Vamos a hacerle cosas a la “U”… o a la “V”… bueno, yo me entiendo

¿Hacerle cosas a la “U“? ¿A la “V“?

En realidad está más bien a camino entre la “U” y la “V“.

¡Ah! Que no sabes muy bien de qué estoy hablando…

Perdona, quería referirme a la representación gráfica de la función:

y = x2

que, por si no lo sabes, te contaré que es una parábola vertical cuyo vértice está justo en el origen de coordenadas. Algo como esto…

Pero mejor vamos a poner nombres a las cosas…

Bien, ésta que acabamos de ver es la más sencilla de las funciones cuadráticas de una variable (nuestra variable es “x”), cuya expresión es un polinomio de segundo grado (el mayor exponente al que está elevada la variable “x” es 2).

Pero he dicho que íbamos a hacerle cosas, así que empecemos…

Se me ocurre ponerla a dieta y que adelgace o mandarla una semana a casa de la abuela y que engorde a base de comidas generosas.

Si queremos que “adelgace” y se haga más estrecha, tenemos que multiplicarla por un número mayor que la unidad (por ejemplo: 5x2)…

Y si queremos que “engorde” y se haga más ancha, multiplicamos por un número menor que la unidad (por ejemplo: 1/3 x2)…

Así, cuanto mayor sea el coeficiente por el que multiplicamos más estrecha se hace la parábola, y cuanto menor sea dicho coeficiente más ancha se vuelve…

Vamos ahora a desplazarla verticalmente.

Esta parte es bastante intuitiva, ya que simplemente tenemos que sumar o restar las unidades que queremos que suba o baje respectivamente la parábola.

Así, por ejemplo, si queremos moverla hacia arriba tres unidades le sumamos 3…

Y si queremos bajarla dos unidades le restamos 2…

¿Sencillo no?

Y ahora… ¿qué podemos hacer?

Pues, ya que la hemos desplazado en vertical, vamos a hacerlo ahora en horizontal.

Para moverla hacia la izquierda (cuestiones políticas al margen), tenemos que sumarle a la “x” que está elevada al cuadrado las unidades que queremos desplazarla, y para moverla hacia la derecha tenemos que restárselas.

Es quizás algo menos intuitivo, pero si lo piensas detenidamente tiene sentido.

Por ejemplo, para desplazarla a la izquierda dos unidades le sumamos a la “x” que está al cuadrado un 2…

Y para moverla a la derecha, por ejemplo, cuatro unidades le restamos a la “x” que está al cuadrado un 4…

Te lo muestro también con otra pequeña animación:

Bien, hemos “engordado” y “adelgazado” nuestra parábola, desplazado horizontal y verticalmente…

… ¿qué nos falta?

¡Ponerla “boca abajo“!

De acuerdo, no ha sido muy técnico.

Digamos que lo que queremos hacer es cambiar la concavidad de la parábola, pasando de ser cóncava hacia arriba (convexa) a cóncava hacia abajo (cóncava), y el vértice de la misma pasa también de ser el mínimo de la función a ser el máximo.

Conseguirlo es bastante sencillo, ya que tan solo tenemos que poner un “-” delante del término que está elevado al cuadrado.

Por ejemplo…

 

Por si te sirve de ayuda para recordar…

Y todo esto que hemos visto por separado para que se entendiese mejor, se puede dar, como es lógico, simultáneamente.

Por ejemplo, si tenemos la función:

Podemos deducir directamente que…

… sin echar ni un solo número.

Y ésta sería su representación gráfica:

Bien, creo que por el momento vamos a dejar descansar a nuestra “U”… o a nuestra “V”… bueno, yo me entiendo, que bastante paliza le hemos dado ya.

Eso sí, me han faltado más cosas por contaros, entre otras relacionar todo esto que hemos visto con la expresión general de la ecuación cuadrática y=ax2+bx+c, pero eso lo dejo ya para otra entrada.

Esta entrada participa en la Edición 8.4 “Matemáticas de todos y para todos” del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es matematicascercanas

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20 comentarios en “Vamos a hacerle cosas a la “U”… o a la “V”… bueno, yo me entiendo

  1. Eres un fenómeno, todo claro y superameno.

    Me has dejado con el ‘intringulis’ de la v.

    Al hilo de las transformaciones, se me acaba de ocurrir lo siguiente: ¿hay alguna fórmula o forma sencilla de explicar cómo podría ‘girar’ gradualmente la parábola, es decir: de ser una cúbica a una raíz? Sería intuitivo?

    Un abrazo

    • Gracias David.

      Lo de la “V” es, como comento en la entrada, por aquello de que la parábola de y=x2 no es ni una “U” ni una “V”, sino que está a caballo entre las dos.

      En cuanto a lo de girar gradualmente la parábola, se me ocurre expresar y=x^2 en coordenadas polares r·sen@=(r·cos@)^2, de manera que se pueda ir añadiendo un giro respecto a dicho vértice r·sen(@+alfa)=(r·cos(@+alfa))^2. Al llegar a pi/2 (90º) tendrías r·sen(@+pi/2)=(r·cos(@+pi/2))^2, es decir, r·cos@=(r·sen@)^2, es decir x=y^2, y de ahí y=+-raíz(x).

      Pero tiene varias pegas, una es que habría que hacerlo solo con una de las ramas de la parábola, ya que y=+-raíz(x) no es una función, para obtener solo y=raiz(x). La otra es que en el momento que empezamos a girar la rama de la parábola, deja también de ser una función hasta que se completa el giro de 90 grados.

      Pero digamos que “teóricamente” explica la relación entre ambas funciones.

      ¡Vaya retos que me pones! jajajaja…
      Un abrazo David.

  2. Excelente!
    Gracias por un material de tanta calidad. Es realmente complicado encontrar explicaciones tan perfectas como las suyas. Consigue que todo sea senciĺlo y entretenido.
    Gran trabajo amigo.

  3. Hola!!! Me ha gustado esta primera parte. Pienso que podría aprovecharse más si termináramos teniendo en cuenta la expresión general de la parábola (o función cuadrática ) y=ax2 , con el coeficiente a distinto de cero (importante) y sacar conclusiones generales. Espero que aceptes esta crítica contructiva y leer pronto la continuidad.
    Un saludo

    • Hola Marta.
      Fíjate que termino la entrada diciendo:
      Eso sí, me han faltado más cosas por contaros, entre otras relacionar todo esto que hemos visto con la expresión general de la ecuación cuadrática y=ax2+bx+c, pero eso lo dejo ya para otra entrada.
      Como comento, la expresión general para una función cuadrática sería y=ax2+bx+c no y=ax2 que sería solo para una parábola con vértice en el origen de coordenadas, y como son bastantes cosas las que quiero añadir por eso digo que mejor lo haré en una segunda parte para evitar que ésta quede demasiado larga y con un exceso de conceptos e ideas ?.
      Un saludo.

  4. Buenísima!
    Me encanta como se explica todo, no se deja ni un detalle. Todo muy visual y perfectamente enlazado. He leído más post del blog y me fascina con qué facilidad transmite las cosas.
    No va a faltar en mis clases, eso se lo aseguro!
    Gracias!

    • Muchísimas gracias Lucía.
      Espero que te sea útil en clase y que ayude a tus alumnos a comprenderlo mejor.
      Queda pendiente la ampliación, para que sea mucho más completo todo, en una próxima entrada que quedarà enlazada a ésta.
      Un saludo y gracias.

    • Bueno, no sería así.
      Si dividiésemos x^2 entre pi tendríamos una parábola con el mínimo en el origen de coordenadas (0,0) y de mayor “anchura” que y = x^2, ya que simplemente estaríamos multiplicando x^2 por un coeficiente menor que la unidad.

      La función de un semicírculo convexo con el mínimo en el origen de coordenadas (0,0) sería:
      y = r – raíz(r^2 – x^2) definida en [-r,r] siendo r el radio del semicírculo

      Y la función de un semicírculo cóncavo con el máximo en el origen de coordenadas (0,0) sería:
      y = raíz(r^2 – x^2) – r definida en [-r,r] siendo r el radio del semicírculo.

      Espero haberte aclarado la duda.
      Un saludo.

  5. Amadeo, me ha encantado! Qué bien contado todo , gráficas y animaciones incluídas. Para qué voy a hacer yo un blog si todo lo que se me va ocurriendo ya te encargas tú de materializarlo de una forma tan perfecta…
    Creo que esta entrada se va a convertir en un recurso muy útil en Secundaria para repasar (o para estudiar por primera vez, según el curso) la función cuadrática y su representación gráfica.

    • Muchas gracias Ada, me alegra mucho que te haya gustado.
      Me queda una segunda parte para hacerla más completa, que enlazaré cuando la haga a ésta (y viceversa) para darle continuidad. Ya la tengo entera en mi cabeza ?.

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