Progresiones geométricas ¡Aquí hay mucha razón!

Esto que acabo de poner es un ejemplo de progresión geométrica.

¿No te fías de mí?

¿Que cómo sabes si es una progresión geométrica?

Quizás tendría que haber empezado explicando qué es una progresión geométrica.

No es otra cosa que una sucesión en la que cada término (excepto el primero) se obtiene multiplicando el anterior por un número o cantidad fija que llamamos razón.

Que lo de antes es una sucesión parece claro (o al menos de números), porque son números dispuestos uno a continuación de otro, pero vamos a ver si se cumple eso de que cada término se obtiene multiplicando el anterior siempre por el mismo número (la razón)…

Pues sí, cada término lo obtenemos multiplicando el que va justo antes por 2, y ocurre siempre. Luego efectivamente es una progresión geométrica y además de razón 2.

Antes de seguir contándote más cosas (esto es solo el comienzo) voy a hacer algo que nos gusta mucho en matemáticas y que es expresar todo esto «con letras».

¡Ya estamos con las letras!

Créeme que nos va a ser útil, porque así las conclusiones que saquemos nos valdrán para cualquier caso de forma general, y no solo para uno en particular.

Los términos de la progresión los vamos a identificar con una a con un subíndice que indica la posición del término en la progresión. Así a1 será el primer término de la progresión, a2 el segundo, a3 el tercero… a20 el término de la progresión que ocupa la posición 20…

Si es una progresión geométrica hemos dicho que cada término (excepto el primero, a1) se obtiene multiplicando el anterior por la razón, que vamos a designar con la letra r. Es decir…

a2 = a1 · r

a3 = a2 · r

a4 = a3 · r

an = an-1 · r

 O, lo que es equivalente:

Y esto que acabamos de deducir es una de las formas (no es la única) que tenemos de calcular la razón en una progresión geométrica:

Cuando conocemos dos términos consecutivos de una progresión geométrica podemos calcular la razón de la progresión dividiendo un término de la misma por el inmediato anterior.

Volviendo a la progresión geométrica con la que empezamos…

efectivamente se cumple que:

 Bueno, ya tenemos claro que multiplicando a partir del primer término (a1) sucesivamente por la razón (r) se van obteniendo los términos de la progresión geométrica…

Pues sabiendo esto podemos, por ejemplo, calcular el quinto término (a5) a partir del segundo (a2) directamente sin tener que calcular previamente a3 ni a4, ya que al avanzar 3 posiciones (5 – 2 = 3) lo que hacemos es multiplicar tres veces por la razón (r · r · r = r3)…

O, por ejemplo, calcular el octavo término (a8) a partir del tercero (a3), ya que como avanzamos 5 posiciones (8 – 3 = 5) multiplicamos cinco veces por la razón (r · r · r · r · r = r5)…

Y esto que acabamos de deducir es realmente útil a la hora de trabajar con progresiones geométricas, porque nos permite calcular un término cualquiera de la progresión a partir de otro conociendo la razón (r), sin necesidad de que sean consecutivos.

Si llamamos ap a un término genérico que ocupe la posición p y aq a un término que ocupe la posición q, siendo p<q (el término ap aparece antes en la progresión que el término aq)…

ambos términos se relacionan a través de la razón (r) de la forma:

Es lo mismo que hemos visto en los dos ejemplos anteriores pero generalizando.

Pero lo que es mejor aún es que esta expresión nos permite calcular la razón (r) conociendo dos términos cualesquiera de una progresión geométrica (ap y aq), ya que si sustituimos ap y aq por sus valores, y p y q por sus posiciones correspondientes, tenemos una ecuación en la que la única incógnita es r (la razón).

Por ejemplo, si a2 = 2  y  a7 = 64…

 Y todo esto que acabamos de ver lo podemos utilizar para definir la expresión del término general de una progresión geométrica (an), que nos permite calcular cualquier término de la misma:

Si te fijas he utilizado como término de partida el primer término (a1), aunque podría haber empleado cualquier otro, pero se suele hacer así ya que es el único término de la progresión geométrica que viene fijado de inicio y no se obtiene a partir de ninguno anterior.

Volviendo a la progresión…

en la que hemos visto que r = 2  a1 = 1, el término general de la misma será:

y, como he comentado antes, con esta expresión podemos calcular ahora el término de nuestra progresión geométrica que queramos, sustituyendo simplemente n por la posición que ocupa dicho término.

Por ejemplo:

y así los que queramos.

Bien, ya sabemos obtener la razón de una progresión, calcular términos de la misma y obtener la expresión del término general.

Antes de explicarte algo más sobre las progresiones geométricas…

… ¿Recuerdas la leyenda del tablero de ajedrez y los granos de trigo?

¿No la conoces?

Es la historia en la que el rey Sheram ofrece en agradecimiento a Sissa, que al descubrirle el juego del ajedrez había conseguido aliviar en buena parte la pena que tenía por la pérdida de su hijo, una recompensa. Y éste le pide un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez, dos granos por la segunda casilla, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta… y así (en cada casilla el doble de granos que en la casilla anterior) hasta completar las 64 casillas del tablero.

¿Os suenan esos números?

Son los de nuestra progresión geométrica…

 Lo sorprendente de la historia de Sissa es el total de granos de trigo de la recompensa que pidió que, pareciendo que no iba a ser mucho, fue de 18.446.744.073.709.551.615 granos (casi dieciocho trillones y medio).

 Pues bien, vamos a deducir una expresión que nos permita calcular la suma de n términos de una progresión geométrica (Sn) y así calcularemos nosotros mismos de forma inmediata esa enorme cantidad de granos de trigo. Cálculo que en la historia le llevó cerca de un día hacerlo a la corte de matemáticos del rey.

Podría «plantar» aquí directamente la fórmula, pero me interesa que sepas de dónde sale.

Yo quiero calcular la suma de n términos de una progresión geométrica (Sn), que puedo expresar como:

Si multiplico los dos miembros de la expresión anterior por r, obtengo:

¿Por qué hago esto?

Pues porque estoy buscando una expresión donde aparezcan Sn, la razón r y, a ser posible, el menor número de términos de la progresión para que así sea más sencilla, y si resto ahora las dos expresiones que he obtenido se anulan muchos de los términos de la progresión…

Sacando factor común Sn

y despejando, obtenemos:

Expresión con la que podemos calcular la suma de n términos de una progresión geométrica (Sn) conociendo la razón r y el primer y último términos (a1 y an).

También se puede deducir esta otra expresión para Sn en la que únicamente aparecen r, a1n, sustituyendo en la anterior an por a1 · r n-1:

y, sacando factor común a1:

¡Estupendo!

¡Ya sabemos hacer otra cosa más!

¿Calculamos ahora el total de granos de trigo del tablero de ajedrez?

La razón la sabemos, r = 2, el número de términos es n = 64 (son 64 casillas), y el primer término de la progresión geométrica es a1 = 1, así que la suma total será:

Y este cálculo, dado que una calculadora científica normal no tiene precisión suficiente y nos va a aproximar la solución por redondeo, podemos por ejemplo hacerlo utilizando WolframAlpha

Obteniendo el resultado que ya conocíamos:

Está claro que hemos tardado bastante menos que si hubiésemos tenido que calcular los granos de cada casilla y sumarlos después todos, como les ocurrió a los matemáticos de la corte del rey Sheram.

Bien, ya sé que hemos visto bastantes cosas sobre las progresiones geométricas, pero permíteme que te cuente una más, que es bastante interesante.

Como hemos podido observar con los valores de los términos de nuestra progresión geométrica y, sobre todo, con la magnitud del resultado de la suma de términos que hemos obtenido, a medida que vamos obteniendo términos de la progresión el valor absoluto de éstos crece considerablemente.

Si ha ocurrido con una progresión con razón r = 2 imagina con una razón que sea bastante mayor.

Pero no siempre va a ser así.

De hecho, si el valor absoluto de la razón r es menor que 1:

|r| < 1

O, lo que es lo mismo…

-1 < r < 1

cada vez que multiplicamos por r para calcular un nuevo término de la progresión, lo estamos haciendo por un número que es menor en valor absoluto que la unidad, con lo que el resultado es un término de valor absoluto más pequeño que el anterior.

Lo vemos con un ejemplo.

Si  a1 = 1  y  r = 0,1 , tenemos:

a2 = 1 · 0,1 = 0,1

a3 = 1 · 0,12 = 0,01

a4 = 1 · 0,13 = 0,001

a10 = 1 · 0,19 = 0,000000001

a20 = 1 · 0,119 = 0,0000000000000000001

Es decir, a medida que crece el número de términos que consideramos, el valor de éstos va disminuyendo hasta convertirse prácticamente en 0.

Si ahora nos vamos a la expresión que vimos de la suma de n términos de una progresión geométrica (Sn)…

si  n→∞  entonces, tal y como hemos visto,  an→0, anulándose el segundo término del numerador…

De manera que podemos calcular la suma de «todos» los términos de una progresión geométrica con -1 < r < 1 mediante la expresión:

Ojo que solo podemos hacer esto si -1 < r < 1, pues de no ser así ya hemos visto que la suma no converge a ningún valor (es mayor cuantos más términos consideramos) y tan solo podremos calcular la suma para un número concreto de términos de la progresión (Sn).

Bueno…

¿Qué tal?

Espero que hayas entendido bien todo esto que te he contado sobre las progresiones geométricas. Es fundamental comprenderlo para saber utilizarlo correctamente y poder resolver cualquier tipo de ejercicio.

Piensa que son «herramientas» que tienes y que, como tales, debes saber cuál de ellas utilizar según lo que necesites en cada momento.

Puede parecer que son muchas cosas, pero en realidad no lo son. Te las resumo:

Por si te ha quedado alguna duda… ¿Quieres que veamos unos ejemplos?


EJEMPLO 1.

 En la siguiente progresión geométrica:

4, 12, 36, 108, …

Calcular el término general de la progresión (an) y la suma de los 10 primeros términos (S10).

Lo primero que tenemos que hacer es calcular la razón (r) de la progresión, pues no nos la dan directamente, y de paso comprobamos que efectivamente es una progresión geométrica:

Nos piden calcular el término general (an) cuya expresión es:

La razón ya la hemos calculado, r = 3, y el primer término (a1) nos lo dan en el enunciado (es el primero que aparece en la progresión), a1 = 4. Sustituyendo, tenemos que:

 

Esta es la expresión del término general de esta progresión geométrica. Con él, como ya comentamos, podemos calcular cualquier término de la misma.

Como comprobación vamos a calcular, por ejemplo, el tercer término (a3):

que efectivamente coincide con el tercer término de la progresión que nos dan.

Ahora vamos a calcular lo otro que nos piden: la suma de los 10 primeros términos (S10).

En la expresión de la suma de n términos (Sn)…

sustituímos n por 10 (queremos calcular los 10 primeros términos), r por 3 (r = 3), y a1 por 4 (a1 = 4), obteniendo:

que es la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica que nos dan.


EJEMPLO 2.

Calcula el término general (an) y la suma de los 8 primeros términos (S8) de una progresión geométrica de razón r = 4  y quinto término a5 = 256.

En este caso la razón nos la dan como dato (r = 4), así que no tenemos que calcularla.

Nos piden calcular el término general (an) cuya expresión es:

Para poder hacerlo, necesitamos calcular primero a1.

Para ello basta con que lo relacionemos con el término que nos dan como dato (a5) utilizando la expresión que vimos que relacionaba dos términos cualesquiera de la progresión:

En nuestro caso concreto:

que, sustituyendo los valores conocidos de a5 y r, queda:

Y, despejando a1 y operando…

Si te fijas, lo que hemos hecho en definitiva es dividir el quinto término cuatro veces por la razón para ir cuatro pasos atrás en la progresión y llegar así al primer término.

Ahora ya sí podemos calcular la expresión del término general (an) que, con a1 = 1  y r = 4, será:

Para calcular la suma de los 8 primeros términos (S8) de la progresión geométrica, partimos de la expresión de Sn

y, considerando n = 8, a1 = 1, y r = 4, obtenemos:


 EJEMPLO 3.

Calcula el término general (an), la suma de los 5 primeros términos (S5) y la suma de todos los términos (S) de una progresión geométrica de términos positivos con a1 = 1  y a3 = 1/4.

Como nos ocurrió con el primer ejemplo, no nos dan como dato la razón (r), así que es lo primero que tenemos que calcular.

Como no conocemos dos términos consecutivos (los que tenemos son el primero y el tercero) no podemos dividir un término de la progresión por su inmediato anterior para obtener la razón, pero sí podemos utilizar la expresión que relaciona dos términos cualesquiera de la progresión por medio de la razón (r):

Lógicamente los dos términos que vamos a utilizar son los que nos dan como dato (de hecho no podemos hacer otra cosa) y en la ecuación que nos quede la única incógnita será la razón (r) que es lo que queremos calcular…

Sustituyendo a1 y a3 por sus valores…

y despejando y operando, tenemos:

Un detalle: Fíjate que he considerado de las dos posibles soluciones (positiva y negativa) la positiva, y lo he hecho porque nos dicen que se trata de una progresión geométrica de términos positivos. Si hubiese considerado la negativa, los términos de la progresión serían positivos o negativos alternativamente.

Pues ya tenemos la razón (r) y también el primer término (a1) que nos lo dan como dato, así que podemos ya obtener la expresión del término general (an) de la progresión geométrica, que es lo primero que nos piden:

como a1 = 1  r = 1/2, tenemos que:

Bien, una cosa menos.

Vamos a calcular ahora la suma de los 5 primeros términos (S5) de la progresión.

Partimos de la expresión de la suma de n términos (Sn):

y sustituimos en ella n por 5 (son los 5 primeros términos los que queremos sumar) y a1  y  r  por sus valores conocidos (a1 = 1  r = 1/2), obteniendo:

 

En este cálculo que acabamos de hacer, lo que sí que debes tener es mucho cuidado a la hora de realizar las operaciones con fracciones, que es donde se suelen cometer más errores.

Observarás también que he rodeado en rojo una parte: el paso de una fracción compuesta a una fracción simple. Si no tienes claro cómo se hace este paso, puedes verlo explicado en esta otra entrada del blog titulada «Fracciones compuestas… no digas que no, porque sí sabes hacerlo«.

Pues ya solo nos queda calcular la suma de todos los términos (S o S∞) de la progresión.

La fórmula para hacerlo ya la vimos, era muy sencilla:

y solo tenemos que sustituir a1  y  r  por sus valores…

c’est fini!


Confío en que con estos tres ejemplos que hemos hecho te haya quedado todo más claro aún.

Y ya para terminar, te dejo con otra curiosa serie geométrica: la que se da cuando doblamos un papel repetidas veces por la mitad…

¿Cuántos dobleces crees que tendrías que hacer a un papel para llegar a la luna?

Te lo cuento en esta entrada del blog «Dame un papel y te llevaré a la luna… (solución y más)«…

Dame un papel y te llevaré a la Luna... y más allá

Espero como siempre que esta entrada te haya gustado y, sobre todo, que te sea muy útil.


Sobre las imágenes empleadas:

La primera y última imágenes de esta entrada están tomadas de la red sin encontrar referencia a autoría, por eso no la indico (si alguien la conoce con certeza que me lo comente por favor para incluirla).

El resto de imágenes utilizadas son de mi propia autoría, incluido el dibujo del «Capitán Extremadura» utilizado para mostrar el comportamiento de las series geométricas.


¿Te ha gustado? No te pierdas ninguna entrada del blog y suscríbete a los avisos por correo electrónico. Sabrás al instante cuándo se ha publicado una entrada nueva.

Únete a otros 5.918 suscriptores

79 comentarios en «Progresiones geométricas ¡Aquí hay mucha razón!»

    • Lo tienes muy fácil. Sabes el primer término, y también la razón dividiendo el segundo término entre el primero. Solo tienes que sustituir en la expresión del término general.
      Es parecido al ejercicio 1 de la publicación.

      Responder
  1. A continuación se muestra una progresión (misma que consta de solamente dos elementos): 2, 4.

    Esta progresión, ¿es aritmética, geométrica o ambas?

    Responder
          • Hola Fernando. En el caso que proponía Osvaldo, una progresión en la que solo se conocían los dos primeros términos: 2 y 4; la información es tan poca, que podría ser una progresión aritmética de diferencia 2 (se va sumando a cada término la diferencia 2 para obtener el siguiente) que sería 2, 4, 6, 8, 10,… o una progresión geométrica de razón 2 (se va multiplicando cada término por la razón 2 para obtener el siguiente) que sería 2, 4, 8, 16, 32,…
            Para saber exactamente si se trata de una progresión aritmética o geométrica, necesitamos conocer algún término más de la progresión.
            Un saludo.

    • Buenas tardes.
      De la segunda expresión, dado que a₅ – a₂ es justo tres veces la diferencia d, obtienes que:
      3d = -6
      y, despejando:
      d= -6/3 = -2 (ese es el valor de la diferencia).
      Ahora tienes que escribir a₃ en función de a₁ y la diferencia d en la primera expresión, quedando:
      a₁ + a₁ + 2d = 18
      es decir:
      2a₁ + 2d = 18
      y simplificando entre 2:
      a₁ + d = 9
      Si despejas a₁ tienes que:
      a₁ = 9 – d
      Y, sustituyendo el valor que has obtenido antes de d = -2, te queda:
      a₁ = 9 – (-2) = 9 + 2 = 11.
      Saludos.

      Responder
  2. Hola profesor Amadeo Artacho me podria ayudar con las siguientes preguntas Gracias!

    La leyenda del ajedrez
    Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram. En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle.
    Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez.
    Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido.
    Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara. Éste rechazó esa recompensa, pero el rey insistió y Sissa pidió lo siguiente:
    Deseo que ponga un grano de trigo en el primer cuadro del tablero, dos, en el segundo, cuatro en el tercero, y así sucesivamente, doblando el número de granos en cada cuadro, y que me entregue la cantidad de granos de trigo resultante.
    Preguntas:

    1. ¿Cuantos granos crees que tuvo que colocar en el casillero número 5?

    R:

    2. ¿Cuantos granos crees que tuvo que colocar en el casillero número 10?

    R:

    3. ¿Cuantos granos crees que tuvo que colocar en el casillero número 12?

    R:

    4. ¿Puedes expresar en forma de potencias la equivalencia a la cantidad de granos en el último casillero del tablero de ajedrez?

    R:

    5. Explica con palabras como encontraste la manera de saber la cantidad de granos, según el casillero del tablero de ajedrez.

    R:

    6. Escribe una forma general para expresar la cantidad de granos, según el número de casilleros del tablerto de ajedrez.

    R:

    7. ¿Crees que el rey Sheram, pudo pagar la recompensa planteada por Sissa?

    R:

    Responder
  3. El quinto término de una PG es 81 y el primer término es 1. ¿Cuál será el octavo término
    de dicha progresión?
    Mi hijo necesita resolver esto, pero a ninguno de los dos nos sale, podrian ayudarnos?

    Responder
    • Hola! La respuesta sería 2187, el desarrollo es el siguiente:
      Se halla la razón mediante la fórmula r= el número de términos sobre el primer término a la raíz del primer término, es este caso vendría a ser 8 sobre 1 a la raíz de 1, redondeado, el ejercicio nos da como resultado una razón de 3. 3 es un divisor de 81, así que vamos por buen camino. Ahora tenemos que hallar el octavo término, la fórmula es: a8= a1.r(n-1), aquí no se distignue bien la operación así que te la voy a leer: el primer término de la progresión multiplicado por la razón (elevada a la cantidad de términos en la progresión menos uno) Esta operación da 1. 3 elevado al siete, anulamos el 1 y nos quedamos con el producto de la potencia, 2187.
      ¡Espero que les sirva!

      Responder
  4. Hola, tengo una duda:
    La suma de los tres primeros términos de una PG es 13/3. Si el primer término es 1/3, como determino “r” y los términos de la progresión?

    Responder
  5. Hola, tengo una duda:
    La suma de los tres primeros términos de una PG es 13/3. Si el primer término es 1/3, como determino “r” y los términos de la progresión?

    Responder
    • Con la expresión de la suma de n términos, Sₙ, sustituyendo n por 3, a₁ por 1/3 y Sₙ por 13/3, tienes una ecuación donde la única incógnita es r.
      Si la resuelves obtienes que r=3.
      Después, teniendo ya r y a₁ puedes calcular cualquier término.

      Responder
  6. Ayudame
    Formula
    Sn=a1.(1-rⁿ)÷1-r
    Problema
    Dividir 195 en tres partes que forman una progresion geometrica de modo que el tercer termino exceda al primero en 120 .

    Necesito para mañana . porfabor .

    Responder
      • ola buenas tardes necesito que me ayuden en este ejercicio el sexto termino de una progresion geometrica es 18 y el cuarto es 6.hallar el termino general

        Responder
  7. Buenos días, necesito que me ayuden con este ejercicios por favor…HALLAR EL 9° TERMINO DE LA SIGUIENTE PROGRESIÓN: 8, 4, 2

    Responder
    • Es una progresión geométrica.
      Calcula primero la razón dividiendo un término entre el anterior. Y, como sabes el primer término, calcular el 9° término es sencillo siguiendo lo que explico en el post.
      Un saludo

      Responder
  8. Buen dia..
    Mira tengo una duda.
    A mi hijo de secundaria q esta aprendiendo las progresiones le dejaron esto de tarea..
    “Determina la razón de las siguientes progresiones…
    a) 1,2,4,8,16
    b) 81,27,9,3,1.
    Me queda claro que la primera es 2 pero la segunda no se como explicar o expresar que es ENTRE 3Me podrías ayudar.?

    Responder
  9. * ¿Qué aplicación práctica considera usted que puede tener el cálculo de una progresión geométrica?
    * ¿Qué aplicación práctica considera usted que puede tener el cálculo de una progresión aritmética?

    Responder
    • A parte de que se utilizan en muchas demostraciones matemáticas, en estadística… Las aritméticas las usamos con frecuencia, aunque no seamos conscientes de ello, por ejemplo al calcular sumas de monedas. Un ejemplo de las progresiones geométricas lo tienes por ejemplo en el cálculo del interés compuesto.

      Responder
  10. Hola buenas tardes tengo estas dos dudas
    ¿Qué aplicación práctica puede tener el cálculo de una progresión aritmética?¿Qué aplicación práctica tener el cálculo de una progresión aritmética?

    Responder
  11. Buenas.

    Estoy dando clases particulares a una alumna de un nivel equivalente a 3º ESO y me he encontrado con una pregunta que me tiene algo dubitativo.

    Aparece la secuencia 5 8 13 20 29 40…

    Después de hallar el término general ( An = n^2 + 4 ) nos pregunta qué tipo de progresión es.

    Estamos viendo las progresiones aritméticas y geométricas. La anterior pregunta era idéntica, pero con una aritmética. Parece que la respuesta que buscan es «es una progresión geométrica». Pero no lo es. ¿Hay algún nombre para definir este tipo de progresiones? ¿O la respuesta es simplemente «no es de ningún tipo»? Gracias.

    Y buen trabajo en este blog, enhorabuena.

    ¡Un saludo!

    Responder
    • Buenos días Alex.
      Efectivamente no se trata ni de una progresión aritmética ni tampoco de una progresión geométrica.
      Es una sucesión polinomial de segundo orden o cuadrática, aunque en 3º ESO no se suelen estudiar como tales (tienen también sus fórmulas para obtener el término general a partir de los términos de la sucesión) sino simplemente como sucesiones en las que, utilizando un poco la intuición, se consigue «averiguar» el término general.
      Lo que está claro, como muy bien dices, es que no se trata de una progresión geométrica.

      Un saludo y gracias por tu comentario.

      Responder
      • ¿Sabes la formula para obtener el termino general de una sucesión polinomial de tercer orden o cúbica?
        Por ejemplo en: 3 10 29 83
        ¿Cómo obtener el término general a partir de los términos de esa sucesión?
        Muchas gracias por tu ayuda.

        Responder
  12. Un millón de gracias, me da hasta vergüenza decirlo pero estoy en tercero de ingeniería y hasta ahora no lo he entendido bien. Me gustaría recomendarle está explicacion a los señores que hicieron el primer libro en los que me explicaban las sucesiones.

    Responder
    • Muchísimas gracias Juan. Es una satisfacción personal saber que te ha servido de ayuda. Yo a mis alumnos se lo explico directamente por mi blog, porque no me gusta como viene en el libro. Por eso hice esta entrada en su momento.
      Por si lo necesitas hay otra entrada parecida con las progresiones aritméticas.
      Un saludo.

      Responder
  13. Me resulta muy atrayente y entretenida este blog, ha coincidido con mi afición favorita, la divulgación matemática. Espero que un día llegues a exponer temas como los límites y la introducción divulgativa al calculo diferencial. Animo y a seguir con esta labor.

    Responder
    • Muchas gracia Juan Simón.
      De momento voy tratando temas más básicos relacionados con la etapa de Educación Secundaria, en la que soy profesor de matemáticas, y lo hago en el tiempo que voy teniendo (que no es mucho). Pero como espero seguir con la labor divulgativa del blog por mucho tiempo, iré tocando otros temas como los que propones.
      Un saludo.

      Responder
    • Gracias Alexis.
      Tu pregunta, para que tuviese más sentido, habría que interpretarla como qué expresión nos permite calcular diréctamente qué posición ocupa un término que conocemos de una progresión geométrica (siendo n dicha posición y an el término). Aunque preferiría llamar, por ejemplo «q» a la posición y «aq» al término, pero lo haré como indicas con la n.

      Si, por ejemplo, conocemos el primer término (a1) y la razón (r), partiríamos de an=a1•r^(n-1)

      Te pongo el desarrollo hasta llegar a la expresión final que da n (aunque escrito aquí no sé si se entenderá muy bien):

      an/a1= r^(n-1)
      Aplicamos logaritmos en base r:
      log(r)(an/a1)=log(r)(r^(n-1))
      log(r)(an/a1)=n-1
      y queda finalmente:
      n=log(r)(an/a1)+1

      Si en lugar de conocer el primer término (a1) se conoce otro cualquiera (ap) anterior al termino del que queremos deducir su posición en la progresión, partiríamos de:
      an=ap•r^(n-p)
      y siguiendo un desarrollo análogo al de antes obtendríamos:
      n=log(r)(an/ap)+p

      Puedes probar con dos términos que conozcas de una progresión geométrica y comprobar que efectivamente esa expresión te da la posición que ocupa el término.

      Un saludo.

      Responder
  14. Muy interesante el tema de la Progresión Geométrica y la forma tan clara de realizar las demostraciones para llegar a las generalizaciones. Siga con este buen trabajo.

    Responder
  15. ¡Qué currada Amadeo!

    Gracias por compartir estas maravillas.

    Una curiosidad: una de las aplicaciones reales de la progresión geométrica es calcular el valor de la cuota mensual de una hipoteca. Me encanta ver cómo se pueden aplicar conceptos matemáticas en la vida cuotidiana 🙂

    Gracias y saludos!

    Responder
    • Hola Jordi, sí que me ha llevado un rato preparar esta entrada.
      He dejado pendiente para otra próxima entrada hablar del interés compuesto, que es una aplicación de progresión geométrica literal. No lo he incluido en esta porque ya había quedado excesivamente larga, y ya sabes que la gente cuando tiene que leer más no le gusta.
      Las hipotecas en España se suelen regir por el sistema de amortización francés, que es un poco más complejo (también me aventuraré con él en el blog algún día).
      ¡Me quedan tantas y tantas cosas de las que poder hablar en el blog!

      Me alegra que te haya parecido buena la entrada Jordi.
      Un saludo y gracias a ti.

      Responder
  16. Olá tudo bem com você e família?
    Sou professor (Titular por concurso) aposentado da UFCG-PB. Lecionei a disciplina Matemática Financeira durante 64 semestres letivos. Achei o trabalho sobre O.G. muito bom concernente a exposição como também sobre a didática. Teria ficado melhor o trabalho se você tivesse feito uma aplicação da P.G. usando a matemática financeira nas compras ou empréstimos em prestações iguais. Caso você tenha interesse,eu posso escrever um artigo para você analisar, caso, após lê-lo, achar interessante, autorizo a publicação no seu blog.

    Abraços

    Prof. Sebastião

    Responder
  17. Pingback: Bitacoras.com

Deja tu comentario aquí... ¡Gracias por aportar!

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.