1+2+3+4+5+…+100

¿Cuánto vale la siguiente suma?

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 = ________

Para responder a la pregunta, lo primero que se nos puede ocurrir es ir sumando uno a uno cada número; En total realizaríamos 99 sumas para llegar a la solución, mentalmente o con la ayuda de una calculadora (en general, hay que reconocer que nos cuesta bastante hacer cálculos mentales).

Antes de seguir, ya sé que muchas y muchos habrán dicho: ¡Qué barbaridad! ¡No hace falta hacer tantas sumas! ¡Con lo que yo sé de matemáticas lo hago mucho más rápido!… cuento con ello, pero como no todo el mundo tiene porque saberlo y, precisamente, de eso trata en buena parte este blog, de “acercar” lo que se tenía muy lejano o simplemente no se conocía, permitidme que no desvele tan rápido el misterio que tantos ya conocen.

En 1786, en una clase de Aritmética de tercero de primaria, un maestro rural llamado Büttner pidió a sus alumnos que hallaran la suma de los 100 primeros números (la pregunta con la que hemos empezado esta entrada). Un alumno de esa clase llamado Carl Friedrich Gauss, que entonces tenía 9 años, halló la respuesta correcta en muy poco tiempo, diciendo «Ligget se’» (“ya está”). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas de las de sus compañeros.

La respuesta que Gauss dió fué: 5050. Si hacéis esas 99 sumas de las que habíamos hablado llegareis a esa solución, aunque tardando bastante más de lo que tardó aquel joven muchacho.

Sin duda es sorprendente la rapidez con la que Gauss dió la respuesta correcta, y más aún teniendo en cuenta que tan solo tenía 9 años. Pero ¿qué razonamiento pudo seguir?

Lo que queremos calcular es:

S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

Gracias a la propiedad conmutativa de la suma, podemos poner los sumandos en este orden:

S = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1

Si ahora sumamos ambas expresiones lo podemos expresar, valga la redundancia, de la siguiente manera:

2S = (1+100) + (2+99) + (3+98) + …+ (98+3) + (99+2) + (100+1)

Es decir:

2S= 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101    (100 veces 101)

Luego S será:

gauss 1es decir, 50 veces 101…

…la solución dada por Gauss.

En el siguiente fragmento de la película alemana “Midiendo el mundo” (“Die Vermessung der Welt”) se recrea la escena de aquella clase de Aritmética.

Este mismo problema, lo podemos plantear de forma genérica, es decir, la suma de los n primeros números. Siguiendo un razonamiento análogo al del caso de los 100 primeros números, tendríamos:

S = 1 + 2 + 3 + … + (n-2) + (n-1) + n

S = n + (n-1) + (n-2) + … + 3 + 2 + 1

2S = (1+n) + (2+(n-1)) + (3+(n-2)) + … + ((n-2)+3) + ((n-1)+2) + (n+1)

que resulta:

2S= (1+n) + (1+n) + (1+n) + … + (1+n) + (1+n) + (1+n)

(n veces (1+n))

Luego S será:

gauss 2

Así, por ejemplo, la suma de los 5000 primeros números es:

gauss 4

Con esta expresión, no sólo podemos calcular la suma rápidamente, por muy grande que sea la cantidad de números a sumar, sino que lo que es mejor aún, no necesitamos calcular los términos intermedios de la sucesión de números, únicamente tenemos en cuenta el primero y el último.

Pero aún podemos dar un paso más, pues lo que hemos visto hasta ahora es un caso particular de suma de términos de una progresión aritmética.

Una progresión aritmética, para quienes no tienen porqué saberlo o simplemente no lo recuerdan, es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante (una cantidad que es siempre igual), cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia.

Así pues, el caso que hemos visto hasta ahora se trata de una progresión aritmética de diferencia 1, es decir, el término siguiente de la sucesión se obtiene sumando 1 al anterior, y además, en este caso, el primer término de la sucesión de números es el 1.

Pues bien, igualmente podemos calcular de forma sencilla la suma de los n términos de una progresión aritmética de diferencia cualquiera mediante la siguiente expresión:

gauss 5

siendo:

gauss 6

De esta manera, por ejemplo, podríamos responder a la pregunta: ¿cuánto suman los 100.000 primeros múltiplos de 5?

5 + 10 + 15 + 20 + … + 500.000

Utilizando lo que ya sabemos tenemos que:

gauss 7

Más de veinticinco mil millones, y lo hemos calculado en cuestión de segundos.

Esto es una de las cosas que tienen las matemáticas, que nos proporcionan herramientas de extraordinaria potencia y, como hemos visto, su deducción no tiene porque ser compleja, símplemente alguien debe tener la idea. Bueno, en este caso Gauss es más que “alguien”.

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13 comentarios en “1+2+3+4+5+…+100

  1. Yo he llegado a un planteamiento diferente, integrando x + 1/2 , por lo que da integrándolo x^2+1/2x , al final es el area de la función entre 0 y 100

  2. muy bueno tu trabajo , yo he llegado un poco mas lejos puesto que es desarrollado una formula general que suma cual quier múltiplo continuo sin importa que empieza en le primero ejemplo: sumatoria de los múltiplo de 5 que se encuentra entre 50 y 1000 .

    • Hola Ing. Felipe.
      Lo que comentas no deja de ser la suma de términos de una progresión geométrica entre dos términos de la misma (incluidos dichos términos).
      En el caso de la historia de Gauss y de esta entrada se trata de progresiones aritméticas.

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