Factorizar polinomios

Pensemos en qué consiste descomponer un número en factores primos. Es descomponerlo en el producto de factores que son números primos.

Por ejemplo, la descomposición en factores primos de 12 sería:

12 = 22 · 3

Pues factorizar un polinomio sería algo parecido, pero con polinomios. Es decir, factorizar un polinomio es descomponerlo en el producto de dos o más polinomios del menor grado posible.

Un ejemplo sería éste:

P(x) = x4 – 3x3 – 13x2 + 15x · (x – 1) · (x + 3) · (x – 5)

Para factorizar un polinomio se pueden utilizar distintas herramientas: Extraer factor común, utilizar identidades notables, la Regla de Ruffini, resolver ecuaciones de segundo grado, y siempre podemos obtener factores a partir de las raíces del polinomio.

En el siguiente vídeo vamos a aprender a factorizar polinomios. Veremos primero en qué consiste en sí la factorización y cómo podemos obtener factores del polinomio a partir de sus raíces. Después expondremos las distintas herramientas que tenemos para realizar la factorización de un polinomio, y resolveremos tres casos diferentes, muy interesantes, que nos ayudarán a aprender perfectamente a factorizar polinomios.

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Raíces o ceros de un polinomio

Las raíces de un polinomio P(x), también conocidas como ceros del polinomio, son los valores de x que hacen que el valor numérico del polinomio sea igual a cero, es decir, las soluciones de la ecuación P(x) = 0.

Calcular las raíces de un polinomio P(x) equivale, por lo tanto, a resolver la ecuación P(x) = 0.

Así, por ejemplo, las raíces del polinomio P(x) = 2x3 + 8x2 – 2x – 8, serán las soluciones de la ecuación:

2x3 + 8x2 – 2x – 8 = 0

Por cierto, en este caso concreto, dichas raíces serían: x = 1, x = -1, x = -4.

Si se sustituye en la expresión del polinomio P(x) cada x que aparece por estos valores, es decir, se calcula el valor numérico del polinomio para x = 1, x = -1, x = -4, se obtiene como resultado cero.

En los dos siguientes vídeos vamos a ver cómo se calculan las raíces de polinomios. Al mismo tiempo estaremos aprendiendo a resolver ecuaciones de grado mayor que 2.

Veremos primero una serie de cosas importantes a tener en cuenta a la hora de intentar calcular las raíces de un polinomio, y también las distintas herramientas matemáticas con las que contamos para hacerlo: Extraer factor común, Regla de Ruffini, Teorema del resto y del factor, resolver ecuaciones de segundo grado

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División de polinomios

Después de haber visto la suma y resta de polinomios, el producto de un número por un polinomio, el producto de un monomio por un polinomio, y el producto de dos polinomios, vamos a aprender ahora a realizar la división o cociente de dos polinomios.

En el siguiente vídeo explico, paso a paso, todo el proceso que se debe seguir para dividir dos polinomios, y hago dos ejemplos diferentes para que quede todo muy claro:

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Identidades notables

Las identidades notables son unas igualdades algebraicas que nos permiten calcular de forma directa determinadas operaciones con polinomios.

Además de identidades notables, se les llama también igualdades notablesproductos notables.

Las tres identidades notables más conocidas, que son las que vamos a ver, son: el cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia y la suma por diferencia:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)(a – b) = a2 – b2


En el siguiente vídeo vamos a aprender a utilizar cada una de ellas. Veremos primero de dónde salen estas igualdades, y después haremos bastantes ejercicios explicando todo paso a paso y con detalle:

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Cociente o división de un polinomio entre un monomio

Después de haber visto la suma y resta de polinomios, el producto de un número por un polinomio, el producto de un monomio por un polinomio, y el producto de dos polinomios, vamos a ver ahora el cociente o división de un polinomio entre un monomio.

Para dividir un polinomio entre un monomio, lo que hay que hacer es dividir cada término o monomio del polinomio entre el monomio.

Se trata de hacer, por lo tanto, básicamente operaciones de división de monomios.

En el siguiente vídeo explico todo el proceso de dividir un polinomio entre un monomio paso a paso, con detalle, y a través de varios ejemplos:

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Producto de dos polinomios

Después de haber visto la suma y resta de polinomios, el producto de un número por un polinomio, y el producto de un monomio por un polinomio, vamos a ver ahora una de las operaciones que más dificultades suele presentar a los alumnos: El producto o multiplicación de dos polinomios.

Para multiplicar dos polinomios, es muy importante escribir ambos entre paréntesis, y debemos multiplicar cada término o monomio del primer polinomio por cada término o monomio del segundo polinomio.

Cuanto mayor sea el número de términos que tengan los polinomios, más operaciones de multiplicación de monomios nos van a salir, por lo que más fácil será equivocarse y más cuidado deberemos tomar.

En el siguiente vídeo explico todo el proceso de multiplicar dos polinomios paso a paso, con detalle, y a través de varios ejemplos:

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Producto de un monomio por un polinomio

Después de haber visto la suma y resta de polinomios, y el producto de un número por un polinomio, continuamos con las operaciones con polinomios y vamos a aprender a multiplicar un monomio por un polinomio.

Para hacer el producto o multiplicación de un monomio por un polinomio, lo que tenemos que hacer es multiplicar dicho monomio por cada uno de los términos o monomios que forman el polinomio.

Se reduce, por tanto, a realizar un tipo de operación que ya vimos aquí en el blog: multiplicar un monomio por un monomio.

Lo explico paso a paso y con detalle en el siguiente vídeo, y hago varios ejemplos. Verás que no es complicado.

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Producto de un número por un polinomio

Después de haber visto la suma y resta de polinomios, continuamos con las operaciones con polinomios y vamos a aprender a multiplicar un número por un polinomio.

Para hacer el producto o multiplicación de un número por un polinomio, lo que tenemos que hacer es multiplicar dicho número por cada uno de los términos o monomios que forman el polinomio.

Se reduce, por tanto, a realizar un tipo de operación que ya vimos aquí en el blog: multiplicar un número por un monomio.

Para que se entienda mucho mejor todo, lo explico paso a paso y con detalle en el siguiente vídeo, y hago varios ejemplos. Verás que sencillo es.

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Suma y resta de polinomios

Para sumar o restar polinomios, lo que hacemos es sumar o restar los monomios semejantes que los forman.

Pero mejor te lo explico a través de varios ejemplos, de suma y de resta de polinomios, en el siguiente vídeo, ya que es muy importante utilizar correctamente los paréntesis en los polinomios y aplicar bien la regla de signos cuando estamos restando polinomios:

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¿Qué es un polinomio? Término y coeficiente principal, término independiente y grado

¿Qué es un polinomio?

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de varios monomios no semejantes, a los que se llama términos.

Un ejemplo de polinomio sería:

3x5 – 5x2 + 2x – 3

¿Qué partes tiene un polinomio?

¿Cómo se calcula el grado de un polinomio?

En el siguiente vídeo contesto a esas preguntas. Aprendemos a identificar el término principal en un polinomio, el coeficiente principal, el término independiente, y cómo se calcula el grado de un polinomio. Para ello hacemos varios ejemplos, viendo algunos casos particulares, para que todo se entienda perfectamente:

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