La pendiente de una recta mide la inclinación de la recta.
Es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X, es decir, con la horizontal. Dicho de una forma fácil de entender, nos indica lo que aumenta o disminuye la recta en vertical (en la ordenada o coordenada y) respecto de la variación en horizontal (en la abscisa o coordenada x).
Pero, ¿cómo podemos calcular la pendiente de una recta?
En el siguiente vídeo explico con detalle qué es la pendiente de una recta, y cómo podemos calcularla en diferentes casos: A partir de la representación gráfica de la recta, a partir de dos puntos de la recta, a partir de un vector director de la recta, y a partir de la ecuación de la recta.
En la expresión anterior, m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen.
Un ejemplo de función afín sería:
y = 2x + 1
La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X. Dicho de otra forma, es lo que aumenta (si la recta es creciente) o disminuye (si la recta es decreciente) la y (en vertical) cuando avanzamos una unidad en las x (en horizontal).
La ordenada en el origen nos indica dónde corta la recta al eje Y (eje vertical), y es la ordenada (coordenada y) del punto de corte de la recta con el eje Y.
Cuando la ordenada en el origen n es cero, la función es de la forma:
Si la pendiente m es cero, la expresión de la función es:
y = n
Para cualquier valor de x el valor de la función es siempre el mismo, y por eso, a este tipo de funciones se las llama funciones constantes.
La gráfica de una función constante es una recta paralela al eje X.
Un ejemplo de función constante es:
y = 3
En el siguiente vídeo vamos a ver con mucho más detalle las funciones afines, las funciones lineales y las funciones constantes. Aprenderemos los conceptos básicos: Pendiente de la recta, ordenada en el origen, a distinguir unas funciones de otras, y a deducir la ecuación de cada función a partir de su gráfica:
En una publicación anterior estuvimos viendo cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de reducción.
En dicho método, primero eliminábamos una de las dos incógnitas, obteniendo así la otra incógnita, y después sustituíamos el valor obtenido en una de las dos ecuaciones iniciales para obtener la incógnita que nos faltaba resolviendo la ecuación de primer grado que nos quedaba.
El método de reducción doble es una variante del método de reducción que nos puede venir muy bien cuando estamos utilizando el método de reducción y la primera incógnita que obtenemos nos sale una fracción que no es un número entero.
Al sustituir el valor de esa incógnita (una fracción que no es un número entero) en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales obtendríamos una ecuación de primer grado con denominadores que tendríamos que resolver.
Para evitar tener que resolver esa ecuación con denominadores, se utiliza este método de reducción doble, que consiste en volver a aplicar la primera parte del método de reducción pero con la otra incógnita, es decir, eliminamos la otra incógnita, y así conseguimos obtener el valor de la que nos quedaba por calcular.
Lo vemos todo paso a paso en el siguiente vídeo, y vais a ver que es muy sencillo:
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por un par de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Los dos sistemas de ecuaciones que aparecen en la imagen inicial serían un ejemplo de sistemas de ecuaciones lineales, y las incógnitas serían x e y.
A este tipo de ecuaciones que forman el sistema se las denomina lineales porque su representación gráfica en los ejes de coordenadas X e Y es una línea recta.
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en obtener el par de valores de x y de y (de las incógnitas) que verifican las dos ecuaciones del sistema a la vez, es decir, que al sustituir las incógnitas por dichos valores se cumplen las dos igualdades.
Para resolver un sistema de ecuaciones se pueden utilizar distintos métodos: el método gráfico, el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción.
En el siguiente vídeo vamos a aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de reducción.
Lo vamos a ver todo paso a paso, con todo detalle, para que se entienda perfectamente. Además veremos un ejemplo de sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones, y otro ejemplo sin solución, para que no tengáis ningún problema y sepáis qué hacer cuando os aparezcan.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por un par de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
El sistema de ecuaciones que aparece en la imagen inicial sería un ejemplo de sistema de ecuaciones lineales, y las incógnitas serían x e y.
A este tipo de ecuaciones que forman el sistema se las denomina lineales porque su representación gráfica en los ejes de coordenadas X e Y es una línea recta.
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en obtener el par de valores de x y de y (de las incógnitas) que verifican las dos ecuaciones del sistema a la vez, es decir, que al sustituir las incógnitas por dichos valores se cumplen las dos igualdades.
Para resolver un sistema de ecuaciones se pueden utilizar distintos métodos: el método gráfico, el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción.
En el siguiente vídeo vamos a aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de igualación.
Lo vamos a ver todo paso a paso, e incluso aprenderemos a comprobar también la solución obtenida, y veremos también un ejemplo de sistema de ecuaciones sin solución. Vais a ver que no es complicado.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por un par de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
El sistema de ecuaciones que aparece en la imagen inicial sería un ejemplo de sistema de ecuaciones lineales, y las incógnitas serían x e y.
A este tipo de ecuaciones que forman el sistema se las denomina lineales porque su representación gráfica en los ejes de coordenadas X e Y es una línea recta.
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en obtener el par de valores de x y de y (de las incógnitas) que verifican las dos ecuaciones del sistema a la vez, es decir, que al sustituir las incógnitas por dichos valores se cumplen las dos igualdades.
Para resolver un sistema de ecuaciones se pueden utilizar distintos métodos: el método gráfico, el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción.
En el siguiente vídeo vamos a aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución.
Lo vamos a ver todo paso a paso, e incluso aprenderemos a comprobar también la solución obtenida. Vais a ver que no es complicado.
Las identidades notables son unas igualdades algebraicas que nos permiten calcular de forma directa determinadas operaciones con polinomios.
Además de identidades notables, se les llama también igualdades notables y productos notables.
Las tres identidades notables más conocidas, que son las que vamos a ver, son: el cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia y la suma por diferencia:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
En el siguiente vídeo vamos a aprender a utilizar cada una de ellas. Veremos primero de dónde salen estas igualdades, y después haremos bastantes ejercicios explicando todo paso a paso y con detalle:
Para multiplicar dos polinomios, es muy importante escribir ambos entre paréntesis, y debemos multiplicar cada término o monomio del primer polinomio por cada término o monomio del segundo polinomio.
Cuanto mayor sea el número de términos que tengan los polinomios, más operaciones de multiplicación de monomios nos van a salir, por lo que más fácil será equivocarse y más cuidado deberemos tomar.
En el siguiente vídeo explico todo el proceso de multiplicar dos polinomios paso a paso, con detalle, y a través de varios ejemplos:
Para hacer el producto o multiplicación de un monomio por un polinomio, lo que tenemos que hacer es multiplicar dicho monomio por cada uno de los términos o monomios que forman el polinomio.
Después de haber visto la suma y resta de polinomios, continuamos con las operaciones con polinomios y vamos a aprender a multiplicar un número por un polinomio.
Para hacer el producto o multiplicación de un número por un polinomio, lo que tenemos que hacer es multiplicar dicho número por cada uno de los términos o monomios que forman el polinomio.
Pero mejor te lo explico a través de varios ejemplos, de suma y de resta de polinomios, en el siguiente vídeo, ya que es muy importante utilizar correctamente los paréntesis en los polinomios y aplicar bien la regla de signos cuando estamos restando polinomios:
En el siguiente vídeo contesto a esas preguntas. Aprendemos a identificar el término principal en un polinomio, el coeficiente principal, el término independiente, y cómo se calcula el grado de un polinomio. Para ello hacemos varios ejemplos, viendo algunos casos particulares, para que todo se entienda perfectamente:
Para calcular la potencia de un monomio se eleva al exponente el coeficiente del monomio y cada una de las variables de la parte literal (con sus respectivos exponentes).
Si no tienes claro claro cuál es el coeficiente de un monomio y su parte literal, puedes recordarlo aquí:
Las operaciones que hacemos al elevar las variables o letras (con sus exponentes) de la parte literal al exponente de la potencia que queremos calcular son básicamente operaciones de potencia de una potencia.
Por ejemplo, la potencia que aparece en la imagen inicial sería:
(-5a3b2)2 = (-5)2 (a3)2 (b2)2 = 25a6b4
Pero, como todo se entiende mucho mejor cuando te lo explican con detalle y con ejemplos, en el siguiente vídeo aprendemos a hacer la potencia de un monomio, y hacemos bastantes ejemplos, con monomios positivos y negativos, fracciones, partes literales con varias letras o variables diferentes… un poco de todo lo que puede salirnos en un ejercicio para que os quede todo muy claro y estéis preparados para cualquier caso que os pueda aparecer de potencias de monomios:
Dividir dos monomios es sencillo, simplemente tenemos que dividir, por un lado, los coeficientes de los monomios entre sí y, por otro lado, dividir las partes literales de los monomios.
Si no tienes claro claro cuál es el coeficiente de un monomio y su parte literal, puedes recordarlo aquí:
Pero, como todo se entiende mucho mejor cuando te lo explican con detalle y con ejemplos, en el siguiente vídeo aprendemos a dividir monomios, y hacemos bastantes ejemplos, con coeficientes positivos y negativos, partes literales con varias letras o variables diferentes… un poco de todo lo que puede salirnos en un ejercicio para que te quede todo muy claro y estés preparado para cualquier caso que te pueda aparecer de división de monomios:
Multiplicar dos monomios es sencillo, simplemente tenemos que multiplicar, por un lado, los coeficientes de los monomios entre sí y, por otro lado, multiplicar las partes literales de los monomios.
Si no tienes claro claro cuál es el coeficiente de un monomio y su parte literal, puedes recordarlo aquí:
Pero, como todo se entiende mucho mejor cuando te lo explican con detalle y con ejemplos, en el siguiente vídeo aprendemos a multiplicar monomios, y hacemos bastantes ejemplos, con coeficientes positivos y negativos, fracciones, partes literales con varias letras o variables diferentes… un poco de todo lo que puede salirnos en un ejercicio para que te quede todo muy claro y estés preparado para cualquier caso que te pueda aparecer de multiplicación de monomios:
Multiplicar un número por un monomio es muy sencillo, simplemente tenemos que multiplicar el número por el coeficiente del monomio, y escribir la misma parte literal que tenía el monomio.
Si no tienes claro claro cuál es el coeficiente de un monomio y su parte literal, puedes recordarlo aquí:
Como las cosas se entienden mucho mejor cuando te las explican directamente, en el siguiente vídeo aprendemos a multiplicar un número por un monomio, y hacemos bastantes ejemplos, con números y monomios positivos y negativos, fracciones… un poco de todo lo que puede salirnos en un ejercicio para que te quede todo muy claro y estés preparado para cualquier caso que te pueda aparecer.
Cuando los monomios no son semejantes, la suma o resta se debe dejar indicada, es decir, sin poder dar como resultado un único monomio.
¿Cómo se suman y restan monomios semejantes?
Sumar o restar monomios semejantes es muy sencillo, ya que basta con sumar o restar los coeficientes (sumar si estamos considerando números reales con su signo, positivos o negativos) y mantener la misma parte literal.
Por ejemplo:
2x + 3x = (2+3)x = 5x
Pero muchas veces no todos los monomios son semejantes, y lo son solo algunos entre sí, otras veces pueden aparecer paréntesis agrupando varios monomios con un signo menos delante de dicho paréntesis, tener algunos monomios coeficientes que sean fracciones, o no diferenciarse bien si los monomios son semejantes o no para poder sumarlos o restarlos.
Para ayudarnos con todo esto, en el siguiente vídeo explico todo esto que he contado hasta ahora con más detalle, y hacemos bastantes ejercicios de suma y resta de monomios con casos diferentes, incluso alguno con paréntesis y fracciones, para que quede todo muy claro y estéis preparados para cualquier ejercicio que os pueda aparecer.
Que dos monomios, o términos, sean semejantes quiere decir que tienen la misma parte literal.
Como vimos en la publicación de introducción a los monomios, la parte literal es la parte donde están las letras o variables con sus correspondientes exponentes.
Por ejemplo, dos monomios semejantes serían el monomio 3x y el monomio 5x, ya que en ambos la parte literal es x, es decir, tienen la misma parte literal.
Saber distinguir cuándo dos monomios o términos son semejantes y cuándo no lo son es muy importante, ya que solo se pueden sumar y restar monomios cuando son semejantes.
A veces pueden coincidir las letras pero no tener exactamente los mismos exponentes, o aparecer en un orden diferente, y puede llevarnos a confusión y no distinguir bien si los monomios o términos son semejantes o no.
En el siguiente vídeo vamos a ver bastantes ejemplos, incluyendo todo este tipo de situaciones, para que veas así todos los casos que pueden darse y aprendas a distinguir bien monomios que son semejantes de los que no lo son:
