La identidad de Euler: la ecuación más famosa de la Matemática

El matemático y físico suizo Leonhard Euler nació un 15 de abril, concretamente de 1707, y es considerado el principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos.

Se atribuye a Pierre Simon Laplace una afirmación que expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores, y que dice: “Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros”.Pues bien, si preguntásemos…

¿Cuál es la ecuación más famosa de la Matemática?

Probablemente la respuesta sería: la identidad de Euler, y supongo que todos y todas habréis intuído que se debe a Leonhard Euler.

La belleza de esta fórmula radica en su extraordinaria sencillez y en el hecho de que se podría decir que en ella está resumida casi toda la matemática.

Identidad de Euler

En ella encontramos los conceptos de suma, multiplicación, exponenciación e identidad. Tenemos también, los cinco números fundamentales:

El número e

número e

que es el número más importante del análisis matemático;

El número PI

pi

que es el número más importante de la geometría;

El número i

número imaginarioque es el número más importante del álgebra;

Y los números 0 y 1, que son las bases de la aritmética por ser los elementos neutros, respectivamente, de la adición y la multiplicación.

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¿De dónde viene esta identidad?

Leonard Euler fue un gran matemático y físico, nacido en 1707 en Basilea (Suiza). Es considerado el mejor matemático de siglo XVIII y uno de los mejores de la historia.

Aportó grandes ideas en los campos del cálculo, geometría, lógica, teoría de números, hidrodinámica, mecánica, electromagnetismo y demás. Fue verdaderamente un genio.

Sello del año 1957 de la antigua Unión Soviética conmemorando el 250 aniversario del nacimiento de Euler

Sello del año 1957 de la antigua Unión Soviética conmemorando el 250 aniversario del nacimiento de Euler. El texto dice: “250 años desde el nacimiento del gran matemático y académico Leonhard Euler” (Imagen de dominio público)

Cuando estaba trabajando en el cálculo complejo, Euler dedujo la que tal vez sea la ecuación más elegante y magnífica de todas.

Un número complejo es aquél que se representa mediante una parte real y una parte imaginaria, si definimos a z como un complejo, x su parte real e y su parte imaginaria, este quedaría así,

Donde i es el número imaginario, definido como la raíz cuadrada de-1,

Ahora, si tomo al famoso numero e y lo potencio con el número complejo z,

Mediante series numéricas, Euler encontró que,

Por lo tanto,

Esta es conocida como la fórmula de Euler, que define la exponenciación compleja. Es una fórmula de gran sutileza y precisión. Pero si hacemos un análisis más minucioso podemos llegar a más aún.

Si hacemos que x valga 0 y que y tome el valor de pi,

A su vez, sabemos que el seno de pi es cero y el coseno de pi vale -1, entonces,

O, resulta lo mismo escribir,

que es la identidad de Euler, considerada como decía por muchas personas como la ecuación más elegante de las matemáticas.


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14 comentarios en “La identidad de Euler: la ecuación más famosa de la Matemática

  1. Señores:
    Esta fórmula tan maravillosa y útil es también muy utilizada en Ingeniería Eléctrica cuando nos encontramos con un mundo de mucha aplicación en Electrotecnia: los fasores.
    Considero que debemos mencionar y recordar en todo momento esta característica adicional de la Ecuación de Euler.
    R. G. Montoya desde La Paz, Bolivia

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