Progresión aritmética… ¡Será por diferencias!

Esto que acabo de poner es un ejemplo de progresión aritmética.

¿Que qué es eso de una progresión aritmética?

Es una sucesión en la que cada término (excepto el primero) se obtiene sumando al anterior un número o cantidad fija que llamamos diferencia. Esa cantidad que sumamos puede ser positiva o negativa.

Que lo de antes es una sucesión parece claro (o al menos de números), porque son números dispuestos uno a continuación de otro, pero vamos a ver si se cumple eso de que cada término se obtiene sumando al anterior siempre el mismo número (la diferencia)…

Pues sí, cada término lo obtenemos sumando al que va justo antes 3, y ocurre siempre. Luego efectivamente es una progresión aritmética y además de diferencia 3.

Antes de seguir contándote más cosas (esto es solo el comienzo) voy a hacer algo que nos gusta mucho en matemáticas y que es expresar todo esto “con letras”.

¡Ya estamos con las letras!

Créeme que nos va a ser útil, porque así las conclusiones que saquemos nos valdrán para cualquier caso de forma general, y no solo para uno en particular.

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Progresión geométrica… ¡Aquí hay mucha razón!

Esto que acabo de poner es un ejemplo de progresión geométrica.

¿No te fías de mí?

¿Que cómo sabes si es una progresión geométrica?

Quizás tendría que haber empezado explicando qué es una progresión geométrica.

No es otra cosa que una sucesión en la que cada término (excepto el primero) se obtiene multiplicando el anterior por un número o cantidad fija que llamamos razón.

Que lo de antes es una sucesión parece claro (o al menos de números), porque son números dispuestos uno a continuación de otro, pero vamos a ver si se cumple eso de que cada término se obtiene multiplicando el anterior siempre por el mismo número (la razón)…

Pues sí, cada término lo obtenemos multiplicando el que va justo antes por 2, y ocurre siempre. Luego efectivamente es una progresión geométrica y además de razón 2.

Antes de seguir contándote más cosas (esto es solo el comienzo) voy a hacer algo que nos gusta mucho en matemáticas y que es expresar todo esto “con letras”.

¡Ya estamos con las letras!

Créeme que nos va a ser útil, porque así las conclusiones que saquemos nos valdrán para cualquier caso de forma general, y no solo para uno en particular.

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1+2+3+4+5+…+100

¿Cuánto vale la siguiente suma?

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 = ________

Para responder a la pregunta, lo primero que se nos puede ocurrir es ir sumando uno a uno cada número; En total realizaríamos 99 sumas para llegar a la solución, mentalmente o con la ayuda de una calculadora (en general, hay que reconocer que nos cuesta bastante hacer cálculos mentales).

Antes de seguir, ya sé que muchas y muchos habrán dicho: ¡Qué barbaridad! ¡No hace falta hacer tantas sumas! ¡Con lo que yo sé de matemáticas lo hago mucho más rápido!… cuento con ello, pero como no todo el mundo tiene porque saberlo y, precisamente, de eso trata en buena parte este blog, de “acercar” lo que se tenía muy lejano o simplemente no se conocía, permitidme que no desvele tan rápido el misterio que tantos ya conocen.

En 1786, en una clase de Aritmética de tercero de primaria, un maestro rural llamado Büttner pidió a sus alumnos que hallaran la suma de los 100 primeros números (la pregunta con la que hemos empezado esta entrada). Un alumno de esa clase llamado Carl Friedrich Gauss, que entonces tenía 9 años, halló la respuesta correcta en muy poco tiempo, diciendo «Ligget se’» (“ya está”). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas de las de sus compañeros.

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