Operaciones combinadas con potencias de base una fracción

Seguimos con los ejercicios de operaciones combinadas con potencias, y en esta ocasión vamos a aprender a resolver ejercicios de operaciones combinadas en los que aparecen potencias cuya base es una fracción.

Además, aparecerán también potencias de base una fracción y con exponente negativo.

Os voy a explicar cómo se debe resolver este tipo de ejercicios y lo vamos a ver paso a paso en los dos siguientes vídeos.

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Jugando con números XLI

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Operaciones combinadas con potencias #4 (Con distinta base y exponente)

¡Vamos a dar un paso más y vamos a resolver un ejercicio de operaciones combinadas con potencias más completo aún que los que hemos visto hasta ahora!

En el blog hemos ido viendo cómo realizar distintas operaciones con potencias (con la misma base o con el mismo exponente) de forma individual.

En publicaciones anteriores vimos primero dos ejercicios de operaciones combinadas con potencias en los que todas las potencias tenían la misma base, después otro ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que, sin embargo, no eran todas las bases iguales, pero sí coincidían algunas, y por último resolvimos un ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que tanto las bases como los exponentes eran distintos.

En esta ocasión, también tendremos bases y exponentes diferentes, pero además aparecerán exponentes negativos e incluso alguna potencia de potencia.

Intentaremos conseguir tener potencias de igual base para poder hacer operaciones entre ellas, y para eso descompondremos las bases en factores primos primero.

Tendremos que hacer multiplicaciones de potencias de la misma base, divisiones de potencias de la misma base, potencias de una potencia, operar con potencias de exponente negativo, e incluso dividir potencias de igual exponente.

Con todo esto, os podéis imaginar que es un ejercicio típico de examen.

Pero no es preocupéis porque es más sencillo de lo que puede parecer.

Os dejo con el vídeo donde resuelvo el ejercicio paso a paso y explicándolo absolutamente todo:

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Operaciones combinadas con potencias #3 (Con distinta base y exponente)

En el blog hemos ido viendo cómo realizar distintas operaciones con potencias (con la misma base o con el mismo exponente) de forma individual.

En publicaciones anteriores vimos dos ejercicios de operaciones combinadas con potencias en los que todas las potencias tenían la misma base y otro ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que, sin embargo, no eran todas las bases iguales, pero sí coincidían algunas.

En esta ocasión vamos a ver cómo podemos resolver un ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que tanto las bases como los exponentes son distintos.

Intentaremos conseguir tener potencias de igual base para poder hacer operaciones entre ellas, y para eso descompondremos las bases en factores primos primero.

Tendremos que hacer multiplicaciones de potencias de la misma base, divisiones de potencias de la misma base y potencias de una potencia.

Pero no es preocupéis porque es más sencillo de lo que puede parecer.

Os dejo con el vídeo donde resuelvo el ejercicio paso a paso y explicándolo todo:

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Operaciones combinadas con potencias #2

En el blog hemos ido viendo cómo realizar distintas operaciones con potencias (con la misma base o con el mismo exponente) de forma individual.

En una publicación anterior vimos dos ejercicios de operaciones combinadas con potencias en los que todas las potencias tenían la misma base.

En esta ocasión vamos a ver un ejercicio de operaciones combinadas con potencias en el que, sin embargo, no son todas las bases iguales.

En él tendremos que hacer multiplicaciones de potencias de la misma base, divisiones de potencias de la misma base, potencias de una potencia, potencias de exponente negativo, y veremos también la división de potencias con el mismo exponente.

En otras publicaciones seguiremos haciendo más ejercicios de operaciones combinadas con potencias en las que haya también bases diferentes o tengamos que descomponer en factores primos las bases.

Os dejo con el vídeo donde resuelvo el ejercicio paso a paso y explicándolo todo:

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Operaciones combinadas con potencias #1

En el blog hemos ido viendo cómo realizar distintas operaciones con potencias (con la misma base o con el mismo exponente) de forma individual.

En esta ocasión vamos a poner en práctica parte de lo visto con dos ejercicios de operaciones combinadas con potencias.

En este caso, los ejercicios son sencillos, ya que todas las potencias van a tener la misma base, y tendremos que hacer multiplicaciones de potencias de la misma base, divisiones de potencias de la misma base, y también potencias de una potencia.

En otras publicaciones seguiremos haciendo más ejercicios de operaciones combinadas con potencias en las que haya bases diferentes o tengamos que descomponer en factores primos las bases.

Os dejo con el vídeo donde resuelvo los dos ejercicios paso a paso y explicándolo todo:

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Adiós 2020… ¡Bienvenido 2021!

Despedimos el 2020, que tan complicado ha resultado, y damos la bienvenida al 2021, que ojalá sea un año mejor.

Pero, como no puede ser de otra manera, lo hacemos de una forma muy matemática.

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Potencia de una fracción de exponente negativo

¿Cómo se calcula la potencia de una fracción de exponente negativo?

Pues es más fácil de lo que pueda parecer.

Una potencia de una fracción de exponente negativo es igual a la potencia de la fracción inversa elevada al exponente positivo.

Dicho de una forma más sencilla, se le da la vuelta a la fracción (se intercambian numerador y denominador) y se pone el mismo exponente pero positivo.

Después ya solo queda hacer cálculos.

Pero así con palabras no es precisamente como mejor se entienden las cosas. Así que mejor te lo explico en el siguiente vídeo, además de ver por qué se pueden calcular así, y hacemos varios ejemplos para que te quede todo muy claro:

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Potencias de exponente negativo

¿Cómo se calcula una potencia con exponente negativo?

Es bastante sencillo.

Una potencia de exponente negativo se define como la inversa de la potencia con exponente positivo.

Tranquilo, no te preocupes, que te lo explico en el siguiente vídeo, además de ver por qué se pueden calcular así, y hacemos bastantes ejemplos para que te quede todo muy claro:

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Potencias de exponente cero

¿Qué valor tienen las potencias de exponente cero?

Pues es muy sencillo:

Cualquier número, distinto de cero, elevado a cero es igual a 1.

¿Y por qué es esto así?

Te lo explico de forma muy rápida en el siguiente vídeo:

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3 al cuadrado no es 6… ¡Es 9!

32 no es 6… ¡¡¡Es 9!!!

Parece algo obvio, pero sin embargo es un error demasiado extendido entre muchos alumnos en Secundaria, y ya no digamos en exámenes.

Muy probablemente sea fruto de las prisas y de no prestar atención a lo que se está haciendo, pero en el fondo es un concepto mal aprendido que está en el subconsciente y sale a la luz en el peor de los momentos (me refiero claramente al examen).

¿Y por qué tantos alumnos dicen que es 6?

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División de potencias del mismo exponente

La división o cociente de potencias del mismo exponente es bastante sencilla de hacer.

Para dividir potencias que tengan el mismo exponente, simplemente tenemos que dividir las bases y dejar el mismo exponente.

Por ejemplo:

154 : 54 = (15 : 5)4 = 34

Pero, ¿por qué se pueden dividir potencias con el mismo exponente de esta forma tan sencilla?

Te lo explico en el siguiente vídeo, y hacemos varios ejemplos para que quede todo muy claro. Verás qué fácil es.

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Multiplicación de potencias del mismo exponente

El producto o multiplicación de potencias del mismo exponente es bastante sencillo.

Para multiplicar potencias que tengan el mismo exponente, simplemente hay que multiplicar las bases y dejar el mismo exponente.

Por ejemplo:

34 · 54 = (3·5)4 = 154

Pero, ¿por qué se pueden multiplicar potencias con el mismo exponente de esta forma tan sencilla?

Te lo explico en el siguiente vídeo, y hacemos bastantes ejemplos para que quede todo muy claro. Verás qué fácil es.

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División de potencias de la misma base

La división o cociente de potencias de la misma base es realmente fácil.

Para dividir potencias que tengan la misma base, simplemente hay que dejar la misma base y restar los exponentes.

Por ejemplo:

28 : 23 = 28-3 = 25

Pero, ¿por qué se puede hacer de esta forma tan sencilla?

Te lo explico en el siguiente vídeo, y hacemos bastantes ejemplos para que quede todo muy claro. Verás que es muy sencillo.

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Multiplicación de potencias de la misma base

El producto o multiplicación de potencias de la misma base es realmente sencillo.

Para multiplicar potencias que tengan la misma base, simplemente hay que dejar la misma base y sumar los exponentes.

Por ejemplo:

53 · 54 = 53+4 = 57

Pero, ¿por qué se puede hacer de esta forma tan sencilla?

Te lo explico en el siguiente vídeo, y hacemos bastantes ejemplos para que quede todo muy claro. Verás que es muy fácil.

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Potencia de una potencia

¿Qué es una potencia de una potencia?

Es una potencia cuya base es otra potencia.

Por ejemplo, (32)3 es una potencia de una potencia, ya que se trata de una potencia cuya base es otra potencia 32 y su exponente es 3.

Calcular una potencia de una potencia es realmente sencillo, ya que es igual a otra potencia que tiene la misma base, y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

En el ejemplo anterior sería:

(32)3 = 32·3 = 36

Pero, ¿por qué se puede calcular así? ¿Qué pasa si hay, por ejemplo, una potencia de una potencia de una potencia?

En el siguiente vídeo lo explico todo con más detalle: Aprendemos a calcular una potencia de una potencia como he comentado antes, vemos por qué se puede calcular así, y hacemos bastantes ejemplos, incluso con potencias de potencias de potencias

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Potencias de base negativa… ¡Impostor!

Si esto fuera una partida de «Among Us», el impostor sería claramente -52, a pesar de que muchos piensen que no es así, y es que, desafortunadamente, en este tema hay un error demasiado extendido.

Empecemos diciendo qué es una potencia de base negativa.

Una potencia de base negativa es una potencia cuya base es negativa

¡Oooohhhhhh!

¡Qué gran descubrimiento!

De acuerdo, no he dicho gran cosa, pero la clave está en saber distinguir cuándo una potencia tiene base negativa y cuándo, a pesar de aparecer un menos, no tiene base negativa.

¿Perdona? ¿Dices que aunque haya un menos la base no tiene por qué ser negativa?

Efectivamente.

Para que la base de una potencia sea negativa debe estar el número negativo entre paréntesis.

Te lo pongo en un pósit para que no se te olvide:

Si volvemos a la imagen del comienzo de esta publicación, la potencia de base negativa sería (-5)2 y, como ya comenté al principio, no lo sería -52, que sin duda sería el… ¡Impostor!

¿Y el menos entonces?

Pues ese menos afecta a toda la potencia, es decir a 52, pero no está afectado por el exponente de la misma, pues para ello tendría que formar parte de la base, y no lo hace.

Pero… ¿Qué diferencia hay entre ambas al calcularlas?

Mejor que escribírtelo todo por aquí, te lo cuento en el siguiente vídeo de viva voz (bueno, voz grabada, aunque estaba vivo cuando lo grabé, así que supongo que cuenta como «viva voz»). Te explico además cómo afecta el hecho de que el exponente sea par o impar al resultado de las potencias de base negativa, y cómo se calculan unas y otras con varios ejemplos:

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Potencias. Introducción y conceptos básicos

¿Qué es una potencia?

Una potencia es una forma abreviada o resumida de escribir una multiplicación repetida de un mismo factor.

En una potencia hay dos partes: La base, que nos indica cuál es el factor que se repite; y el exponente, que nos dice el número de veces que aparece repetido ese factor.

Un ejemplo de potencia sería el siguiente:

23

En esta potencia, la base es 2, y el exponente es 3. Por lo tanto, el 2 es el factor que se va a repetir multiplicado por si mismo, y va a aparecer 3 veces:

23 = 2 · 2 · 2 = 8

En el siguiente vídeo vamos a ver con más detalle el concepto de potencia, las partes o elementos que tienen (base y exponente), qué significa cada uno, cómo calcular una potencia, y también cómo expresar una multiplicación repetida en forma de potencia:

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SOLUCIÓN del RETO 5: ¿Cuál es el valor de la concha?

El RETO 5 que propuse era el siguiente:

Como se indicaba en la imagen, el valor de la caracola era la solución del RETO 4, y se trataba de hacer todas las operaciones necesarias hasta obtener el valor de la concha.

Vamos con la SOLUCIÓN.

Lo primero que vamos a hacer es sustituir la caracola por su valor

obteniendo así la siguiente expresión de partida:

Ahora podemos seguir varios caminos hasta llega a la solución final (y eso es una de las cosas maravillosas de la matemáticas), lo que quiere decir que el que yo siga no tiene porque ser el mejor ni mucho menos. Lo que sí que voy a intentar es que haya que hacer operaciones con potencias de la misma base, que era el objetivo que me había planteado con este reto.

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RETO 5: ¿Cuál es el valor de la concha?

Como se indica en la imagen, el valor de la caracola es la solución del RETO 4.

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