Rodando, rodando…

Te propongo que imagines una circunferencia.

Ahora vamos a fijarnos en un punto de esa circunferencia.

Metámosla dentro de otra circunferencia de radio mayor, por ejemplo el doble.

¿Qué podemos hacer ahora? Vamos a hacer rodar la circunferencia más pequeña dentro de la circunferencia grande y a fijarnos en el recorrido del punto de la pequeña.

¡Vaya! ¡Hemos obtenido un segmento de recta!

Cuando menos es curioso, aunque no parece gran cosa. De hecho, muchas y muchos pensarán que para eso hubiese bastado con unir dos puntos.

Bueno, vamos a hacer otra cosa, probemos con una circunferencia que tenga un radio tres veces mayor que la circunferencia interior rodante.

¡Esto ya parece otra cosa!

Antes de seguir, comentemos qué tipo de curvas son las que hemos obtenido. A la trayectoria descrita por un punto situado sobre una circunferencia generatriz (nuestra circunferencia pequeña) que rueda sin deslizar por el interior de otra circunferencia directriz (nuestra circunferencia grande) se la denomina curva hipocicloide.

En el primer caso, al utilizar una circunferencia directriz de radio el doble que la generatriz, hemos obtenido una hipocicloide de dos puntas (nuestro segmento de recta), que se conoce como Tusi Couple. En el segundo caso, empleando una circunferencia directriz de radio el triple que la generatriz, hemos conseguido una hipocicloide de tres puntas, conocida como deltoide, porque se asemeja a la letra griega Δ (delta).

Así, ocurre que la hipocicloide con n puntas es la curva trazada por un punto de una circunferencia “rodante” dentro de una circunferencia cuyo radio es n veces más grande.

Bueno, ahora que sabemos esto, vamos a dibujar, por ejemplo, una hipocicloide de 4 puntas. Utilizamos una circunferencia directriz de radio cuatro veces el radio de la circunferencia generatriz y…

¡Voilá! ¿A qué se parece la curva obtenida? Sí, a una estrella. De hecho, a la hipocicloide de cuatro puntas se la conoce como astroide (nombre moderno que proviene de “estrella» en griego).

Y así, utilizando este método que hemos visto, podríamos seguir dibujando curvas hipocicloides con cada vez más puntas.

Como poco, es curiosa la forma de obtener estas curvas. Pero, más curioso aún es lo que se puede hacer con ellas.

Como esto de dibujar hipocicloides ya lo tenemos controlado, y ya empieza a dejar de ser tan creativo, vamos a meter, por ejemplo, una deltoide dentro de una astroide, y ver qué pasa si la echamos a rodar.

¡Vaya! ¡Se ajustan perfectamente! Y las tres puntas de la deltoide tocan a la astroide ¡en todo momento!. Parece que están hechas la una para la otra.

Y puestos ya, ¿y si probamos a meter una astroide en una hipocicloide de 5 puntas? ¿ocurrirá lo mismo? Veámoslo:

¡Pues sí! Parece que esto funciona.

¿Y si aumentamos el número de puntas de las hipocicloides? ¿Seguirá ocurriendo?

Pues resulta que, en general, una hipocicloide con n puntas se mueve cómodamente dentro de una hipocicloide con n + 1 puntas.

Entonces, con todo esto que hemos visto, ¿por qué no tener una hipocicloide con 2 puntas (la Tusi couple que vimos) moviéndose dentro de una con 3 puntas (deltoide), a su vez rodando dentro de una con 4 puntas (astroide), y a su vez esta última moviéndose dentro de una hipocicloide de 5 puntas, y la de 5 puntas rodando dentro de una de 6 puntas?

Además, dependiendo de los detalles, podemos obtener diferentes patrones:

C’est magnifique!

Pero…

¡Yo quiero ver qué pasa si llegamos hasta 10 puntas!

¡Mucho mejor!

Hay momentos que parece una telaraña en movimiento y, lo mejor, si os fijáis bien, llegan a coincidir todas las hipocicloides en una de sus puntas.

No ha estado mal, habíamos empezado por un segmento de recta y hemos acabado… ¡Rodando, rodando!

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