313… el Pato Donald…y “eso del binario”

El número 313 es el número de la matrícula del coche del Pato Donald.

Ilustración de Don Rosa, famoso ilustrador de Disney, considerado por muchos como el mejor artista de "Patos" de los comics de Disney después de Carl Barks.

Ilustración de Don Rosa, famoso ilustrador de Disney, considerado por muchos como el mejor artista de “Patos” de los comics de Disney después de Carl Barks.

Este número tiene la curiosa propiedad de ser capicúa (puede leerse igual al derecho que al revés) tanto en base 10 como en base 2, de hecho, es el único número primo de tres dígitos que posee esta propiedad:

313 (base 10) =100111001 (base 2)

Y, además, el número 100111001 (en base 10) es también primo.

Simplemente como recordatorio o para quienes no sepan del todo qué es un número primo, indicar que un número primo es un número entero mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1 (por ejemplo, el número 5 es primo, pues tiene como divisores 5 y 1) . Señalar también que los divisores de un número natural son los números naturales que lo pueden dividir, resultando de cociente otro número natural y de resto 0, es decir, la división es exacta.

Por contraposición están los números compuestos, que son aquellos que tienen por lo menos un divisor natural distinto de sí mismos y de 1 (por ejemplo, el 6, que tiene como divisores 6, 3, 2 y 1).

¿Y el número 1? pues éste, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Esto de los números primos y compuestos, seguro que ya lo conoce la mayoría de la gente, pero ¿y lo de las bases? y más concretamente… ¿”eso del binario”?.

Lo de las bases de numeración y el famoso sistema binario parece uno de esos secretos guardado celosamente por “aquellos que lo saben”, y da la sensación que si sabes eso ¡ya sabes más matemáticas! (cierto es que algo más sabes, y saber algo más siempre viene bien).

Bueno, quizás esté exagerando un poco, pero lo cierto es que, siendo algo relativamente sencillo, debería estar al alcance de todos. Y, como este blog trata precisamente de eso: “acercar las matemáticas a todo el mundo”, con vuestro permiso y el del Pato Donald, voy a utilizar la matrícula de su coche para explicarlo un poco.

El sistema de numeración que nosotros utilizamos habitualmente es el sistema decimal. Se trata de un sistema de numeración posicional (cada dígito posee un valor dependiendo de la posición relativa que ocupa) en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. por eso lo de base 10.

Así, el número 31310 = 3·102 + 1·101 + 3·100 = 3·100 + 1·10 + 3·1 , es decir, 3 centenas 1 decena y 3 unidades

El caso del sistema binario es análogo. Igualmente se trata de un sistema posicional que, en este caso, utiliza como base aritmética las potencias del número dos, y un conjunto de símbolos que se compone de dos cifras: 0 y 1, por eso lo de llamarse base 2.

Teniendo en cuenta esto, pasar un número escrito en base 2 a base 10 es relativamente sencillo.

binario-decimal

Hacemos prácticamente lo que habíamos hecho antes con el número 313 con la base 10, pero ahora utilizando como base 2:

1001110012 = 1·28 + 0·27 + 0·26 + 1·25 + 1·24 + 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 1·256 + 0 + 0 + 1·32 + 1·16 + 1·8 + 0 + 0 + 1·1 = 31310

 Bien, con esto sabemos pasar sin problema de base 2 a base 10 (de binario a decimal) pero ¿y al revés? Es decir ¿cómo pasar de decimal a binario?

decimal-binario

Yo he empezado prácticamente la entrada diciendo “313 (base 10) =100111001 (base 2)”, y más de uno habrá pensado “¡Ya estamos con eso del binario!”

Pues es bastante fácil hacer el paso. El procedimiento consiste en considerar el número en base 10 (sistema decimal) e ir realizando divisiones enteras entre 2 (sin decimales y con su correspondiente resto o residuo) hasta que el dividendo sea menor que el divisor, 2, es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza este proceso de división.

Lo hacemos con nuestro 313:

decimalabinarioY ahora, tan solo tenemos que considerar el último cociente y los restos obtenidos en orden inverso a como han ido apareciendo en el proceso de división, es decir, de derecha a izquierda, siendo la primera cifra el último cociente y terminando en el primer resto obtenido.

decimalabinario2Así, el número que obtenemos es el número binario (en base 2) que buscamos:

100111001  (en base 2)

Una cosa. Precísamente al comienzo de esta entrada hablábamos de la curiosa propiedad del número de la matrícula del coche del Pato Donald, ser capicúa tanto en base 10 (313) como en base 2 (100111001) y alguien observando la imagen anterior puede haber pensado que se podría obtener el mismo número si se hubiesen considerado los dígitos de los restos y el último cociente de izquierda a derecha (en lugar de derecha a izquierda como hemos dicho), pero ¡OJO! eso sólo sucede si el número es capicúa, como en nuestro caso, en el resto de los casos estaríamos obteniendo un número erróneo. Así que, SIEMPRE DE DERECHA A IZQUIERDA.

Y ya para terminar, supongo que a muchos de vosotros os sonará ese “chiste” (por llamarle de alguna manera) que dice más o menos:

“Hay 10 tipos de personas:

– las que saben binario,

– y las que no.”

Bueno, ahora todos deberíamos pertenecer al primer “tipo de personas”… con lo que sabemos ya, habremos considerado el 10 escrito en base 2 (binario) y lo habremos pasado a decimal… esa parte os la dejo a vosotros (que bastante he “destripado” el chiste ya).

313donald

Y, hablando del Pato Donald…

¿Conoces el corto que hizo Disney en 1959 titulado “Donald en La Tierra de las Matemágicas” (“Donald in Mathmagic Land“)?

Es todo un clásico de la divulgación de las matemáticas. Si no lo conoces te invito a que lo disfrutes en esta entrada del blog…

Donald en La Tierra de las Matemágicas

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17 comentarios en “313… el Pato Donald…y “eso del binario”

  1. Excelente entrada! Numeros capicúa, bases de numeración, sistema binario… todo contado de una manera tan entretenida y fácil de entender! Muy valioso para llevarlo a clase, mil gracias!!!

  2. No sabía lo de la matrícula del coche de Donald. Disfruté mucho conociéndolo de esta manera y aprendiendo tantas cosas en tan poco tiempo. Bravo!
    Muy recomendable blog.

  3. Tantas veces que escuché lo del binario y que es el lenguaje de los computadores, pero nunca supe como era… ¡gracias! ¡gracias! ¡gracias! Ahora sí lo entendí perfecto!
    Me encantó, fue verdaderamente entretenido.

    • Gracias una vez más Ada.
      Eso es lo que intento, aunque no siempre es fácil, y tampoco sabes si lo que piensas que se puede entender bien lo será así para los demás. Por eso se agradecen mucho comentarios como el tuyo.
      Un saludo.

  4. Pingback: Bitacoras.com

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