Un cubo hecho de cubos… ¿Lo pintamos y planteamos algo?

En la siguiente imagen se muestra un cubo construído a partir de cubos más pequeños, todos del mismo tamaño, a los que podríamos llamar cubos unidad, cuyas caras serían caras unidad, y sus aristas, no siendo muy original… aristas unidad.

cubo de cubos

De esta manera, nuestro cubo tendría de arista cuatro (cuatro aristas unidad), y podríamos decir que es de dimensión 4 x 4 x 4.

Te voy a plantear tres cosas y tú me dices cómo piensas que sería:

Vamos con la primera

Pintamos las seis caras exteriores del cubo grande.

Ahora retiramos la capa exterior de cubos unidad que hemos pintado, como si le quitásemos una capa a una cebolla.

Apartamos a un lado, sin perderlos, esos cubos que hemos retirado y seguimos.

En el cubo que nos ha quedado ahora, volvemos a pintar las seis caras exteriores.

Una vez pintado, cogemos sus cubos unidad y los ponemos con los que retiramos anteriormente.

Observando ahora todos los cubos unidad y sus caras…

¿Qué porcentaje de caras unidad hemos pintado respecto del total?

Bien…

…¿lo has visto ya?

Ahora te planteo la segunda. Es lo mismo pero con un cubo inicial de 10 x 10 x 10.

Es decir, partimos de un cubo de 10 x 10 x 10. Lo pintamos y retiramos la capa de cubos unidad que hemos pintado.

Volvemos a pintar y a retirar la siguiente capa de cubos.

Y seguimos así hasta que hayamos pintado (parcialmente) y retirado todos los cubos unidad.

En este caso… ¿Qué porcentaje de caras unidad habremos pintado?

Míralo y me comentas tu solución.

Y ya para terminar, la tercera.

Ahora sólo vamos a pintar una vez (no vamos a retirar capas de cubos unidad para volver a pintar ni nada, simplemente pintamos el cubo grande que tengamos).

La pregunta es… ¿Qué dimensión debe tener el cubo para que al pintarlo el número de caras unidad no pintadas sea igual al número de caras unidad pintadas? ¿Y si queremos que las caras no pintadas sean cinco veces las caras pintadas?

 Como son varias las situaciones que te he planteado, puede que tengas alguna de las posibles respuestas y no todas, o quizás las tengas todas. Lo importante es que hagas el ejercicio de pensarlo y busques una forma, la que tú creas más conveniente, de intentar llegar a ellas.

Te animo a comentar lo que hayas pensado y las respuestas que tengas.

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7 comentarios en “Un cubo hecho de cubos… ¿Lo pintamos y planteamos algo?

  1. La PRIMERA PARTE 31,25% de las caras fueron pintadas en las 2 capas

    La SEGUNDA PARTE, 22% de las caras fueron pintadas en las sucesivas capas

    Para la TERCERA PARTE
    Llamaré D a la dimensión del cubo.
    Es decir que si el cubo es de 4 x 4 x 4, entonces D = 4

    La Cantidad Total (CT) de caras de un cubo conformado por cubos mas pequeños (obviamente de 6 caras cada uno) será D * D * D * 6
    CT = 6 * D^3

    La Cantidad de Caras Pintadas en una capa (CP) será D * D * 6
    CP = 6 * D^2

    Entonces la Cantidad de Caras No Pintadas en una capa será CT – CP
    CNP = (6 * D^3) – (6 * D^2) = 6 * D^2 * (D – 1)

    Si se pretende que la cantidad de caras pintadas sea igual a la cantidad de caras no pintadas

    CP = CNP
    6 * D^2 = 6 * D^2 * (D – 1)
    1 = D – 1
    D = 2 La dimensión del cubo debe ser 2 (2 x 2 x 2)

    Si se pretende que la cantidad de Caras NO pintadas sea 5 veces la cantidad de Caras pintadas

    CNP = 5 * CP
    6 * D^2 * (D – 1) = 5 * 6 * D^2
    D – 1 = 5
    D = 6 La dimensión del cubo debe ser 6 (6 x 6 x 6)

  2. para el caso de ir descascarando la “cebolla” he llegado a que el porcentaje final de caras pintadas en base a el cubo inicial de “n” unidades de largo (par, por cierto) es de:

    ((n/2+1)*(n+1)*100)/(3n^2)

    eso para la primera parte del problema.

    para la segunda parte se simplifica un poco porque el porcentaje de caras pintadas es de 100/n, de ahí para la parte a): 100/n=50 -> n=2
    y para la parte b): 100/n=100(5+1) -> n=6

    me equivoco? D:

  3. Pingback: Bitacoras.com

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