¿Coincidencia de cumpleaños?

La intuición a veces no nos funciona tan bien como creemos.

Por ejemplo, supón que te encuentras en grupo con otras 24 personas, con lo cual sois en total 25 personas.

 ¿Cuál crees que sería la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día?

¿Coincidencia de cumpleaños?

Si te dejas llevar por la intuición pensarás que es complicado que en un grupo de 25 personas, dos de ellas cumplan años el mismo día y, por tanto, que esta probabilidad deba ser baja. Digamos ¿un 10% más o menos? ¿Qué te parece?

Es decir, ¿cada 100 veces que nos encontremos un grupo de 25 personas, en 10 de ellas, aproximadamente, habrá coincidencia en la fecha de cumpleaños de dos de sus componentes?

¿Es elevado este porcentaje o probabilidad? ¿Es escaso? ¿Te parecería una buena estimación?

Veamos lo que dicen las matemáticas al respecto, en concreto la teoría de probabilidades.

La probabilidad de que ocurra un suceso determinado A, que escribiremos P(A), se rige por la famosa regla de Laplace, según la cual esta probabilidad es igual al número de casos favorables de que ocurra el suceso A, dividido entre el número de casos posibles en que se puede dar el suceso A. Simbólicamente:

cumple01

De este modo la probabilidad de que dos personas no cumplan años el mismo día es:

cumple02

Lo que supone un porcentaje superior al 99,7%. Esto es así porque, elegida una persona cualquiera, debe haber nacido uno de los 365 días del año (estamos prescindiendo de los años bisiestos) y, para esta persona, el número de casos favorables es igual que el número de casos posibles: 365.

Ahora bien, si elegimos otra persona, el número de casos favorables se reducirá a 364, uno menos que antes, pues no puede cumplir años el mismo día que la persona anterior. El número de casos posibles sigue siendo 365. Es como calcular cuántos pares de días distintos se pueden elegir al año. En cualquier orden, para el primer día del par hay 365 posibilidades y para el segundo día del par quedan 364, ya que alguno tuvo que haber sido usado para la primera persona. Por eso los casos favorables son:

cumple03

Los casos posibles serían, visto de este modo, todos los posibles pares de días que se pueden formar en el año. Por lo tanto son:

cumple04

En realidad, estamos utilizando una conocida regla para contar, el principio de la multiplicación o del producto.

 Podemos imaginar dos bombos con 365 bolas cada uno, numeradas desde el número 1 hasta el número 365, una para cada uno de los días del año (no contamos los años bisiestos).

Para los casos favorables utilizamos un bombo completo para la primera persona, y el otro bombo con una bola menos para la segunda persona, justo aquella bola con el número en que cumple los años la primera persona. Está claro que para cada bola del primer bombo hay 364 bolas del segundo bombo. En total, como ya se había visto, 365⋅364=132.860 parejas distintas de números para los casos favorables.

Si ahora tuviéramos tres personas y quisiéramos saber la probabilidad de que ninguna de las tres hubiese nacido el mismo día, los casos favorables serían todas las posibles ternas de días del año sin repetición. O sea, siguiendo la argumentación anterior:

cumple05

Y los casos posibles ahora serían, naturalmente:

cumple06

Aplicando la regla de Laplace, la probabilidad de que ninguna de las tres personas hayan nacido el mismo día es, por tanto:

cumple07

Si siguiéramos con cuatro personas, la probabilidad de que ninguna de ellas hayan nacido el mismo día es, siguiendo el mismo proceso:

cumple08

Podríamos seguir así con grupos formados por más personas: cinco, seis, siete, etcétera… y calcular la probabilidad de que ninguna de ellas haya nacido el mismo día. En concreto si llegamos a un grupo de 25 personas se tiene:

maxima

Es decir, la probabilidad de que, en un grupo de 25 personas, ninguna de ellas haya nacido el mismo día, es aproximadamente 0,4313, (en tanto por ciento 43,13%).

Esto quiere decir que, en ese mismo grupo, la probabilidad de que dos de ellas sí que celebren su cumpleaños el mismo día es 1−0,4313=0,5687, que supone un porcentaje del 56,87%.

Por tanto nuestra supuesta intuición estaba lejos de la realidad. En un grupo de, al menos 25 personas, la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día es de más del 56%.

¿Sorprendida o sorprendido?

¡Haz la prueba cuando te encuentres en grupo de esta índole y a ver que pasa!

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4 thoughts on “¿Coincidencia de cumpleaños?

  1. Una pregunta… en que porcentaje es posible mi caso? Yo, mi hija grande y mi hijo pequeño somos del mismo día. Mi vecina de enfrente de la casa y mi prima también somos del mismo día. La hija de una amiga es el mismo día y acaban de nacer dos gemelas hijas de un amigo el mismo día.

  2. Sorprendida ahora no, porque ya conocía el problema del cumpleaños, pero la 1ª vez que me lo propusieron , sin hacer ningún cálculo, lo 1º que se me pasó por la cabeza fue que esa probabilidad iba a ser muy pequeña. Qué cosas!

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