Nuestro pájaro está enfadado porque ve que algunos no hacen bien la identidad notable (producto notable) de la suma al cuadrado.
Para calcular bien ésta y otras identidades notables, mejor vernos bien la publicación del blog sobre las identidades notables.
Y, para evitarnos problemas en los exámenes, hagamos caso a nuestro pájaro y a Euclides, que ya lo dijo por el 300 a. C… hace ya unos añitos. Y no sólo hizo eso, sino que dio una demostración, y gráfica, como no podía ser de otra manera.
Las identidades notables son unas igualdades algebraicas que nos permiten calcular de forma directa determinadas operaciones con polinomios.
Además de identidades notables, se les llama también igualdades notables y productos notables.
Las tres identidades notables más conocidas, que son las que vamos a ver, son: el cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia y la suma por diferencia:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
En el siguiente vídeo vamos a aprender a utilizar cada una de ellas. Veremos primero de dónde salen estas igualdades, y después haremos bastantes ejercicios explicando todo paso a paso y con detalle:
En las Matemáticas hay muchas cosas y herramientas que tienen cierta magia pero, sin duda alguna, una de ellas es el conocido como triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia.
No se trata de una figura geométrica como tal, sino de un triángulo numérico.
Primeras quince filas del Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia
Su nombre se debe al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, que introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique.
El otro nombre con el que se conoce también a este triángulo se debe al matemático e ingeniero italiano Niccolo Fontana, apodado Tartaglia por su condición de tartamudo.
Si bien es cierto que las aplicaciones de este famoso triángulo ya las conocían antes los matemáticos indios (siglo XI), chinos y persas.
¡Qué nadie se asuste con esto de los binomios conjugados, que os va a sonar y mucho!
En una entrada anterior os hablaba del cuadrado del binomio, una de esas identidades notables que aparecen inesperadamente en nuestra vida estando en clase de matemáticas:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Y vimos su demostración gráfica…
En esta ocasión vamos a ver otro «clásico» que acompaña en esa aparición estelar y repentina al cuadrado del binomio: el producto de binomios conjugados.
Los Elementos de Euclides es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece partes o libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría… casi nada.
Es considerado uno de los libros de texto más divulgado en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de mil ediciones).
El teorema 4 del Libro II enuncia: «Si se corta al arbitrio un segmento, el cuadrado de la línea entera es igual al cuadrado de las partes más el duplo del rectángulo comprendido por las partes«.
Quizás así no resulte tan familiar, pero vamos a verlo con más detalle.
Si llamamos, por ejemplo, c a la línea entera, y la cortamos en las partes a y b,
es decir si c = a + b, entonces Euclides dice que c2 = a2 + b2 + 2ab (ab es lo que Euclides llama el rectángulo comprendido por las partes).
Y si c = a + b, la expresión anterior la podemos escribir como:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
¡Ahora sí! ¿verdad?
Una de las identidades notables que tanto se atragantan a muchos estudiantes. Concretamente se trata del cuadrado del binomio.
Pues sí, Euclides ya la enunció por el 300 a. C… hace ya unos añitos. Pero no sólo hizo eso, sino que dio una demostración, y gráfica, como no podía ser de otra manera.
Es la famosa demostración que aparece en los libros de texto y, por supuesto, por internet…
La primera imagen es un cuadrado de lado a + b, y en la segunda imagen se observa que ese cuadrado está formado por uno de área a2, otro de área b2más dos rectángulos de área ab. Es decir, comparando las áreas de los dos cuadrados se tiene que:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
que es lo que Euclides quería demostrar.
Pues bien, esto lo podemos llevar a su versión tridimensional, es decir, en lugar de demostrar el cuadrado del binomio, demostrar la identidad del cubo del binomio.
