¿Qué rectángulo tiene mayor área? Un problema de comparar áreas

Te planteo el siguiente problema de geometría:

Siendo ABCD un rectángulo, y E un punto situado en una de sus diagonales tal y como se indica en la figura anterior, ¿qué rectángulo tiene mayor área, AIEG (el rectángulo naranja) o EHCF (el rectángulo azul)?

Piénsalo, es bastante sencillo…

¿Lo tienes ya?

Pues vamos a ver la SOLUCIÓN

 Partimos de algo bastante conocido, que es que la diagonal DB divide al rectángulo ABCD en dos triángulos que tienen áreas iguales.

Esto significa que:

ÁREA ABD = ÁREA BCD

Dicha diagonal DB también pasa por las diagonales de los rectángulos GEFD e IBHE, que los dividen a ambos en triángulos de igual área.

Es decir:

ÁREA GED = ÁREA EFD   y  ÁREA IBE = ÁREA BHE

Por otro lado sabemos que el área de cada uno de los triángulos grandes (ABD y BCD) se puede descomponer como suma de las áreas de los dos triángulos y del rectángulo contenidos en ellos. Es decir:

ÁREA ABD = ÁREA AIEG + ÁREA GED + ÁREA IBE

ÁREA BCD = ÁREA EHCF + ÁREA EFD + ÁREA BHE

Y, dado que hemos visto que ÁREA ABD = ÁREA BCD, ÁREA GED = ÁREA EFD y ÁREA IBE = ÁREA BHE , comparando ambas expresiones, no queda otra opción que las áreas de los rectángulos AIEG y EHCF sean iguales.

ÁREA AIEG = ÁREA EHCF

Es decir, contestando a la pregunta que se nos hace de qué rectángulo de los dos coloreados (naranja y azul) tiene mayor área, podemos afirmar que ambos tienen el mismo área.

Y esto lo hemos hecho sin tener medidas ni hacer cálculos numéricos, que es lo verdaderamente interesante del problema.


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1 comentario en “¿Qué rectángulo tiene mayor área? Un problema de comparar áreas

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