Solución a… Los apretones de manos

El acertijo de los apretones de manos dice así:

“En una reunión, todos los asistentes se dieron la mano con todos los demás. Hubo 66 apretones de manos. ¿Cuántas personas estaban en la reunión?”

acertijoapretones

Vamos a ver la SOLUCIÓN.

¡Espera!

Si aún no lo habías visto y no has intentado resolverlo, te invito a que lo hagas antes de seguir leyendo.

¿Quieres ver la solución ya?

Continúa entonces…

Con dos personas (A y B), se produce un apretón de manos (A con B).

Con tres personas (A, B y C), se producen tres apretones de manos (A con B y C, B con C).

Con cuatro personas (A, B, C y D), hay seis apretones de manos (A con B, C y D, B con C y D, C con D).

En general, con n +1 personas, el número de apretones de manos es la suma de los primeros n números naturales consecutivos:

1 +2 +3 + … + n

Dicha expresión es la de la suma de los términos de una progresión aritmética de diferencia 1,y viene dada por:

n (1 +n) / 2

Así que, tenemos que resolver la ecuación:

n (1 +n) / 2 = 66

que es una ecuación de segundo grado que podemos expresar como:

n 2 + n – 132 = 0

Resolviendo dicha ecuación obtenemos como solución válida n=11 , y de dicho resultado se deduce que había 12 personas en la reunión.

Si recurrimos a la combinatoria, nuestro problema se trata de combinaciones de n elementos tomados de dos en dos (sin repetición), cuya expresión es la siguiente:

Luego, en nuestro caso tenemos que:

Simplificando los factoriales nos queda:

Y, simplificando aún más, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado:

n2 – n – 132 = 0

De donde se obtiene como solución válida al problema  n=12, es decir, había 12 personas en la reunión.

 Pero…

… hay una tercera forma de plantear este problema de los apretones de manos que me gusta personalmente, y es recurriendo a la geometría.

Podemos considerar a cada persona de la reunión como un vértice de un polígono cualquiera, de manera que tendríamos un polígono de n vértices y, por tanto, también de n lados.

Planteado así, un apretón de manos entre dos personas sería la línea que une los vértices que representan a esas dos personas.

De esta manera, el número total de apretones de manos será la suma de las diagonales y lados de dicho polígono.

Como en un polígono de n lados, el número de diagonales viene dado por la expresión:

apretones01

El número total de apretones será:

apretones02

Igualando ahora a 66 (el número total de apretones de manos que nos dicen que ha habido en la reunión)…

apretones03

Y simplificando obtenemos la ecuación de segundo grado que vimos antes al resolver el problema utilizando la combinatoria:

n2 – n – 132 = 0

Cuya solución válida era n=12, es decir, en la reunión estaban 12 personas.

Como comprobación, si dibujáis ahora un polígono de 12 vértices (12 lados) y trazáis todas sus diagonales posibles, observaréis que junto con sus 12 lados suman en total 66.

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24 comentarios en “Solución a… Los apretones de manos

    • Hola Sebastián.
      En la primera resolución el resultado final es 12 (lógicamente como en las otras resoluciones que se hacen después) puesto que, como se indica, en esa primera resolución el número de personas viene dado por n+1.

      Lo que es 11 es el valor de n que se obtiene de resolver la ecuación de segundo grado n^2+n-132=0 (11^2+11-132 = 121+11-132 = 132-132 = 0)
      (El otro resultado de posible de dicha ecuación, -11, no tiene sentido en este caso porque sería un número de personas “negativo”)

      Espero haberte aclarado la duda.
      Saludos.

  1. Para llevar al aula.
    Con frecuencia los comentarios que se escriben en cada entrada de un blog son tan interesantes como la entrada misma, porque se plantean otras perspectivas y otros puntos de vista en los que no habíamos pensado.
    Gracias a Amadeo, por contar tan bien las cosas, y también a Ana, por su aportación.

  2. Hola! un blog interesante.
    Es un problema muy curioso que nos permite ver las grandes posibilidades que nos ofrecen los razonamientos matemáticos.
    Una de las posibilidades de resolución más interesante de este problema es a través de la geometría, de donde sale la ecuación n x (n-1)/2. Si entendemos que cada una de las personas es un vértice de un polígono cualquiera y que los apretones de manos serían la suma de sus diagonales y lados llegamos a la generalización de que si conocemos al número de personas podremos establecer el número de saludos

    La ecuación anterior es una síntesis de las fórmula correspondiente a las diagonales de un polígono más la suma de sus lados. n x (n-3)/2 +n= n x (n-1)/2.

    si lo resolvemos a través de ensayo y error podemos establecer que 12 x (11)/ 2= 66 con lo que n=12 .

    un saludo y espero haber aportado otra visión del problema

  3. asod está en lo cierto. Para que puedan coincidir los apretones de manos con el número de personas en la reunión y en cualquier otra situación, debe de utilizarse la expresión n (n-1) / 2 = (n^2-n) / 2 ya que de otra manera no coincide. Pues es con ( n – 1) personas que resulta, o sea, 1 +2 +3 + … + ( n – 1). Favor de verificarlo…

    • Asod estaba equivocado, de hecho le remití a la entrada 1+2+3+4+5+…+100 para que pudiese comprobarlo. Te invito también a que lo hagas.
      De hecho basta con que hagas una comprobación con números, por ejemplo 1+2+3+4. La suma es el número de términos (4) por el primer término (1) MÁs el último término (4), todo ello dividido entre 2, es decir 4(1+4)/2 = 4•5/2 = 20/2 = 10. Si pones un menos en lugar del más no te va a dar el resultado correcto (porque no está bien).

      Por otra parte, si lo que quieres es que n sea diréctamente el número de personas de la reunión (y no n+1 como consideré yo en en la primera parte de la entrada en su momento), en ese caso el número de apretones es, como has indicado, 1+2+3+…+(n-1). Sin embargo, dicha suma vendría dada por la expresión: “(n-1)[1+(n-1)] / 2” y dicha expresión sería la que tendrías que igualar a 66, obteniendo el resultado de 12 apretones.

      Observa que la suma empieza en 1 y termina en una unidad menos que el número de personas.

      Y la expresión de esa suma es la que he empleado, no porque lo diga yo sino porque lo dijo Gauss en su día.

      Espero habertelo podido aclarar.

      Un saludo y gracias por aportar al blog comentando.

  4. Gracias por comunicar las soluciones. Hace poco tiempo que descubrí “matemáticas cercanas”. Valoro mucho que envien las explicaciones correspondientes ya que en ocasiones uno no tiene la certeza de haberlos resuelto correctamente o no logra hallar las respuestas. Desde ya, muchas gracias.

    • Muchas gracias a ti, Patricia, por dedicar parte de tu tiempo a visitar el blog. Está hecho con mucha humildad e ilusión y, a parte de intentar entretener, como su nombre indica, intenta acercar las matemáticas a todo el mundo. Por eso creo que debo poner las soluciones y explicaciones a todos los problemas y acertijos, pues se trata de que todos puedan entenderlo.
      Muchas gracias por tus palabras, son muy valiosas para mi.
      Un saludo.

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