El cubo de Rubik: Juego, Matemáticas y Educación

A mediados de la década de 1970,  el escultor y profesor de arquitectura húngaro Erno Rubik trabajaba en el Departamento de Diseño de Interiores en la Academia de Artes y Trabajos Manuales Aplicados en Budapest.

Fue entonces cuando, intentando resolver el problema estructural de lograr mover las partes de una estructura independientemente sin que el mecanismo entero de la estructura se desmoronara, al mezclar el cubo que había ideado e intentar volverlo a la posición original, se dio cuenta de que había creado un rompecabezas.

Tras el éxito que tuvo su cubo entre sus amigos y sus alumnos, Erno Rubik decidió patentarlo, obteniendo una patente húngara en 1975, y comenzando a venderse como rompecabezas en Hungría, y con el nombre de cubo mágico.

En 1980 empezó a venderse internacionalmente, mediante la compañía Ideal Toys y ya con el nombre de cubo de Rubik, convirtiéndose con el tiempo en el rompecabezas más vendido del mundo. Porque, ¿quién no ha tenido en sus manos alguna vez un cubo de Rubik?

 

Las matemáticas del cubo de Rubik

La primera pregunta que nos puede surgir al ver un cubo de Rubik clásico (de 3 x 3 x 3) es:

¿De cuántas formas diferentes se puede mezclar un cubo de Rubik?

No es demasiado difícil deducirlo, claro está si echamos mano de las matemáticas.

Cubo de Rubik clásico de 3 x 3
Cubo MF3S de MoFang JiaoShi, una versión muy económica y con buenas prestaciones del cubo clásico de 3 x 3 x 3.

Hay que comenzar teniendo en cuenta que un cubo de Rubik de 3 x 3 x 3 tiene 27 piezas o cubos pequeños, de los cuales 8 son de esquina (con 3 caras de color visibles), 12 son de arista (con 2 caras de color visibles), 6 son centrales (con solo una cara vista), y el restante más que un cubo es una pieza que une los 6 centrales, permitiéndoles girar, conectado igualmente al resto de piezas.

Interior de un cubo de Rubik

Hay 8! (40.320) formas de combinar los vértices del cubo. Siete de estas pueden orientarse independientemente y la orientación de la octava dependerá de las siete anteriores, dando 37 (2.187) posibilidades.

A su vez hay 12!/2 (239.500.800) formas de disponer las aristas, dado que una paridad de las esquinas implica asimismo una paridad de las aristas. Once aristas pueden ser volteadas independientemente y la rotación de la duodécima dependerá de las anteriores, dando 211 (2.048) posibilidades.

En total el número de permutaciones posibles en el cubo de Rubik es de:

Permutaciones del cubo de Rubik

Es decir, cuarenta y tres trillones doscientos cincuenta y dos mil tres billones doscientos setenta y cuatro mil cuatrocientos ochenta y nueve millones ochocientos cincuenta y seis mil permutaciones.

Vamos, unas cuantas.

La otra gran cuestión matemática es:

¿Cuál es el máximo número de pasos que permiten resolver cualquier configuración que nos podamos encontrar de un cubo de Rubik?

La pregunta en sí ya es sorprendente, dada la gran cantidad de configuraciones posibles desde las que podemos partir que hemos visto antes (más de cuarenta y tres trillones), y contestarla ha supuesto un auténtico reto para las matemáticas y matemáticos en las últimas décadas.

A ese número mágico de pasos se le dio el nombre de Número de Dios.

En 1979, David Singmaster demostró que era como mucho 277 usando técnicas algebraicas, pero no fue hasta que Morwen Thistlethwaite dio con una interpretación algebraica más sofisticada que la estimación se redujo drásticamente a 52. Más o menos al mismo tiempo, se probó que había configuraciones que requerían, como poco, 18 movimientos para ser resueltas. Así, en 1980 ya se sabía que el valor del número de Dios estaba entre 18 y 52.

Tras 15 años de investigación, en 1995 se demostró que dicho número estaba entre 20 y 29. Y al fin, en julio 2010, con la ayuda de los superordenadores de Google, Tomas Rokicki, Herbert Kociemba y John Dethridge probaron que el número de Dios es 20.

Algo que también se sabe es que el número de posiciones o configuraciones que requieren exactamente un movimiento para ser resuelto es de 18. En realidad esto último es fácil de calcular, ya que hay seis caras y tres formas de girar cada una.

Cuántos cubos están exactamente a dos o tres movimientos de estar resueltos tampoco es difícil de calcular para los matemáticos, pero ya os podéis imaginar que los números más altos se vuelven difíciles. Actualmente, hasta donde yo sé, se conoce el número de configuraciones que requieren de 15 movimientos para resolver el cubo, pero no se sabe exactamente cuántas necesitan de 16 hasta 20 movimientos.

 

Las ventajas de jugar al cubo de Rubik

Jugar al cubo de Rubik no es solo un pasatiempo, que desde luego lo es y mucho. Jugar con él significa utilizar un sistema de resolución de problemas que hace que se aprenda a analizar las distintas situaciones posibles que se pueden dar, y se ejercita el cerebro de una forma lúdica.

Las ventajas de jugar al cubo de Rubik, en cierto modo, son similares a las de jugar al ajedrez:

Mejora la coordinación ojo-mano y la capacidad visoespacial. Al tener que analizar el estado o la posición en que se encuentra una pieza del cubo y cómo resolverlo, se están buscando similitudes y diferencias en otras posiciones, y en base a esto se trazan estrategias. Si bien es algo propio de los rompecabezas en general, en el caso del cubo de Rubik ayuda además a comprender la tridimensionalidad de los objetos.

Activa la memoria. Para llegar a resolver el cubo hace falta cierta información que el cerebro habrá ido almacenando previamente. Se necesita recordar cuáles han sido las estrategias de resolución empleadas ante ciertas dificultades, la posición y colores de algunas piezas e incluso algún que otro algoritmo de movimientos secuenciales que ayudará a completarlo.

Fomenta la paciencia y el trabajo contra la frustración. Está claro que resolver un cubo de Rubik no es algo sencillo, y ya no digamos si se trata de alguna de sus muchas variantes. En este sentido, es fundamental establecer unos objetivos escalonados y proporcionados con la edad y capacidad de cada uno. Resolver una primera capa puede ser ya un mérito digno de celebración. No obstante, también es importante comprender que un movimiento erróneo puede deshacernos todo lo que habíamos progresado, y es entonces cuando hay que seguir intentándolo y nunca tirar la toalla.

Ejercita la atención y la concentración. Para resolver cualquier rompecabezas es fundamental trabajar sobre la misma actividad durante un periodo relativamente largo de tiempo, lo que nos ayuda a mejorar la capacidad de concentración. Resulta mucho más fácil mantenerse concentrado cuando la tarea en cuestión está resultando divertida, por lo que los juegos y los rompecabezas son una herramienta muy poderosa para trabajar la atención.

 

Variantes del cubo de Rubik

A poco que os hayáis fijado en la imagen inicial de esta publicación, habréis observado que el mundo de los cubos de Rubik no se reduce al clásico cubo de 3 x 3 x 3, y es que hay un sinfín de variantes y, precisamente, muchas de ellas ni siquiera son cubos: Cúbicos (de 2 x 2, de 3 x 3, de 4 x 4, de 5 x 5… de 12 x 12), cuboides, Minx (Piraminx, Megaminx, Kilominx, Teraminx), Gear, y otros cubos especiales, a cuál más sorprendente.

Yo os dejo aquí algunos de los que tengo en casa cortesía de Ludokubo.

Cubo de 2 x 2 x 2
Cubo de 2 x 2 x 2
Qi Yi Skewb Qicheng A
Qi Yi Skewb Qicheng A
Qi Yi 2x2x3 cube
Qi Yi 2x2x3 cube
QiYi Qiming Pyraminx A
QiYi QiMing Pyraminx A
Qi Yi QiHeng Megaminx
Qi Yi QiHeng Megaminx

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1 comentario en «El cubo de Rubik: Juego, Matemáticas y Educación»

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