, os podéis imaginar que es un ejercicio típico de examen.

Pero no es preocupéis porque es más sencillo de lo que puede parecer.

Os dejo con el vídeo donde resuelvo el ejercicio paso a paso y explicándolo absolutamente todo:

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Operaciones combinadas con potencias #3 (Con distinta base y exponente)

En el blog hemos ido viendo cómo realizar distintas operaciones con potencias (con la misma base o con el mismo exponente) de forma individual.

En publicaciones anteriores vimos dos ejercicios de operaciones combinadas con potencias en los que todas las potencias tenían la misma base y otro ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que, sin embargo, no eran todas las bases iguales, pero sí coincidían algunas.

En esta ocasión vamos a ver cómo podemos resolver un ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que tanto las bases como los exponentes son distintos.

Intentaremos conseguir tener potencias de igual base para poder hacer operaciones entre ellas, y para eso descompondremos las bases en factores primos primero.

Tendremos que hacer multiplicaciones de potencias de la misma base, divisiones de potencias de la misma base y potencias de una potencia.

Pero no es preocupéis porque es más sencillo de lo que puede parecer.

Os dejo con el vídeo donde resuelvo el ejercicio paso a paso y explicándolo todo:

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Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado incompletas que sólo tienen los términos de exponente par.

Es decir si, por ejemplo, la incógnita o variable es x, tienen término con x4 y con x2, pero no tienen ningún término con x3 o con x. Un ejemplo de ecuación bicuadrada sería el siguiente:

x4 – 4x2 + 3 = 0

Para resolver las ecuaciones bicuadradras utilizamos un cambio de variable, de manera que conseguimos primero transformarlas en ecuaciones de segundo grado con una nueva variable y, después de resolverlas, deshaciendo el cambio de variable que habíamos realizado, conseguimos obtener las soluciones de la ecuación bicuadrada inicial.

En el siguiente vídeo explico todo el procedimiento a seguir, paso a paso y con detalle, y realizo tres ejemplos para que se pueda entender perfectamente:

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División de polinomios

Después de haber visto la suma y resta de polinomios, el producto de un número por un polinomio, el producto de un monomio por un polinomio, y el producto de dos polinomios, vamos a aprender ahora a realizar la división o cociente de dos polinomios.

En el siguiente vídeo explico, paso a paso, todo el proceso que se debe seguir para dividir dos polinomios, y hago dos ejemplos diferentes para que quede todo muy claro:

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Teorema de la altura y Teorema del cateto

Vamos a ver dos teoremas que, como ocurría con el Teorema de Pitágoras, se pueden utilizar en triángulos rectángulos: El Teorema de la altura y el Teorema del cateto.

El Teorema de la altura relaciona la altura sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo con las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa.

El Teorema del cateto relaciona, para cada uno de los dos catetos del triángulo rectángulo, el cateto con su proyección sobre la hipotenusa y la hipotenusa.

Pero vamos a ver todo esto explicado en el siguiente vídeo, donde resolveremos además cuatro ejemplos con diferentes datos de partida, de manera que aprenderemos a resolver cualquier ejercicio que nos puedan plantear.

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Teorema de Tales – Semejanza de triángulos

En el siguiente vídeo vamos a aprender a utilizar el Teorema de Tales.

Lo veremos en el caso de rectas cortadas por otras rectas paralelas, estableciendo proporcionalidad entre segmentos, y también cuando tengamos triángulos en posición de Tales utilizando la semejanza de triángulos.

Vamos a hacer bastantes ejemplos, recogiendo todas las situaciones que os podéis encontrar en  ejercicios, y así sabréis cómo resolverlos sin problema.

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Posición relativa de dos rectas en el plano

En el plano, dos rectas pueden ser: Secantes (tienen distinta pendiente y se cortan en un punto), paralelas (tienen la misma pendiente y pasan por distintos puntos, no cortándose nunca), o coincidentes (tienen la misma pendiente y pasan por los mismos puntos).

Estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano consiste por lo tanto en determinar, a partir de sus ecuaciones, si dos rectas son secantes, paralelas o coincidentes.

Podemos hacerlo de distintas formas. Nosotros vamos a hacerlo aquí utilizando dos procedimientos diferentes: A partir de la ecuación explícita de las rectas, y a partir de su ecuación general.

En este primer vídeo te explico cómo estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano utilizando su ecuación explícita:

En este segundo vídeo aprenderemos a estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano utilizando su ecuación general:

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Ecuación de una recta – Ecuación explícita

La ecuación explícita de una recta es una ecuación de la forma:

y = mx + n

Donde:

m es la pendiente de la recta

n es la ordenada en el origen

¿Cómo se obtiene la ecuación de una recta?

Dependiendo de los datos que nos den seguiremos un procedimiento u otro. En el siguiente vídeo vamos a aprender a obtener la ecuación de una recta en distintas situaciones: A partir de la representación gráfica de la recta, a partir de la pendiente de la recta y un punto de la misma, a partir de la ordenada en el origen y un punto de la recta, a partir de dos puntos de la recta (lo veremos utilizando dos métodos diferentes), y a partir de la ecuación general de la recta.

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Pendiente de una recta

La pendiente de una recta mide la inclinación de la recta.

Es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X, es decir, con la horizontal. Dicho de una forma fácil de entender, nos indica lo que aumenta o disminuye la recta en vertical (en la ordenada o coordenada y) respecto de la variación en horizontal (en la abscisa o coordenada x).

Pero, ¿cómo podemos calcular la pendiente de una recta

En el siguiente vídeo explico con detalle qué es la pendiente de una recta, y cómo podemos calcularla en diferentes casos: A partir de la representación gráfica de la recta, a partir de dos puntos de la recta, a partir de un vector director de la recta, y a partir de la ecuación de la recta.

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Funciones afines, lineales y constantes

Las funciones afines son funciones de la forma:

y = mx + n

Su representación gráfica es una recta.

En la expresión anterior, m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen.

Un ejemplo de función afín sería:

y = 2x + 1

La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X. Dicho de otra forma, es lo que aumenta (si la recta es creciente) o disminuye (si la recta es decreciente) la y (en vertical) cuando avanzamos una unidad en las x (en horizontal).

La ordenada en el origen nos indica dónde corta la recta al eje Y (eje vertical), y es la ordenada (coordenada y) del punto de corte de la recta con el eje Y.

Cuando la ordenada en el origen n es cero, la función es de la forma:

y = mx

y es una función lineal.

Su representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Un ejemplo de función lineal es:

y = 3x

Si la pendiente m es cero, la expresión de la función es:

y = n

Para cualquier valor de x el valor de la función es siempre el mismo, y por eso, a este tipo de funciones se las llama funciones constantes.

La gráfica de una función constante es una recta paralela al eje X.

Un ejemplo de función constante es:

y = 3

En el siguiente vídeo vamos a ver con mucho más detalle las funciones afines, las funciones lineales y las funciones constantes. Aprenderemos los conceptos básicos: Pendiente de la recta, ordenada en el origen, a distinguir unas funciones de otras, y a deducir la ecuación de cada función a partir de su gráfica:

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