¿Qué rectángulo tiene mayor área? Un problema de comparar áreas

Te planteo el siguiente problema de geometría:

Siendo ABCD un rectángulo, y E un punto situado en una de sus diagonales tal y como se indica en la figura anterior, ¿qué rectángulo tiene mayor área, AIEG (el rectángulo naranja) o EHCF (el rectángulo azul)?

Piénsalo, es bastante sencillo…

¿Lo tienes ya?

Pues vamos a ver la SOLUCIÓN

 Partimos de algo bastante conocido, que es que la diagonal DB divide al rectángulo ABCD en dos triángulos que tienen áreas iguales.

Esto significa que:

ÁREA ABD = ÁREA BCD

Dicha diagonal DB también pasa por las diagonales de los rectángulos GEFD e IBHE, que los dividen a ambos en triángulos de igual área.

Es decir:

ÁREA GED = ÁREA EFD   y  ÁREA IBE = ÁREA BHE

Por otro lado sabemos que el área de cada uno de los triángulos grandes (ABD y BCD) se puede descomponer como suma de las áreas de los dos triángulos y del rectángulo contenidos en ellos. Es decir:

ÁREA ABD = ÁREA AIEG + ÁREA GED + ÁREA IBE

ÁREA BCD = ÁREA EHCF + ÁREA EFD + ÁREA BHE

Y, dado que hemos visto que ÁREA ABD = ÁREA BCD, ÁREA GED = ÁREA EFD y ÁREA IBE = ÁREA BHE , comparando ambas expresiones, no queda otra opción que las áreas de los rectángulos AIEG y EHCF sean iguales.

ÁREA AIEG = ÁREA EHCF

Es decir, contestando a la pregunta que se nos hace de qué rectángulo de los dos coloreados (naranja y azul) tiene mayor área, podemos afirmar que ambos tienen el mismo área.

Y esto lo hemos hecho sin tener medidas ni hacer cálculos numéricos, que es lo verdaderamente interesante del problema.


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5 comentarios en “¿Qué rectángulo tiene mayor área? Un problema de comparar áreas

  1. Está mal resuelto el ejercicio, no se puede afirmar que las dos áreas son iguales, es una falacia. ¿Por qué? porque se tiene dado que el área de un rectángulo es b*h y el perímetro es 2b+2h, donde la base y la altura del R. Naranja AIEG y el rectángulo azul EHCF son diferentes, a menos que se tome como supuesto que sean iguales, lo que no fue dicho.

    Tomando esto como referencia paso a demostrar que es falso

    Se supone que ÁREA AIEG = ÁREA EHCF de la figura que se presenta arriba.

    Se toma un contra ejemplo con
    AB=9, AI=5 y BI=4
    BC= 11, BH=6 y CH=5
    Perímetro AIEG = 2*5+2*5= 20
    Perímetro EHC = 2*6+2*4=20
    ÁREA AIEG = 5*5 = 25
    ÁREA EHCF = 6*4 = 24

    Entonces se afirma que la suposición es falsa.
    Demostrado que es falso.

    Además también se puede demostrar que es falso de una manera diferente

    Probar o Reprobar ÁREA AIEG = ÁREA EHCF de la figura que se presenta arriba.

    Sea B1 base y H1 altura del R. Naranja AIEG y b2 base y h2 altura rectángulo azul EHCF
    donde B1 ≠b2 (Diferente) y H1≠ h2
    —–>
    B1+H1 =P1
    b2+h2=p2
    B1*H1 =A
    b2* h2=b
    donde A≠b (Diferente)
    —–>
    A=b, ssi B1 =b2 y H1=h2 ó B1 =h2 y H1=b2
    —–> Por reducción al absurdo, se demuestra que no son iguales las áreas del R. Naranja y R azul EHCF.

    • Hola Ricardo, antes de nada siento apagar el tono efusivo y poco prudente de tu comentario, pero creo que merece la pena que te explique por qué estás equivocado y mostrarte los errores que hay en tu argumentación para así aclararte algunos conceptos.

      Empezaré diciendo que sí se puede demostrar que las dos áreas son iguales, y de hecho es precisamente lo que hago en la entrada. Y la demostración es correcta porque nada de lo que se dice en ella es falso.

      Pero, independientemente de eso,mejor te comento los errores que hay en lo que has expuesto.

      Empezaré por la segunda “demostración” que haces. Para que dos rectángulos tengan igual área, no es necesario que tanto sus bases como sus alturas sean iguales, ni tampoco es necesario que la base de uno sea igual a la altura del otro y viceversa. Te pongo un ejemplo sencillo: un rectángulo de base 8 y altura 3, otro de base 6 y altura 4, y otro de base 12 y altura 2; Los tres tienen el mismo área, que es 24, y tienen diferentes bases y alturas.
      En esta entrada del blog puedes ver un poco más sobre esto y otras cosas interesantes: https://matematicascercanas.com/2014/09/21/finitos-infinitos-o-nulos-por-que-no/
      Dicho esto, toda la argumentación que has utilizado en esa segunda “demostración” carece de sentido.

      Respecto al primer “contra ejemplo”, el error está en que no puedes considerar arbitrariamente las dimensiones. Si consideras que AB=9 y que BC=11 (un rectángulo de 9×11), los segmentos AI (de igual medida que GE) y CH (de igual medida que GD) vienen determinados por la diagonal del rectángulo BD. Es decir, se forman dos triángulos semejantes ABD y GED, de manera que se cumple la relación de proporcionalidad AB/GE=AD/GD o, lo que es equivalente, AB/AI=BC/CH. Así, si AI=5, CH no puede ser 5 como indicas, sino que tendría que ser CH=(BC·AI)/AB=(11·5)/9=55/9.
      Los valores que das en el “contra ejemplo” no se corresponden con los del rectángulo que propones, con lo que no es válido. Si consideras los valores que realmente tendrían esos segmentos sí obtienes el mismo área para los dos rectángulos, como por otra parte es lógico pues se ha demostrado que debe ser así.

      En definitiva, el ejercicio está bien resuelto y, no siendo en absoluto una falacia, se puede afirmar sin problema que las dos áreas son iguales.

      Recibe un cordial saludo y gracias por comentar. Como siempre digo es algo muy recomendable cuestionarse siempre las cosas, aunque también se debe ser precavido a la hora de cuestionar y, fundamentalmente, con como se dicen las cosas.

      • Amadeo, tomando en consideración todos los puntos que has mencionado, declino a tu favor y extendiendo mis disculpas si te he llegado a ofender por el “tono” ocupado, habiendo dicho esto, reviso la acotación de mi comentario y observo que está mal formulado. Por ende, te felicito por los aportes que traes a la comunidad y espero sigas prosperando con la página.

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